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Diferenciabilidad

El cálculo diferencial estudia las funciones $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ que se pueden aproximar localmente por una función lineal. La derivada de $f$ en un punto $x_{0}$ de $\mathbb{R}^{n} $ es la función lineal $f^{\prime }(x_{0})\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ que mejor aproxima a $f$ en dicho punto, en el sentido de que la distancia entre $\ f(x_{0}+x)$ y $ f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})x$ tiende a cero más rápidamente que $x$. Dicho de modo preciso, \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left\Vert f(x_{0}+x)-\left( f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})x\right) \right\Vert }{\left\Vert x\right\Vert }=0. \end{equation*} Las funciones que admiten tal aproximación se llaman diferenciables.

La noción de diferenciabilidad se extiende de manera natural a funciones $f\colon V\rightarrow W$ entre espacios de Banach con la siguiente precaución: además de requerir que $f^{\prime }(x_{0})\colon V\rightarrow W$ sea una función lineal es necesario pedir que sea continua. Recuerda que las funciones lineales entre espacios de Banach de dimensión infinita no son necesariamente continuas. La continuidad de $f^{\prime }(x_{0})$ juega un papel esencial para la validez de muchas propiedades importantes, como la continuidad de las funciones diferenciables o la regla de la cadena. El papel de la continuidad queda oculto cuando consideramos funciones entre espacios euclidianos: la usamos sin darnos cuenta, pues toda función lineal entre espacios de dimensión finita es automáticamente continua.

En este capítulo introduciremos el concepto de derivada para funciones entre espacios de Banach y estudiaremos sus propiedades fundamentales. Los resultados que presentaremos son generalizaciones inmediatas de los resultados de cálculo que ya conocemos. Sin embargo, presentarlos en esta generalidad tiene varias ventajas. Por una parte, hay aplicaciones importantes que requieren este nivel de generalidad. Por ejemplo, las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales parciales, que modelan problemas importantes de la física, la ingeniería, la biología y otras disciplinas, resultan ser puntos críticos de una función diferenciable definida en un espacio de funciones\footnote{Consulta, por ejemplo,~\cite{Costa}.}.

Por otra parte, este nivel de generalidad permite definir muchos conceptos de manera sencilla. Un ejemplo de ello son las derivadas de orden superior, cada una de las cuales no es sino la derivada de la precedente. Además, la demostración en esta generalidad de los resultados que ya conocemos ayuda a comprenderlos mejor y a mayor profundidad. Y no perdemos nada, ya que las demostraciones no son ni más largas ni más complicadas que las correspondientes para espacios euclidianos.

El espacio de funciones lineales y continuas

Empezaremos estudiando al espacio de las funciones lineales y continuas entre dos espacios de Banach $V=(V,\left\Vert \cdot \right\Vert_{V})$ y $W=(W,\left\Vert \cdot \right\Vert _{W})$.

La continuidad de una función lineal entre ellos se caracteriza como sigue.

Si $T\colon V\rightarrow W$ es una función lineal, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

\begin{enumerate} \item[(a)] $T$ es continua

\item[(b)] $T$ es continua en $0$.

\item[(c)] Existe $c\in \mathbb{R}$ tal que $ \left\Vert Tv\right\Vert_{W}\leq c\left\Vert v\right\Vert_{V}$ para todo $v\in V$.

\item[(d)] $T$ es Lipschitz continua. \end{enumerate}

Las implicaciones (a)$\Rightarrow $(b) y (d)$\Rightarrow $(a) son evidentes.

(b)$\Rightarrow $(c): Si $T$ es continua en $0$ existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert Tv\right\Vert_{W}<1\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert _{V}<\delta . \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert Tv\right\Vert_{W}=\frac{2}{\delta }\left\Vert v\right\Vert _{V}\left\Vert T\left( \frac{\delta }{2}\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert_{V}}\right) \right\Vert_{W}<\frac{2}{\delta }\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall v\in V. \end{equation*}

(c)$\Rightarrow $(d): Si existe $c>0$ tal que $\ \left\Vert Tv\right\Vert_{W}\leq c\left\Vert v\right\Vert_{V}$ \ para todo $v\in V$, entonces \begin{equation*} \left\Vert Tv_{1}-Tv_{2}\right\Vert_{W}=\left\Vert T(v_{1}-v_{2})\right\Vert_{W}\leq c\left\Vert v_{1}-v_{2}\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall v_{1},v_{2}\in V. \end{equation*} Esto prueba que $T$ es Lipschitz continua.

Denotamos por\index{espacio!L (VW)@$\mathcal{L}(V,W)$} \begin{equation*} \mathcal{L}(V,W):=\left\{T\colon V\rightarrow W:T\text{ es lineal y continua}\right\} \end{equation*} y definimos \begin{equation} \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}:=\sup_{\substack{ v\in V \\v\neq 0}}\frac{\left\Vert Tv\right\Vert_{W}}{\left\Vert v\right\Vert_{V}}\text{\qquad }\forall T\in \mathcal{L}(V,W).\label{defnorma} \end{equation}

Nota que $\mathcal{L}(V,W)$ es un espacio vectorial con las operaciones dadas por \begin{equation*} (T+S)v:=Tv+Sv,\text{\qquad }(\lambda T)v:=\lambda Tv, \end{equation*} donde $T,S\in \mathcal{L}(V,W)$, $\lambda \in \mathbb{R}$ y $v\in V$. La Proposición~\ref{lin+cont} asegura que $\left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\infty $. Es sencillo comprobar que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}$ es una norma en $\mathcal{L}(V,W)$ [Ejercicio~\ref{norma}].

Observa que \begin{equation} \left\Vert Tv\right\Vert_{W}\leq \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall v\in V,\text{ }\forall T\in \mathcal{L}(V,W).\label{opernorm} \end{equation} Usaremos con frecuencia esta desigualdad.

$\mathcal{L}(V,W)$ con la norma definida en (\ref{defnorma}) es un espacio de Banach.

Sean $(T_{k})$ una sucesión de Cauchy en $\mathcal{L}(V,W)$ y $\varepsilon >0$. Entonces existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert T_{k}-T_{j}\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\varepsilon \text{\qquad }\forall j,k\geq k_{0}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation} \bigl\Vert T_{k}v-T_{j}v\bigr\Vert_{W}<\varepsilon \bigl\Vert v\bigr\Vert _{V}\text{\qquad }\forall j,k\geq k_{0},\text{ }\forall v\in V. \label{punc} \end{equation} Esto implica que, para cada $v\in V$, la sucesión $(T_{k}v)$ es de Cauchy en $W$ y, como $W$ es un espacio de Banach, existe $Tv\in W$ tal que \begin{equation*} T_{k}v\rightarrow Tv\text{\qquad en }W. \end{equation*} Probaremos primero que $T\in \mathcal{L}(V,W)$.

Si $v,w\in V$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, se tiene que \begin{align*} T(\lambda v+\mu w) &=\lim_{k\rightarrow \infty }T_{k}(\lambda v+\mu w)=\lim_{k\rightarrow \infty }(\lambda T_{k}v+\mu T_{k}w) \\ &=\lambda \lim_{k\rightarrow \infty }T_{k}v+\mu \lim_{k\rightarrow \infty }T_{k}w=\lambda Tv+\mu Tw. \end{align*} Esto prueba que $T$ es lineal. Por otra parte, haciendo tender $k\rightarrow \infty $ en la desigualdad (\ref{punc}) obtenemos \begin{equation} \bigl\Vert Tv-T_{j}v\bigr\Vert_{W}\leq \varepsilon \bigl\Vert v\bigr\Vert _{V}\qquad\forall j\geq k_{0},\quad\forall v\in V. \label{limpunc} \end{equation} De la Proposición~\ref{lin+cont} se sigue que $T-T_{k_{0}}$ es continua. Por tanto, $T=(T-T_{k_{0}})+T_{k_{0}}$ es continua.

Finalmente, la desigualdad (\ref{limpunc}) implica que \begin{equation*} \frac{\left\Vert Tv-T_{j}v\right\Vert_{W}}{\bigl\Vert v\bigr\Vert_{V}}\leq \varepsilon \qquad\forall j\geq k_{0},\quad\forall v\in V,\; v\neq0. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \left\Vert T-T_{j}\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\leq \varepsilon\qquad\forall j\geq k_{0}. \end{equation*} Esto prueba que $T_{j}\rightarrow T$ en $\mathcal{L}(V,W)$. En consecuencia, $\mathcal{L}(V,W)$ es un espacio de Banach.

Recuerda que, si $\dim V<\infty $, cualquier función lineal $T\colon V\rightarrow W$ es continua (ver Ejercicio~\ref{ejnorfinequiv}), de modo que $\mathcal{L}(V,W)$ es simplemente el espacio de funciones lineales de $V$ a $W$. En particular, $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{mn}$ y cualquier isomorfismo resulta ser un homeomorfismo para cualquier norma [Ejercicio~\ref{matr}].

Diferenciabilidad

Para hablar de diferenciabilidad requerimos la noción de límite.

Sean $X,Y$ espacios métricos, $A$ un subconjunto de $X$, $f\colon A\rightarrow Y$ una función, $x_{0}\in \overline{A}$ y $y_{0}\in Y$. Decimos que\index{limite@límite} \begin{equation*} y_{0}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \end{equation*} si, dada $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} d_{Y}(f(x),y_{0})<\varepsilon \text{\qquad }\forall x\in A\text{ con }d_{X}(x,x_{0})<\delta . \end{equation*}

Nota que $f$ no necesariamente está definida en $x_{0}$, pero $x_{0}$ debe pertenecer a la cerradura del dominio de $f$.

