Índice

1. Motivación
2. Espacios métricos
   1. Definición y ejemplos
   2. Espacios normados
   3. Espacios de funciones
   4. El espacio de funciones acotadas
   5. Subespacios métricos e isometrías
   6. Ejercicios
3. Continuidad
   1. Definición y ejemplos
   2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
   3. Convergencia de sucesiones
   4. Ejercicios
4. Compacidad
   1. Conjuntos compactos
   2. El teorema de Heine-Borel
   3. Existencia de máximos y mínimos
   4. Semicontinuidad
   5. Continuidad uniforme
   6. Ejercicios
5. Completitud
   1. Espacios métricos completos
   2. Convergencia uniforme
   3. Espacios completos de funciones
   4. Series en espacios de Banach
   5. Ejercicios
   6. Proyecto: Completación de un espacio métrico
6. El teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones
   1. El teorema de punto fijo de Banach
   2. Sistemas de ecuaciones lineales
   3. Ecuaciones integrales
   4. El problema de Cauchy
   5. Ejercicios
7. Compacidad en espacios de funciones
   1. Conjuntos totalmente acotados
   2. El teorema de Arzelà-Ascoli
   3. El problema de Cauchy
   4. Existencia de trayectorias de longitud mínima
   5. Ejercicios
   6. Proyecto: Un espacio completo sin trayectorias de longitud mínima
8. Teoremas de aproximación
   1. El teorema de aproximación de Weierstrass
   2. El teorema de Stone-Weierstrass
   3. Ejercicios
9. Diferenciabilidad
   1. El espacio de funciones lineales y continuas
   2. Diferenciabilidad
   3. El teorema del valor medio
   4. Un criterio de diferenciabilidad
   5. Derivadas parciales
   6. Derivadas de orden superior
   7. La fórmula de Taylor
   8. Ejercicios
10. El teorema de la función implícita
    1. El teorema de la función implícita
    2. Extremos locales de una función diferenciable sobre una variedad
    3. Homeomorfismos lineales
    4. Demostración del teorema de la función implícita
    5. Ejercicios
11. La integral de una función continua con soporte compacto
    1. Definición y propiedades básicas
    2. Unicidad de la integral
    3. Invariancia bajo isometrías
    4. El teorema de cambio de variable
    5. Ejercicios
12. Funciones Lebesgue-integrables
    1. La integral de una función semicontinua
    2. Propiedades de la integral de funciones semicontinuas
    3. El volumen de un conjunto
    4. Funciones Lebesgue-integrables
    5. Propiedades básicas de la integral de Lebesgue
    6. Conjuntos integrables
    7. La integral sobre un subconjunto de ℝⁿ
    8. Ejercicios
13. Teoremas fundamentales de la teoría de integración
    1. Conjuntos nulos
    2. El teorema de Fubini
    3. Teoremas de convergencia
    4. La integral de funciones radiales
    5. El teorema de cambio de variable
    6. Ejercicios
14. Los espacios de Lebesgue
    1. Conjuntos y funciones medibles
    2. Los espacios $L^{p}(\Omega )$
    3. Aproximación mediante funciones suaves
    4. Un criterio de compacidad en $L^{p}(\Omega )$
    5. Un criterio de nulidad
    6. Ejercicios
15. Espacios de Hilbert
    1. Conceptos y propiedades básicas
    2. Complemento ortogonal
    3. El teorema de representación de Fréchet-Riesz
    4. Bases de Hilbert
    5. Convergencia débil
    6. Ejercicios
16. Espacios de Sobolev
    1. Derivadas débiles
    2. Espacios de Sobolev
    3. Problemas elípticos con condición de frontera
    4. Ejercicios
17. Encajes de Sobolev
    1. Desigualdades de Sobolev
    2. El teorema de Rellich-Kondrashov
    3. Valores propios del laplaciano
    4. Ejercicios