Sean $V$ y $W$ espacios de Banach y $\Omega $ un subconjunto abierto de $V$. La noción de derivada de una función entre espacios euclidianos se extiende a funciones entre espacios de Banach como sigue.

Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es (Fréchet-) diferenciable en el punto \index{función!Frechet@(Fréchet-)diferenciable}$u_{0}\in \Omega $ si existe $T\in \mathcal{L}(V,W)$ tal que \begin{equation} \lim_{v\rightarrow 0}\frac{\left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-Tv\right\Vert_{W}}{\left\Vert v\right\Vert_{V}}=0.\label{derifre} \end{equation} $T$ se llama la derivada (de Fréchet) de $\varphi $ en $u_{0}$ \index{derivada!de Fréchet}y se denota por \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u_{0})\text{\qquad o bien por\qquad }D\varphi (u_{0}). \end{equation*}

Hacemos énfasis en que $\varphi^{\prime }(u_{0})\colon V\rightarrow W$ es una función lineal y continua. Como es usual en el caso de funciones lineales, escribiremos \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u_{0})v \end{equation*} en vez de $\varphi^{\prime }(u_{0})\left( v\right) $ para denotar al valor de la función $\varphi^{\prime }(u_{0})$ en $v$ y, cuando haga falta, usaremos la notación $\varphi^{\prime }(u_{0})[ v]$.

La condición (\ref{derifre}) afirma que, para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que, para cuaquier $v\in V$ con $\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta $ se cumple que \begin{equation*} u_{0}+v\in \Omega \hspace{0.5in}\text{y}\hspace{0.5in}\left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u_{0})v\right\Vert _{W}<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}. \end{equation*} Intuitivamente, esto significa que en una vecindad suficientemente pequeña de $0$ la función $v\mapsto \varphi (u_{0}+v)$ se parece mucho a la función afín $v\mapsto \varphi (u_{0})+\varphi^{\prime }(u_{0})v$. Tanto así, que la norma de la diferencia entre los valores en $v$ de ambas funciones $\left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\left( \varphi (u_{0})+\varphi^{\prime }(u_{0})v\right) \right\Vert_{W}$ tiende a $0$ más rápidamente que la norma de $v$.

La siguiente proposición garantiza que la derivada está bien definida.

Si $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$, la función $T\in \mathcal{L}(V,W)$ que cumple (\ref{derifre}) es única.

Supongamos que $T_{1},T_{2}\in \mathcal{L}(V,W)$ cumplen (\ref{derifre}). Entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-T_{i}v\right\Vert_{W}<\frac{\varepsilon }{2}\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta ,\text{ }i=1,2. \end{equation*} Por tanto, si $\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta $, \begin{align*} \left\Vert T_{1}v-T_{2}v\right\Vert_{W} &\leq \left\Vert T_{1}v-\varphi (u_{0}+v)+\varphi (u_{0})\right\Vert_{W}+\left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-T_{2}v\right\Vert_{W} \\ &<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{.} \end{align*} Si $\left\Vert v\right\Vert_{V}\geq \delta $, escogemos $\lambda \in (0,1)$ tal que $\left\Vert \lambda v\right\Vert_{V}<\delta $. Entonces la desigualdad anterior asegura que \begin{equation*} \left\Vert T_{1}v-T_{2}v\right\Vert_{W}=\frac{1}{\lambda }\left\Vert T_{1}(\lambda v)-T_{2}(\lambda v)\right\Vert_{W}<\frac{\varepsilon }{\lambda }\left\Vert \lambda v\right\Vert_{V}=\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert T_{1}v-T_{2}v\right\Vert_{W}<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert _{V}\text{\qquad }\forall v\in V. \end{equation*} Como $\varepsilon >0$ es arbitraria, necesariamente $T_{1}v=T_{2}v$.

$\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es (Fréchet-) diferenciable en $\Omega $ \index{función!Frechet@(Fréchet-)diferenciable}si lo es en cada punto $u\in \Omega $. La función \begin{equation*} \varphi^{\prime }\colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W),\text{\qquad }u\mapsto \varphi^{\prime }(u), \end{equation*} se llama la derivada (de Fréchet) de $\varphi $\index{derivada!de Fréchet}. La denotaremos también por \begin{equation*} D\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W). \end{equation*}

Usualmente diremos que $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en vez de decir que es Fréchet-diferenciable y hablaremos de su derivada para referirnos a su derivada de Fréchet.

Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es constante, entonces es diferenciable en $\Omega $ y $\varphi^{\prime }(u)=0\in \mathcal{L}(V,W)$ para todo $u\in \Omega $, ya que \begin{equation*} \varphi (u+v)-\varphi (u)=0\text{\qquad }\forall v\in V\text{ con }u+v\in \Omega .\text{ } \end{equation*}

Toda función $T\in \mathcal{L}(V,W)$ es diferenciable en $V $ y $T^{\prime }(u)=T$ para todo $u\in V$, ya que \begin{equation*} T(u+v)-Tu-Tv=0\text{\qquad }\forall v\in V. \end{equation*}

La función $\varphi \colon \ell_{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\varphi (\overline{x}):=\left\Vert \overline{x}\right\Vert_{\ell_{2}}^{2}=\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}$ es diferenciable en $\ell_{2}$ y \begin{equation*} \varphi^{\prime }(\overline{x})\overline{y}=2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}\text{\qquad }\forall \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{y}=(y_{k})\in \ell_{2}. \end{equation*}

Observa que \begin{equation*} \left\Vert \overline{x}+\overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}^{2}=\left\Vert \overline{x}\right\Vert_{\ell_{2}}^{2}+2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}+\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}^{2}\text{\qquad }\forall \overline{x},\overline{y}\in \ell_{2}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \frac{\left\vert \varphi (\overline{x}+\overline{y})-\varphi (\overline{x})-2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}\right\vert }{\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}}=\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell _{2}}\rightarrow 0\text{\qquad cuando }y\rightarrow 0. \end{equation*}

Fijemos $\overline{x}\in \ell_{2}$. La función $T\colon \ell _{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} T\overline{y}:=2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k} \end{equation*} es evidentemente lineal. De la desigualdad de Hölder para series (ver Ejercicio~\ref{lholder}) se sigue que \begin{equation*} \left\vert T\overline{y}\right\vert =2\left\vert \sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}\right\vert \leq 2\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}y_{k}\right\vert \leq 2\left\Vert \overline{x}\right\Vert_{\ell _{2}}\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}. \end{equation*} En consecuencia$,\mathcal{ }T\colon \ell_{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es continua (ver Proposición~\ref{lin+cont}). Esto prueba que $\varphi $ es diferenciable en $\overline{x}$ y que $\varphi ^{\prime }(\overline{x})=T$.

Si $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$, entonces $\varphi $ es continua en $u_{0}$.

Si $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$, existe $\delta_{1}>0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u)-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u_{0})(u-u_{0})\right\Vert_{W}<\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}<\delta_{1}. \end{equation*} Como $\varphi^{\prime }(u_{0})\in \mathcal{L}(V,W)$, usando la desigualdad (\ref{opernorm}) obtenemos \begin{align*} \left\Vert \varphi (u)-\varphi (u_{0})\right\Vert_{W} &\leq \left\Vert \varphi (u)-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u_{0})(u-u_{0})\right\Vert _{W}+\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})(u-u_{0})\right\Vert_{W} \\ &<\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}+\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V} \\ &=\left( 1+\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\right) \left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}\text{\qquad si} \ \left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}<\delta_{1}. \end{align*} Dada $\varepsilon >0$, tomemos $\delta :=\min \left\{ \delta _{1},\varepsilon \left( 1+\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\right)^{-1}\right\} $. Entonces, \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u)-\varphi (u_{0})\right\Vert_{W}<\varepsilon \text{\qquad si }\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{V}<\delta . \end{equation*} Esto prueba que $\varphi $ es continua en $u_{0}$.

[Linealidad de la derivada] \index{linealidad!de la derivada}Si $\varphi ,\psi \colon \Omega \rightarrow W$ son diferenciables en $u_{0}$ y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda \varphi +\mu \psi $ es diferenciable en $u_{0}$ y \begin{equation*} (\lambda \varphi +\mu \psi )^{\prime }(u_{0})=\lambda \varphi^{\prime }(u_{0})+\mu \psi^{\prime }(u_{0}). \end{equation*}

La demostración es un ejercicio sencillo [Ejercicio~\ref{linderi}].

[Regla de la cadena] \label{regcad}\index{regla de la cadena}Sean $\Omega \subset V$, $\widetilde{\Omega }\subset W$ subconjuntos abiertos. Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $u_{0}$, $\varphi (v)\in \widetilde{\Omega }$ para todo $v\in \Omega $ y $\psi \colon \widetilde{\Omega }\rightarrow Z$ es diferenciable en $v_{0}:=\varphi (u_{0})$, entonces $\psi \circ \varphi \colon \Omega \rightarrow Z$ es diferenciable en $u_{0}$ y \begin{equation*} (\psi \circ \varphi )^{\prime }(u_{0})=\psi^{\prime }(v_{0})\circ \varphi ^{\prime }(u_{0}). \end{equation*}

Para $v\in V$ y $w\in W$ tales que $u_{0}+v\in \Omega $ y $v_{0}+w\in \widetilde{\Omega }$, definimos \begin{gather*} o_{1}(v):=\varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u_{0})v, \\ o_{2}(w):=\psi (v_{0}+w)-\psi (v_{0})-\psi^{\prime }(v_{0})w. \end{gather*} Se tiene entonces que \begin{align*} (\psi \circ \varphi )(u_{0}+v) &=\psi (\varphi (u_{0}+v)) \\ &=\psi (\varphi (u_{0})+\varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)) \\ &=\psi (v_{0})+\psi^{\prime }(v_{0})\left[ \varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)\right] +o_{2}(\varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)) \\ &=(\psi \circ \varphi )(u_{0})+\left[ \psi^{\prime }(v_{0})\circ \varphi ^{\prime }(u_{0})\right] v+o_{3}(v), \end{align*} donde \begin{equation*} o_{3}(v):=\psi^{\prime }(v_{0})\left[ o_{1}(v)\right] +o_{2}(\varphi ^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)). \end{equation*} Probaremos a continuación que \begin{equation} \lim_{v\rightarrow 0}\frac{\left\Vert o_{3}(v)\right\Vert_{Z}}{\left\Vert v\right\Vert_{V}}=0.\label{limcadena} \end{equation} Sea $\varepsilon >0$. Denotemos por \begin{gather*} c_{1}:=\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}+1,\qquad c_{2}:=\left\Vert \psi^{\prime }(v_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}+1,\\ \varepsilon_{1}:=\min \left\{ \frac{\varepsilon }{2c_{2}},1\right\} ,\qquad \varepsilon_{2}:=\frac{\varepsilon }{2c_{1}}. \end{gather*} Como $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$ y $\psi $ es diferenciable en $v_{0}$, existen $\delta_{1},\delta_{2}>0$ tales que \begin{alignat*}{2} \left\Vert o_{1}(v)\right\Vert_{W} &<\varepsilon_{1}\left\Vert v\right\Vert_{V} &\quad&\text{si $\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta_{1}$,} \\ \left\Vert o_{2}(w)\right\Vert_{Z} &<\varepsilon_{2}\left\Vert w\right\Vert_{W} &&\text{si $\left\Vert w\right\Vert_{W}<\delta_{2}$.} \end{alignat*} Sea $\delta_{3}:=\min \left\{\delta_{1},\frac{\delta_{2}}{c_{1}}\right\}$. Entonces, \begin{align*} \left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)\right\Vert_{W} &\leq \left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})v\right\Vert_{W}+\left\Vert o_{1}(v)\right\Vert_{W} \\ &<\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert v\right\Vert_{V}+\varepsilon_{1}\left\Vert v\right\Vert _{V}\leq c_{1}\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{ si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta_{1}. \end{align*} Por tanto, $\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)\right\Vert_{W}<\delta_{2}$ si $\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta_{3}$ y, en consecuencia, \begin{align*} \left\Vert o_{2}(\varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v))\right\Vert_{Z} &<\varepsilon_{2}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{0})v+o_{1}(v)\right\Vert _{W} \\ &<\varepsilon_{2}c_{1}\left\Vert v\right\Vert_{V}\leq \frac{\varepsilon }{2}\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert _{V}<\delta_{3}. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} \left\Vert \psi^{\prime }(v_{0})\left[ o_{1}(v)\right] \right\Vert_{Z} &\leq \left\Vert \psi^{\prime }(v_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\left\Vert o_{1}(v)\right\Vert_{W} \\ &< c_{2}\varepsilon_{1}\left\Vert v\right\Vert_{V}\leq \frac{\varepsilon }{2}\left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert _{V}<\delta_{1}. \end{align*} Concluimos que \begin{equation*} \left\Vert o_{3}(v)\right\Vert_{Z}<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta_{3}. \end{equation*} Esto prueba (\ref{limcadena}) y concluye la demostración de la proposición.

El teorema del valor medio

Una función lineal $T\colon \mathbb{R}\rightarrow V$ está totalmente determinada por su valor en $1$, ya que \begin{equation*} T[t]=T\left[ t1\right] =tT\left[ 1\right] \text{\qquad }\forall t\in \mathbb{R}. \end{equation*} La función \begin{equation} \iota \colon \mathcal{L}(\mathbb{R},V)\rightarrow V,\text{\qquad }\iota (T):=T\left[ 1\right] ,\label{iso} \end{equation} es un isomorfismo de espacios vectoriales. Además, es una isometría, ya que \begin{equation*} \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R},V)}=\sup_{\substack{ t\in \mathbb{R} \\t\neq 0}}\frac{\left\Vert T\left[ t\right] \right\Vert_{V}}{\left\vert t\right\vert }=\sup_{\substack{ t\in \mathbb{R} \\t\neq 0}}\left\Vert \frac{tT\left[ 1\right] }{t}\right\Vert_{V}=\left\Vert T\left[ 1\right] \right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall T\in \mathcal{L}(\mathbb{R},V). \end{equation*} Esta isometría permite identificar a $\mathcal{L}(\mathbb{R},V)$ con $V. $

Si $\sigma \colon (a,b)\rightarrow V$ es diferenciable en un punto $t_{0}$ de $(a,b)$, identificaremos en lo sucesivo a la transformación lineal $\sigma^{\prime }(t_{0})\in \mathcal{L}(\mathbb{R},V)$ con su valor en $1$, y escribiremos simplemente $\sigma^{\prime }(t_{0})$ en vez de $\sigma^{\prime }(t_{0})\left[ 1\right] $. Se tiene entonces que $\sigma^{\prime }(t_{0})\in V$ y \begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0}\left\Vert \frac{\sigma (t+t_{0})-\sigma (t_{0})}{t}-\sigma^{\prime }(t_{0})\right\Vert_{V}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\left\Vert \sigma (t+t_{0})-\sigma (t_{0})-t\sigma^{\prime }(t_{0})\right\Vert_{V}}{\left\vert t\right\vert }=0. \end{equation*} Es decir, \begin{equation*} \sigma^{\prime }(t_{0})=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sigma (t+t_{0})-\sigma (t_{0})}{t}\in V. \end{equation*}

Esta identidad permite interpretar a $\sigma^{\prime }(t_{0})$ como la velocidad de la trayectoria\break $\sigma \colon (a,b)\rightarrow V$ en el tiempo $t_{0}$, tal y como solemos hacer cuando $V=\mathbb{R}^{n}$. Si $V=\mathbb{R} $ entonces $\sigma^{\prime }(t_{0})\in \mathbb{R}$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $\sigma $ en el punto $(t_{0},\sigma (t_{0}))$. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/derivada.tikz} \caption{}\label{fig:9.1} \end{figure}

Si $\sigma \colon (a,b)\rightarrow \Omega \subset V$ es diferenciable en $t_{0}\in (a,b)$ y $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $u_{0}:=\sigma (t_{0})$, la regla de la cadena\index{regla de la cadena!para funciones de variable real} dice que \begin{equation} (\varphi \circ \sigma )^{\prime }(t_{0})=\varphi^{\prime }(u_{0})[\sigma ^{\prime }(t_{0})],\label{rc} \end{equation} es decir, la derivada de la trayectoria $\varphi \circ \sigma $ en $t_{0}$ es el valor de la función $\varphi^{\prime }(u_{0})\in \mathcal{L}(V,W)$ en el vector $\sigma^{\prime }(t_{0})\in V$.

Uno de los resultados más útiles en análisis es el teorema del valor medio. Para funciones reales de variable real éste se expresa como una igualdad: si $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ entonces existe $c\in (a,b)$ tal que $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. El problema con esta formulación clásica es que no existe una igualdad semejante para funciones con valores vectoriales. Por otra parte, esta igualdad esconde el hecho de que en realidad no sabemos quién es $c$, lo único que sabemos es que se trata de algún punto en $(a,b)$. Para fines prácticos, lo importante es tener una cota para $\left\vert f^{\prime }(c)\right\vert $. Es decir, la verdadera naturaleza del teorema del valor medio se obtiene al expresarlo como una desigualdad.

[del valor medio] \label{tvm}\index{teorema!del valor medio}Sea $\sigma \colon [a,b]\rightarrow V$ una función continua. Si $\sigma $ es diferenciable en todo punto $t\in (a,b)$ y si existe $M\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation} \left\Vert \sigma^{\prime }(t)\right\Vert_{V}\leq M\text{\qquad }\forall t\in (a,b),\label{deracot} \end{equation} entonces \begin{equation*} \left\Vert \sigma (b)-\sigma (a)\right\Vert_{V}\leq M(b-a). \end{equation*}

Probaremos que, para toda $\varepsilon >0$, se cumple que \begin{equation} \left\Vert \sigma (b)-\sigma (a)\right\Vert_{V}\leq M(b-a)+\varepsilon (b-a)+\varepsilon .\label{pd} \end{equation} Esto implica que $\left\Vert \sigma (b)-\sigma (a)\right\Vert _{V}\leq M(b-a)$.

Sea $\varepsilon >0$. Consideremos el conjunto \begin{equation*} S:=\left\{t\in [a,b]:\left\Vert \sigma (t)-\sigma (a)\right\Vert_{V}\leq M(t-a)+\varepsilon (t-a)+\varepsilon \right\}. \end{equation*} Como $\sigma $ es continua en $a$ existe $\gamma >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \sigma (s)-\sigma (a)\right\Vert_{V}\leq \varepsilon \text{\qquad }\forall s\in [a,a+\gamma ]. \end{equation*} Por tanto, $a+\gamma \in S$. Sea $c:=\sup S$. Observa que $c\in S$ y $a+\gamma \leq c\leq b$. Probaremos a continuación que $c=b$.

Argumentando por contradicción, supongamos que $c

A continuación veremos que el teorema anterior permite acotar la diferencia entre dos valores $\varphi (u_{0})$ y $\varphi (u_{1})$ de una función diferenciable $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ cuando su derivada está acotada en el segmento que une a los puntos $u_{0}$ y $u_{1}$. \begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/u0-u1.tikz} \caption{}\label{fig:9.2} \end{figure}

Un modo de garantizar esto último es pidiendo que la derivada sea continua en $\Omega $, lo que nos lleva a introducir el siguiente concepto.

Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ (o continuamente diferenciable) en $\Omega $ \index{función!de clase c1@de clase $\mathcal{C}^{1}$} si es diferenciable en $\Omega $ y su derivada \begin{equation*} \varphi^{\prime }\colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W) \end{equation*} es continua.

Las funciones de los Ejemplos~\ref{ejder1} y~\ref{ejder2} son de clase $\mathcal{C}^{1}$ ya que en ambos casos la derivada es una función constante. Veamos que la función del Ejemplo \ref{ejder3} también es de clase $\mathcal{C}^{1}$.

La función $\varphi \colon \ell_{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\varphi (\overline{x}):=\left\Vert \overline{x}\right\Vert_{\ell_{2}}^{2}$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\ell_{2}$.

En el Ejemplo~\ref{ejder3} vimos que $\varphi $ es diferenciable y que su derivada es la función $\varphi^{\prime }\colon \ell _{2}\rightarrow \mathcal{L}(\ell_{2},\mathbb{R})$ dada por \begin{equation*} \varphi^{\prime }(\overline{x})\overline{y}=2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}\text{\qquad }\forall \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{y}=(y_{k})\in \ell_{2}. \end{equation*} Si $\overline{z}=(z_{k})\in \ell_{2}$, aplicando la desigualdad de Hölder para series (ver Ejercicio~\ref{lholder}) obtenemos \begin{equation*} \left\vert \varphi^{\prime }(\overline{z})\overline{y}-\varphi^{\prime }(\overline{x})\overline{y}\right\vert =2\left\vert \sum_{k=1}^{\infty }(z_{k}-x_{k})y_{k}\right\vert \leq 2\left\Vert \overline{z}-\overline{x}\right\Vert_{\ell_{2}}\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \left\Vert \varphi^{\prime }(\overline{z})-\varphi^{\prime }(\overline{x})\right\Vert_{\mathcal{L}(\ell_{2},\mathbb{R})}=\sup_{\substack{ y\in \ell _{2} \\y\neq 0}}\frac{\left\vert \varphi^{\prime }(\overline{z})\overline{y}-\varphi^{\prime }(\overline{x})\overline{y}\right\vert }{\left\Vert \overline{y}\right\Vert_{\ell_{2}}}\leq 2\left\Vert \overline{z}-\overline{x}\right\Vert_{\ell_{2}}\text{\qquad }\forall \overline{x},\overline{z}\in \ell_{2}. \end{equation*} Esto prueba que $\varphi^{\prime }$ es Lipschitz continua.

Como consecuencia del teorema del valor medio obtenemos el siguiente resultado.

Si $\Omega $ es abierto en $V$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow W $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $ y $u_{0},u_{1}\in \Omega $ son tales que $u_{t}:=(1-t)u_{0}+tu_{1}\in \Omega $ para toda $t\in [0,1]$, entonces \begin{equation*} \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\infty \end{equation*} y \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u_{1})-\varphi (u_{0})\right\Vert_{W}\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}. \end{equation*}

Sea $\alpha \colon [0,1]\rightarrow \Omega $ la función $\alpha (t):=u_{t}$. Esta función es diferenciable en $(0,1)$ y su derivada está dada por $\alpha^{\prime }(t)=u_{1}-u_{0}$. La composición $\sigma :=\varphi \circ \alpha \colon [0,1]\rightarrow W$ es continua en $[0,1]$. Por la regla de la cadena (ver (\ref{rc})), $\sigma $ es diferenciable en $(0,1)$ y \begin{equation*} \sigma^{\prime }(t)=\varphi^{\prime }(u_{t})\left[ u_{1}-u_{0}\right] . \end{equation*} Se tiene entonces que \begin{equation} \left\Vert \sigma^{\prime }(t)\right\Vert_{W}\leq \left\Vert \varphi ^{\prime }(u_{t})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall t\in (0,1).\label{sigma} \end{equation} Ahora bien, la función que a cada $t\in [0,1]$ le asocia el valor $\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})\right\Vert _{\mathcal{L}(V,W)}\in \mathbb{R}$ es una función continua, ya que es la composición de las funciones continuas \begin{equation*} [0,1]\overset{\alpha }{\longrightarrow }\Omega \overset{\varphi ^{\prime }}{\longrightarrow }\mathcal{L}(V,W)\overset{\left\Vert \cdot \right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}}{\longrightarrow }\mathbb{R}\text{.} \end{equation*} Como $[0,1]$ es compacto, concluimos que \begin{equation*} M:=\sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\infty . \end{equation*} Por otra parte, de la desigualdad (\ref{sigma}) se sigue que \begin{equation*} \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \sigma^{\prime }(t)\right\Vert_{W}\leq M\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall t\in (0,1), \end{equation*} y aplicando el Teorema~\ref{tvm} obtenemos que \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u_{1})-\varphi (u_{0})\right\Vert_{W}=\left\Vert \sigma (1)-\sigma (0)\right\Vert_{W}\leq M\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Usaremos a menudo la siguiente consecuencia sencilla del corolario anterior.

Si $\Omega $ es abierto en $V$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $ y $u_{0},u_{1}\in \Omega $ son tales que $u_{t}:=(1-t)u_{0}+tu_{1}\in \Omega $ para toda $t\in [0,1]$ entonces, para todo $u\in \Omega $, \begin{equation*} \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})-\varphi ^{\prime }(u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\infty \end{equation*} y se cumple que \begin{equation*} \left\Vert \varphi (u_{1})-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u)\left[ u_{1}-u_{0}\right] \right\Vert_{W}\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})-\varphi^{\prime }(u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}. \end{equation*}

Sea $\psi :=\varphi -\varphi^{\prime }(u)$. Entonces $\psi^{\prime }(v)=\varphi^{\prime }(v)-\varphi^{\prime }(u)$ para toda $v\in \Omega $. Aplicando el Corolario~\ref{cortvm0} obtenemos que \begin{align*} \left\Vert \varphi (u_{1})-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u)\left[ u_{1}-u_{0}\right] \right\Vert_{W} &=\left\Vert \psi (u_{1})-\psi (u_{0})\right\Vert_{W} \\ &\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \psi^{\prime }(u_{t})\right\Vert _{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V} \\ &= \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(u_{t})-\varphi ^{\prime }(u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert u_{1}-u_{0}\right\Vert_{V}, \end{align*} como afirma el enunciado.

Un criterio de diferenciabilidad

Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en el punto $u_{0}$ de $\Omega $ y $v\in V$ entonces, para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que, para todo $t\in(-\delta,\delta)$, \begin{equation*} u_{0}+tv\in \Omega \hspace{0.25in}\text{y}\hspace{0.25in}\left\Vert \varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})-\varphi^{\prime }(u_{0})(tv)\right\Vert _{W}<\varepsilon \left\Vert tv\right\Vert_{V}. \end{equation*} Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre $\left\vert t\right\vert $ obtenemos que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})}{t}-\varphi^{\prime }(u_{0})v\right\Vert_{W}<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }0<\left\vert t\right\vert <\delta . \end{equation*} Es decir, \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u_{0})v=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})}{t}\text{\qquad }\forall v\in V. \end{equation*}

De este modo obtenemos una condición necesaria para que $\varphi $ sea diferenciable en $u_{0}$: en primer lugar, para cada $v\in V$ debe existir el límite \begin{equation} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})}{t}. \label{gat} \end{equation} Este límite se llama la derivada direccional de $\varphi $ en $u_{0}$ en la dirección de $v$. \index{derivada!direccional}En segundo lugar, la función $\mathcal{G}\varphi (u_{0})\colon V\rightarrow W$ dada por \begin{equation} \mathcal{G}\varphi (u_{0})v:=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})}{t}\label{gat2} \end{equation} debe ser lineal y continua. Esto da lugar al siguiente concepto.

Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es Gâteaux-diferenciable en el punto $u_{0}\in \Omega $ \index{función!Gâteaux-diferenciable }si, para cada $v\in V$, existe la derivada direccional de $\varphi $ en $u_{0}$ en la dirección de $v$ y la función $\mathcal{G}\varphi (u_{0})$ definida en (\ref{gat2}) pertenece a $\mathcal{L}(V,W)$.

$\varphi $ es Gâteaux-diferenciable en $\Omega $ si lo es en todo punto $u\in \Omega $. La función \begin{equation*} \mathcal{G}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W),\text{\qquad }u\mapsto \mathcal{G}\varphi (u), \end{equation*} se llama la derivada de Gâteaux\footnote{René Eugène Gâteaux (1889-1914) nació en la Marne, Francia. Lo mataron en la primera guerra mundial. Parte de su trabajo fue publicado póstumamente por Paul Lévy. de} $\varphi $. \index{derivada!de Gâteaux}

\begin{bio}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{./fotos/calcasdos/Frechet.png}\\[5pt] \includegraphics[height=.35\textwidth]{./fotos/calcasdos/gateaux.pdf}\\[5pt] \bfseries René Gâteaux \end{bio}

Cabe señalar que la existencia de la derivada direccional de $\varphi $ en $u_{0}$ en la dirección de $v$ para toda $v\in V$ no basta para garantizar que $\mathcal{G}\varphi (u_{0})\in \mathcal{L}(V,W)$ [Ejercicio~\ref{noGdif}]. Tampoco basta con que $\varphi $ sea Gâteaux-diferenciable para que sea diferenciable, como lo muestra el siguiente ejemplo.

La función $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):= \begin{cases} \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & \text{si $(x,y)\neq (0,0)$,} \\ 0 & \text{si $(x,y)=(0,0)$.} \end{cases} \end{equation*} es Gâteaux-diferenciable en $\mathbb{R}^{2}$ pero no es diferenciable en $(0,0)$ [Ejercicio~\ref{siGnoF}].

Sin embargo, se tiene el siguiente resultado.

$\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $ si y sólo si $\varphi $ es Gâteaux-diferenciable en $\Omega $ y su derivada de Gâteaux $\mathcal{G}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W)$ es continua. En tal caso, $\varphi^{\prime }=\mathcal{G}\varphi $.

$\Rightarrow )$: Al inicio de esta sección demostramos que, si $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$, entonces $\varphi $ es Gâteaux-diferenciable en $u_{0}$ y $\mathcal{G}\varphi (u_{0})=\varphi^{\prime }(u_{0})$. En consecuencia, si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $, entonces $\mathcal{G}\varphi =\varphi^{\prime }$ es continua.

$\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $\varphi $ es Gâteaux-diferenciable en $\Omega $ y que $\mathcal{G}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W)$ es continua. Sean $u_{0}\in \Omega $ y $\varepsilon >0$. Entonces existe $\delta >0$ tal que $u_{0}+v\in \Omega $ y \begin{equation} \left\Vert \mathcal{G}\varphi (u_{0}+v)-\mathcal{G}\varphi (u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\varepsilon \text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta .\label{contG} \end{equation} Para cada $v\in V$ con $\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta $ definimos $\sigma_{v}\colon [0,1]\rightarrow W$ como \begin{equation*} \sigma_{v}(t):=\varphi (u_{0}+tv)-\varphi (u_{0})-\mathcal{G}\varphi (u_{0})\left[ tv\right] . \end{equation*} Entonces $\sigma_{v}$ es diferenciable en $(0,1)$ y su derivada es \begin{align*} \sigma_{v}^{\prime }(t) &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sigma _{v}(t+h)-\sigma_{v}(t)}{h} \\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi (u_{0}+tv+hv)-\varphi (u_{0}+tv)-\mathcal{G}\varphi (u_{0})\left[ hv\right] }{h} \\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi (u_{0}+tv+hv)-\varphi (u_{0}+tv)}{h}-\mathcal{G}\varphi (u_{0})v \\ &=\mathcal{G}\varphi (u_{0}+tv)v-\mathcal{G}\varphi (u_{0})v. \end{align*} Se sigue de (\ref{contG}) que \begin{align*} \left\Vert \sigma_{v}^{\prime }(t)\right\Vert_{W} &\leq \left\Vert \mathcal{G}\varphi (u_{0}+tv)-\mathcal{G}\varphi (u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert v\right\Vert_{V} \\ &<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall t\in (0,1). \end{align*} Usando el teorema del valor medio (ver Teorema~\ref{tvm}) concluimos que \begin{align*} \left\Vert \varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-\mathcal{G}\varphi (u_{0})v\right\Vert_{W} &=\left\Vert \sigma_{v}(1)-\sigma _{v}(0)\right\Vert_{W} \\ &\leq \varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<\delta . \end{align*} Esto prueba que $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$ y que $\varphi^{\prime }(u_{0})=\mathcal{G}\varphi (u_{0})$. Como $\mathcal{G}\varphi $ es continua, $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $.

El teorema anterior proporciona un criterio muy útil para verificar la diferenciabilidad de una función y calcular su derivada. Veamos un ejemplo.

Sea $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1}$. La función $\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (u):=\int_{a}^{b}f(u(t))dt \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ y su derivada es \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u)v:=\int_{a}^{b}f^{\prime }(u(t))v(t)dt. \end{equation*}

Probaremos primero que $\varphi $ es Gâteaux-diferenciable. Sean $u,v\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$, $v\neq 0$, y $\varepsilon >0$. Denotemos por \begin{equation*} M:=\left\Vert u\right\Vert_{\infty }+\left\Vert v\right\Vert_{\infty }\text{\qquad y\qquad }\tilde{\varepsilon}:=\frac{\varepsilon }{(b-a)\left\Vert v\right\Vert_{\infty }}. \end{equation*} Como $f^{\prime }$ es uniformemente continua en $[-M,M]$ existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\vert f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)\right\vert <\tilde{\varepsilon}\text{\qquad }\forall x,y\in [-M,M]\text{ con }\left\vert x-y\right\vert <\delta . \end{equation*} Del Corolario~\ref{cortvm} y la desigualdad anterior se sigue que, si $x,\,x+hz\in [-M,M]$, $\left\vert hz\right\vert <\delta $ y $s\in [0,1]$, entonces \begin{equation} \left\vert f(x+hz)-f(x)-f^{\prime }(x)hz)\right\vert \leq \sup_{s\in [0,1]}\left\vert f^{\prime }(x+shz)-f^{\prime }(x)\right\vert \left\vert hz\right\vert <\tilde{\varepsilon}\left\vert hz\right\vert .\label{ejGat} \end{equation} Observa que \begin{equation*} \left\vert u(t)+hv(t)\right\vert \leq \left\Vert u\right\Vert_{\infty }+\left\Vert v\right\Vert_{\infty }=M\text{\qquad }\forall t\in [a,b],\text{ }h\in [0,1]. \end{equation*} Por tanto, podemos aplicar la desigualdad (\ref{ejGat}) a $x:=u(t)$, $z:=v(t) $ y $0<\left\vert h\right\vert <\min \left\{1,\frac{\delta }{\left\Vert v\right\Vert_{\infty }}\right\}$ para obtener \begin{equation*} \left\vert \frac{f(u(t)+hv(t))-f(u(t))}{h}-f^{\prime }(u(t))v(t)\right\vert <\tilde{\varepsilon}\left\vert v(t)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{b-a}\text{\hspace{0.3in}}\forall t\in [a,b]. \end{equation*} En consecuencia, si $0<\left\vert h\right\vert <\min \left\{1,\frac{\delta }{\left\Vert v\right\Vert_{\infty }}\right\}$, entonces \begin{multline*} \left\vert \frac{\varphi (u+hv)-\varphi (u)}{h}-\int_{a}^{b}f^{\prime }(u(t))v(t)dt\right\vert \\ \leq \int_{a}^{b}\left\vert \frac{f(u(t)+hv(t))-f(u(t))}{h}-f^{\prime }(u(t))v(t)\right\vert dt<\varepsilon . \end{multline*} Esto prueba que \begin{equation*} \int_{a}^{b}f^{\prime }(u(t))v(t)dt=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi (u+hv)-\varphi (u)}{h}=:\mathcal{G}\varphi (u)v. \end{equation*}

La función $\mathcal{G}\varphi (u)\colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es claramente lineal y, como \begin{equation*} \left\vert \mathcal{G}\varphi (u)v\right\vert \leq \biggl( \int_{a}^{b}\left\vert f^{\prime }(u(t))\right\vert dt\biggr) \left\Vert v\right\Vert_{\infty }\text{\qquad }\forall v\in \mathcal{C}^{0}[a,b], \end{equation*} la Proposición~\ref{lin+cont} asegura que $\mathcal{G}\varphi (u)$ es continua. Por tanto, $\varphi $ es Gâteaux-diferenciable en $u$ para todo $u\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$.

Probaremos ahora que $\mathcal{G}\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{L}(\mathcal{C}^{0}[a,b],\mathbb{R})$ es continua. Sean $u_{0}\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$ y $\varepsilon >0$. Denotemos por $M_{0}:=\left\Vert u_{0}\right\Vert_{\infty }+1$. Como $f^{\prime }$ es uniformemente continua en $[-M_{0},M_{0}]$, existe $\delta \in (0,1)$ tal que \begin{equation*} \left\vert f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)\right\vert <\frac{\varepsilon }{(b-a)}\text{\qquad }\forall x,y\in [-M_{0},M_{0}]\text{ con }\left\vert x-y\right\vert <\delta . \end{equation*} Observa que, si $\left\Vert u-u_{0}\right\Vert_{\infty }<\delta $, entonces \begin{equation*} \left\vert u(t)\right\vert \leq \left\Vert u\right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert u_{0}\right\Vert_{\infty }+\left\Vert u-u_{0}\right\Vert _{\infty }\leq \left\Vert u_{0}\right\Vert_{\infty }+\delta

Del Teorema~\ref{C1derG} se sigue que $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y que $\varphi^{\prime }=\mathcal{G}\varphi $.

Derivadas parciales

Sean $V_{1},\dots,V_{n},W$ espacios de Banach. El producto cartesiano $V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ con la norma \begin{equation*} \left\Vert (v_{1},\dots,v_{n})\right\Vert_{V_{1}\times \cdots \times V_{n}}:=\max_{j=1,\dots,n}\left\Vert v_{j}\right\Vert_{V_{j}} \end{equation*} es un espacio de Banach (ver Ejercicio~\ref{prodcompl}). La inclusión en el $j$-ésimo factor, \begin{equation*} \iota_{j}\colon V_{j}\rightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n},\text{\qquad }\iota_{j}(v):=(0,\dots,0,\underset{j\text{-ésimo}}{\underbrace{v}},0,\dots,0), \end{equation*} es una función lineal y una isometría. Si $\Omega $ es abierto en $V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ y $u\in \Omega $, entonces \begin{equation*} \Omega_{j,u}:=\left\{v\in V_{j}:u+\iota_{j}v\in \Omega \right\} \end{equation*} es un abierto de $V_{j}$ que contiene a $0$.

\begin{figure}[htb] \centering \input{./figuras-tikz/der-par-diag.tikz} \caption{}\label{fig:9.3} \end{figure}

En lo que resta de esta sección supondremos que $\Omega $ es abierto en $V_{1}\times \cdots \times V_{n}$.

Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es parcialmente diferenciable respecto a la $j$-ésima variable en el punto $u$ de $\Omega $\index{función!parcialmente diferenciable} si la función \begin{equation*} \varphi_{j,u}\colon \Omega_{j,u}\rightarrow W,\text{\qquad }\varphi_{j,u}(v):=\varphi (u+\iota_{j}v), \end{equation*} es diferenciable en $0$. La derivada parcial de $\varphi $ respecto a la $j$-ésima variable en $u$ \index{derivada!parcial}se define como \begin{equation*} \partial_{j}\varphi (u):=\varphi_{j,u}^{\prime }(0)\in \mathcal{L}(V_{j},W). \end{equation*} La función $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a la $j$-ésima variable en $\Omega $ si lo es en todo punto $u\in \Omega $, y la derivada parcial de $\varphi $ respecto a la $j$-ésima variable en $\Omega $ es la función \begin{equation*} \partial_{j}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V_{j},W),\text{\qquad }u\mapsto \partial_{j}\varphi (u). \end{equation*}

Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $u$ entonces, por la regla de la cadena, $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a la $j $-ésima variable en $u$ y \begin{equation*} \partial_{j}\varphi (u)=\varphi^{\prime }(u)\circ \iota_{j},\text{\qquad }j=1,\dots,n. \end{equation*} Es decir, $\partial_{j}\varphi (u)$ es la restricción de $\varphi ^{\prime }(u)$ al factor $V_{j}$. Nota que $v=\sum_{j=1}^{n}\iota _{j}v_{j}$ si $v=(v_{1},\dots,v_{n})$. En consecuencia, \begin{equation} \varphi^{\prime }(u)v=\sum_{j=1}^{n}\partial_{j}\varphi (u)v_{j}.\label{formparc} \end{equation}

Los siguientes ejemplos relacionan estos conceptos con conceptos bien conocidos de cálculo.

Si $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}$ y $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en $x $, entonces $\partial_{j}\varphi (x)\in \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R})\cong \mathbb{R}$. Como en la sección \ref{sec9-3}, identificamos a la función lineal $\partial_{j}\varphi (x)$ con su valor en $1$. Ésta es la derivada parcial de $\varphi $ respecto a $x_{j}$ a la que se suele denotar por \begin{equation*} \frac{\partial \varphi }{\partial x_{j}}(x)\in \mathbb{R}. \end{equation*} El gradiente de $\varphi $ en $x$ \index{gradiente}es el vector \begin{equation*} \nabla \varphi (x):=\left( \frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}(x),\dots,\frac{\partial \varphi }{\partial x_{n}}(x)\right) \in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} La fórmula (\ref{formparc}) se escribe entonces como \begin{equation*} \varphi^{\prime }(x)y=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{j}}(x)y_{j}=\nabla \varphi (x)\cdot y, \end{equation*} donde $\nabla \varphi (x)\cdot y$ denota al producto escalar usual de los vectores $\nabla \varphi (x)$ y $y$ en $\mathbb{R}^{n}$.

Si $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$ y $\varphi =(\varphi _{1},\dots,\varphi_{m})\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es diferenciable en $x$, entonces la $j$-ésima componente $\varphi _{j}$ de $\varphi $ es la composición $\varphi_{j}:=\pi _{j}\circ \varphi $ con la $j$-ésima proyección \begin{equation*} \pi_{j}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R},\text{\qquad }\pi _{j}(z_{1},\dots,z_{m}):=z_{j}. \end{equation*} Como $\pi_{j}$ es lineal, aplicando la regla de la cadena se tiene que \begin{equation*} \varphi_{j}^{\prime }(x)=\pi_{j}\circ \varphi^{\prime }(x), \end{equation*} es decir, $\varphi_{j}^{\prime }(x)$ es la $j$-ésima componente de $\varphi^{\prime }(x)$. Por tanto, \begin{align*} \varphi^{\prime }(x)y &=(\varphi_{1}^{\prime }(x)y,\dots,\varphi _{m}^{\prime }(x)y) \\ &=(\nabla \varphi_{1}(x)\cdot y,\dots,\nabla \varphi_{m}(x)\cdot y), \end{align*} es decir, $\varphi^{\prime }(x)$ es la función lineal dada por la matriz \begin{equation*} \varphi^{\prime }(x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{1}}(x) & \cdots & \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{n}}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial \varphi_{m}}{\partial x_{1}}(x) & \cdots & \frac{\partial \varphi_{m}}{\partial x_{n}}(x) \end{pmatrix} \end{equation*} que se llama la matriz jacobiana de $\varphi $ en $x$.\index{matriz!jacobiana}

No es cierto, en general, que si $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a cada variable en $u$ entonces $\varphi $ es diferenciable en $u$ [Ejercicio~\ref{siGnoF}]. Pero sí lo es si se cumple además que $\partial_{j}\varphi $ es continua en $\Omega $ para toda $j=1,\dots,n$.

Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $ si y sólo si $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a la $j$-ésima variable en $\Omega $ y \begin{equation*} \partial_{j}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V_{j},W) \end{equation*} es continua en $\Omega $ para todo $j=1,\dots,n$.

$\Rightarrow )$: Ya vimos que, si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $u$, entonces $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a la $j$-ésima variable en $u$ y $\partial_{j}\varphi (u)=\varphi^{\prime }(u)\circ \iota_{j}$. Por tanto, $\partial_{j}\varphi $ es continua si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $.

$\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $\varphi $ es parcialmente diferenciable respecto a la $j$-ésima variable en $\Omega $ y que $\partial_{j}\varphi $ es continua en $\Omega $ para todo\ $j=1,\dots,n$. Basta considerar el caso $n=2$, ya que el caso general se obtiene iterando éste.

Sean $u=(u_{1},u_{2})\in \Omega $ y $\varepsilon >0$. Como $\varphi $ es diferenciable respecto a la primera variable en $u$ y $\partial _{2}\varphi $ es continua en $u$, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} u+v\in \Omega \text{\qquad si }v=(v_{1},v_{2})\in V_{1}\times V_{2}\text{ y }\left\Vert v\right\Vert_{V_{1}\times V_{2}}:=\max \left\{\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}},\left\Vert v_{2}\right\Vert_{V_{2}}\right\}<\delta , \end{equation*} \begin{align} \left\Vert \varphi (u+\iota_{1}v_{1})-\varphi (u)-\partial_{1}\varphi (u)v_{1}\right\Vert_{W} &<\frac{\varepsilon }{4}\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}}\text{\qquad si }\left\Vert v_{1}\right\Vert _{V_{1}}<\delta ,\label{dp1} \\ \left\Vert \partial_{2}\varphi (u+v)-\partial_{2}\varphi (u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)} &<\frac{\varepsilon }{4}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V_{1}\times V_{2}}<\delta . \notag \end{align} La segunda desigualdad implica que \begin{align} \left\Vert \partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})v_{2}-\partial _{2}\varphi (u)v_{2}\right\Vert_{W} &\leq \left\Vert \partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})-\partial_{2}\varphi (u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)}\left\Vert v_{2}\right\Vert_{V_{2}} \notag \\ &<\frac{\varepsilon }{4}\left\Vert v_{2}\right\Vert_{V_{2}}\text{\qquad si }\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}}<\delta ,\label{dp2} \end{align} y también que \begin{align*} &\left\Vert \partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1}+t\iota _{2}v_{2})-\partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)} \\[4pt] &\quad{}\leq \left\Vert \partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1}+t\iota _{2}v_{2})-\partial_{2}\varphi (u)\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)}+\left\Vert \partial_{2}\varphi (u)-\partial_{2}\varphi (u+\iota _{1}v_{1})\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)} \\[4pt] &\quad{}<\tfrac{\varepsilon }{2}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert _{V_{1}\times V_{2}}<\delta \text{ y }t\in [0,1]. \end{align*} De esta última desigualdad y el Corolario~\ref{cortvm} se sigue que \begin{align} &\left\Vert \varphi (u+v)-\varphi (u+\iota_{1}v_{1})-\partial_{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})v_{2}\right\Vert_{W} \notag \\[4pt] &\quad{}\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \partial_{2}\varphi (u+\iota _{1}v_{1}+t\iota_{2}v_{2})-\partial_{2}\varphi (u+\iota _{1}v_{1})\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{2},W)}\left\Vert v_{2}\right\Vert _{V_{2}} \notag \\[4pt] &\quad{}<\tfrac{\varepsilon }{2}\left\Vert v_{2}\right\Vert_{V_{2}}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V_{1}\times V_{2}}<\delta .\label{dp3} \end{align} Finalmente, de las desigualdades (\ref{dp1}), (\ref{dp2}) y (\ref{dp3}) obtenemos \begin{align*} &\left\Vert \varphi (u+v)-\varphi (u)-\partial_{1}\varphi (u)v_{1}-\partial_{2}\varphi (u)v_{2}\right\Vert \\[4pt] &\quad{}\leq \left\Vert \varphi (u+v)-\varphi (u+\iota_{1}v_{1})-\partial _{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})v_{2}\right\Vert\\[4pt] &\qquad{}+\left\Vert \partial _{2}\varphi (u+\iota_{1}v_{1})v_{2}-\partial_{2}\varphi (u)v_{2}\right\Vert +\left\Vert \varphi (u+\iota_{1}v_{1})-\varphi (u)-\partial_{1}\varphi (u)v_{1}\right\Vert \\[4pt] &\quad{}\leq \varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V_{1}\times V_{2}}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V_{1}\times V_{2}}<\delta . \end{align*} Esto prueba que $\varphi $ es diferenciable en $u$ y que $\varphi ^{\prime }(u)v=\partial_{1}\varphi (u)v_{1}+\partial_{2}\varphi (u)v_{2}$. Por tanto, $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $.

Derivadas de orden superior

Sean $V$ y $W$ espacios de Banach y $\Omega $ un subconjunto abierto de $V$. Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $\Omega $, su derivada es una función que toma valores en el espacio de Banach $\mathcal{L}(V,W)$. Tiene pues sentido preguntarnos si $\varphi ^{\prime }\colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,W)$ es, a su vez, diferenciable en $\Omega $. Si lo es, decimos que $\varphi $ es dos veces diferenciable en $\Omega $. La derivada de $\varphi^{\prime }$ se llama la segunda derivada de $\varphi $ y se denota por \begin{equation*} D^{2}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,\mathcal{L}(V,W)), \end{equation*} o simplemente por $\varphi^{\prime \prime }$. Veremos a continuación que el espacio $\mathcal{L}(V,\mathcal{L}(V,W))$ tiene una representación sencilla: es el espacio de funciones bilineales y continuas $V\times V\rightarrow W$.

Sean $V_{1},\dots,V_{k},W$ espacios de Banach.

Una función $F\colon V_{1}\times \cdots \times V_{k}\rightarrow W$ es $k$-multilineal \index{función!multilineal}si es lineal en cada variable, es decir, si para cada $j\in \left\{1,\ldots ,k\right\}$ y $u_{i}\in V_{i}$, $i\neq j$, la función $V_{j}\rightarrow W$ dada por \begin{equation*} v\longmapsto F[u_{1},\dots,u_{j-1},v,u_{j+1},\dots,u_{m}] \end{equation*} es lineal. Si $k=2$ se dice que $F$ es bilineal.\index{función!bilineal}

Denotamos por\index{espacio!L (V1)@$\mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)$} \begin{equation*} \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W):=\left\{F\colon V_{1}\times \cdots \times V_{k}\rightarrow W:F\text{ es }k\text{-multilineal y continua}\right\}. \end{equation*} Si $V_{1}=\cdots =V_{k}=V$ escribimos simplemente \index{espacio!L subk VW@$\mathcal{L}_{k}(V,W)$} \begin{equation*} \mathcal{L}_{k}(V,W):=\mathcal{L}(\underbrace{V,\dots,V}_{\text{$k$ veces}};W). \end{equation*} Como en el caso $k=1$ se tiene el siguiente resultado.

Si $F\colon V_{1}\times \cdots \times V_{k}\rightarrow W$ es $k$-multilineal, entonces $F$ es continua si y sólo si existe $c\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation} \left\Vert F[v]\right\Vert_{W}\leq c\left\Vert v_{1}\right\Vert _{V_{1}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}}\text{\qquad }\forall v=(v_{1},\dots,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}.\label{mul} \end{equation}

$\Rightarrow )$: Si $F$ es continua, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert F[v]\right\Vert_{W}<1\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert _{V_{1}\times \cdots \times V_{k}}:=\max_{j=1,\dots,k}\left\Vert v_{j}\right\Vert_{V_{j}}<\delta . \end{equation*} Por tanto, para todo $v=(v_{1},\dots,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}, $ \begin{equation*} \frac{\delta^{k}}{2^{k}\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}}}\left\Vert F[v]\right\Vert _{W}=\left\Vert F\left[ \frac{\delta }{2}\left( \frac{v_{1}}{\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}}},\ldots ,\frac{v_{k}}{\left\Vert v_{k}\right\Vert _{V_{k}}}\right) \right] \right\Vert_{W}<1. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert F[v]\right\Vert_{W}\leq \frac{2^{k}}{\delta^{k}}\left\Vert v_{1}\right\Vert_{V_{1}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}}\text{\qquad }\forall v=(v_{1},\dots,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}. \end{equation*}

$\Leftarrow )$: Supongamos ahora que se cumple (\ref{mul}). Sean $u,v\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}$ y $R:=\left\Vert u\right\Vert_{V_{1}\times \cdots \times V_{k}}+1$. Como $F$ es $k$-multilineal,

\begin{align*} F[v]-F[u] &=F[v_{1}-u_{1},v_{2},\dots,v_{k}] \\[5pt] &\qquad{}+\sum_{i=2}^{k-1}F[u_{1},\dots,u_{i-1},v_{i}-u_{i},v_{i+1},\dots,v_{k}]\\[5pt] &\qquad{}+F[u_{1},\dots,u_{k-1},v_{k}-u_{k}]. \end{align*} Aplicando la desigualdad del triángulo y la desigualdad (\ref{mul}) concluimos que \begin{align*} \left\Vert F[v]-F[u]\right\Vert_{W} &\leq{} c\left\Vert v_{1}-u_{1}\right\Vert_{V_{1}}\left\Vert v_{2}\right\Vert_{V_{2}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}} \\[3pt] &\qquad{}+c\sum_{i=2}^{k-1}\left\Vert u_{1}\right\Vert_{V_{1}}\cdots \left\Vert u_{i-1}\right\Vert_{V_{i-1}}\left\Vert v_{i}-u_{i}\right\Vert _{V_{i}}\left\Vert v_{i+1}\right\Vert_{V_{i+1}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}} \\[3pt] &\qquad{}+c\left\Vert u_{1}\right\Vert_{V_{1}}\cdots \left\Vert u_{k-1}\right\Vert _{V_{k-1}}\left\Vert v_{k}-u_{k}\right\Vert_{V_{k}} \\[5pt] &\leq cR^{k-1}\sum_{i=1}^{k}\left\Vert v_{i}-u_{i}\right\Vert _{V_{i}}\text{\qquad si }\left\Vert v-u\right\Vert_{V_{1}\times \cdots \times V_{k}}<1. \end{align*} De esta desigualdad se sigue inmediatamente que $F$ es continua en $u$.

Para $F\in \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)$ definimos \begin{equation} \left\Vert F\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)}:=\sup_{\substack{ v_{j}\in V_{j}\smallsetminus \left\{0\right\} \\j=1,\ldots ,k}}\frac{\left\Vert F[v_{1},\dots,v_{k}]\right\Vert_{W}}{\left\Vert v_{1}\right\Vert _{V_{1}}\cdots \left\Vert v_{k}\right\Vert_{V_{k}}}.\label{normul} \end{equation} Esta es una norma en $\mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)$, que coincide con la definida en (\ref{defnorma}) cuando $k=1$.

Asociando a cada $F\in \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)$ la función $\hat{F}\in \mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},\dots ,V_{k};W))$ dada por \begin{equation*} (\hat{F}v_{1})[v_{2},\ldots ,v_{k}]:=F[v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}],\text{\qquad }v_{j}\in V_{j}, \end{equation*} obtenemos un isomorfismo de espacios vectoriales \begin{equation} \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)\cong \mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},\dots ,V_{k};W))\label{bil} \end{equation} que es además una isometría, es decir, \begin{equation*} \bigl\Vert F\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)}=\bigl\Vert \hat{F}\bigr\Vert_{\mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},\dots ,V_{k};W))} \end{equation*} [Ejercicio~\ref{multi}]. Iterando estos isomorfismos obtenemos \begin{equation*} \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)\cong \mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},\cdots ,\mathcal{L}(V_{k-1},\mathcal{L}(V_{k},W))\cdots )). \end{equation*} En consecuencia, $\mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{k};W)$ es un espacio de Banach (ver Proposición~\ref{lin+contBanach}).

Podemos definir ahora las derivadas de orden superior como sigue.

Sea $k\in \mathbb{N}$, $k\geq 2$. Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es $k$-veces diferenciable en $\Omega $ si $\varphi $ es $(k-1)$-veces diferenciable en $\Omega $ y su derivada de orden $k-1$ es diferenciable en $\Omega $. La derivada de $D^{k-1}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}_{k-1}(V,W)$ se llama la derivada de orden $k $ de $\varphi $ \index{derivada!de orden k@de orden $k$}y se denota \begin{equation*} D^{k}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V,\mathcal{L}_{k-1}(V,W))\cong \mathcal{L}_{k}(V,W). \end{equation*} Si $D^{k}\varphi $ es continua en $\Omega $ decimos que $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $\Omega $. \index{función!de clase ck@de clase $\mathcal{C}^{k}$}

Si $D^{j}\varphi $ admite una extensión continua a la cerradura $\overline{\Omega }$ de $\Omega $ para cada $j=0,1,\ldots ,k$, donde $D^{0}\varphi :=\varphi $, decimos que $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $\overline{\Omega }$.

Finalmente, si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $\Omega $ (resp. en $\overline{\Omega }$) para todo $k\in \mathbb{N}$, decimos que $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ en $\Omega $ (resp. en $\overline{\Omega }$).

Veamos un ejemplo.

La función $\varphi \colon \ell_{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\varphi (\overline{x}):=\left\Vert \overline{x}\right\Vert_{\ell _{2}}^{2}$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ en $\ell_{2}$, \begin{equation*} D^{2}\varphi (\overline{x})[\overline{y},\overline{z}]=2\sum_{k=1}^{\infty }y_{k}z_{k}\text{\qquad }\forall \overline{x},\overline{y},\overline{z}\in \ell_{2}, \end{equation*} y $D^{k}\varphi (\overline{x})=0\in \mathcal{L}_{k}(\ell _{2},\mathbb{R})$ para todo $\overline{x}\in \ell_{2}$, $k\geq 3$.

Sabemos que $\varphi $ es diferenciable, que su derivada $\varphi ^{\prime }\colon \ell_{2}\rightarrow \mathcal{L}(\ell_{2},\mathbb{R})$ está dada por \begin{equation*} \varphi^{\prime }(\overline{x})\overline{z}=2\sum_{k=1}^{\infty }x_{k}z_{k}\text{\qquad }\forall \overline{x}=(x_{k}),\text{ }\overline{z}=(z_{k})\in \ell_{2} \end{equation*} (ver Ejemplo~\ref{ejder3}) y que $\varphi^{\prime }$ es continua (ver Ejemplo~\ref{ejder4}). Observa además que $\varphi^{\prime }$ es lineal, es decir, \begin{equation*} \varphi^{\prime }(\alpha \overline{x}+\beta \overline{y})=\alpha \varphi ^{\prime }(\overline{x})+\beta \varphi^{\prime }(\overline{y})\text{\qquad }\forall \overline{x},\overline{y}\in \ell_{2},\text{ }\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}. \end{equation*} El Ejemplo~\ref{ejder2} asegura entonces que $D^{2}\varphi (\overline{x})=\varphi^{\prime }$ para todo $\overline{x}\in \ell _{2}$, y usando el isomorfismo (\ref{bil}) obtenemos \begin{equation*} D^{2}\varphi (\overline{x})[\overline{y},\overline{z}]=\varphi^{\prime }[\overline{y},\overline{z}]=\varphi^{\prime }(\overline{y})\overline{z}=2\sum_{k=1}^{\infty }y_{k}z_{k}\text{\qquad }\forall \overline{x},\overline{y},\overline{z}\in \ell_{2}. \end{equation*} Más aún, como $D^{2}\varphi \colon \ell_{2}\rightarrow \mathcal{L}_{2}(\ell_{2},\mathbb{R})$ es constante, el Ejemplo~\ref{ejder1} asegura que $D^{k}\varphi (\overline{x})=0\in \mathcal{L}_{k}(\ell_{2},\mathbb{R})$ para todo $\overline{x}\in \ell_{2}$, $k\geq 3$.

Como ocurre en espacios euclidianos, la derivada de orden $k$ en cada punto es simétrica.

Si $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es $k$-veces diferenciable en $\Omega $ entonces, para cada $u\in \Omega $, la $k$-ésima derivada de $\varphi $ en $u$ es simétrica, es decir, \begin{equation*} D^{k}\varphi (u)[v_{1},\ldots ,v_{k}]=D^{k}\varphi (u)[v_{\tau (1)},\ldots ,v_{\tau (k)}] \end{equation*} para cualesquiera $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ y cualquier permutación $\tau \colon \left\{1,\ldots ,k\right\}\rightarrow \left\{1,\ldots ,k\right\}$.

Consideramos dos casos.

Caso 1: $k=2$.

Sean $u\in \Omega $ y $\varepsilon >0$. Como $\varphi $ es dos veces diferenciable en $u$ existe $\delta >0$ tal que $u+v\in \Omega $ y \begin{equation} \left\Vert \varphi^{\prime }(u+v)-\varphi^{\prime }(u)-D^{2}\varphi (u)v\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}<\varepsilon \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad si }\left\Vert v\right\Vert_{V}<2\delta .\label{2dif} \end{equation} Sean $v,w\in V$ tales que $\max \left\{\left\Vert v\right\Vert _{V},\left\Vert w\right\Vert_{V}\right\}<\delta $. Definimos $\sigma \colon [0,1]\rightarrow W$ como \begin{equation*} \sigma (t):=\varphi (u+tv+w)-\varphi (u+tv). \end{equation*} Entonces \begin{align*} \sigma^{\prime }(t)-D^{2}\varphi (u)[w,v] &=\left[ \varphi^{\prime }(u+tv+w)v-\varphi^{\prime }(u)v-D^{2}\varphi (u)[tv+w,v]\right] \\ &\qquad{}-\left[ \varphi^{\prime }(u+tv)v-\varphi^{\prime }(u)v-D^{2}\varphi (u)[tv,v]\right] \end{align*} y aplicando (\ref{2dif}) obtenemos \begin{align*} &\left\Vert \sigma^{\prime }(t)-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W}\\ &\qquad{}\leq \left\Vert \varphi^{\prime }(u+tv+w)-\varphi^{\prime }(u)-D^{2}\varphi (u)[tv+w]\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert v\right\Vert_{V} \\ &\qquad\qquad{}+\left\Vert \varphi^{\prime }(u+tv)-\varphi^{\prime }(u)-D^{2}\varphi (u)(tv)\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}\left\Vert v\right\Vert_{V} \\ &\qquad{}<2\varepsilon \left( \left\Vert v\right\Vert_{V}+\left\Vert w\right\Vert _{V}\right) \left\Vert v\right\Vert_{V}\text{\qquad }\forall t\in [0,1]. \end{align*} El Corolario~\ref{cortvm} y la desigualdad anterior implican que \begin{align*} &\left\Vert \sigma (1)-\sigma (0)-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W}\\ &\qquad{}\leq\left\Vert \sigma (1)-\sigma (0)-\sigma^{\prime }(0)\right\Vert _{W} +\left\Vert \sigma^{\prime }(0)-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W} \\ &\qquad\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \sigma^{\prime }(t)-\sigma ^{\prime }(0)\right\Vert_{W} +\left\Vert \sigma^{\prime }(0)-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W} \\ &\qquad{}\leq 3\sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \sigma^{\prime }(t)-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W} \\ &\qquad{}\leq 6\varepsilon \left( \left\Vert v\right\Vert_{V}+\left\Vert w\right\Vert_{V}\right) \left\Vert v\right\Vert_{V}. \end{align*} Observa que $\sigma (1)-\sigma (0)=\varphi (u+v+w)-\varphi (u+v)-\varphi (u+w)+\varphi (u)$ es simétrica en $v$ y $w$, por lo que intercambiando los papeles de $v$ y $w$ en la desigualdad anterior obtenemos \begin{equation*} \left\Vert \sigma (1)-\sigma (0)-D^{2}\varphi (u)[v,w]\right\Vert_{W}\leq 6\varepsilon \left( \left\Vert v\right\Vert_{V}+\left\Vert w\right\Vert _{V}\right) \left\Vert w\right\Vert_{V}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert D^{2}\varphi (u)[v,w]-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W}\leq 6\varepsilon \left( \left\Vert v\right\Vert_{V}+\left\Vert w\right\Vert _{V}\right)^{2} \end{equation*} si $\max \left\{\left\Vert v\right\Vert _{V},\left\Vert w\right\Vert_{V}\right\}<\delta$.

Si $v,w\in V$ son arbitrarios, escogemos $\lambda \in (0,1]$ tal que $\max \left\{\left\Vert \lambda v\right\Vert_{V},\left\Vert \lambda w\right\Vert_{V}\right\}<\delta $. De la desigualdad anterior se sigue entonces que \begin{align*} \left\Vert D^{2}\varphi (u)[v,w]-D^{2}\varphi (u)[w,v]\right\Vert_{W} &=\frac{1}{\lambda^{2}}\left\Vert D^{2}\varphi (u)[\lambda v,\lambda w]-D^{2}\varphi (u)[\lambda w,\lambda v]\right\Vert_{W} \\ &\leq \frac{1}{\lambda^{2}}6\varepsilon \left( \left\Vert \lambda v\right\Vert_{V}+\left\Vert \lambda w\right\Vert_{V}\right)^{2}\\ &=6\varepsilon \left( \left\Vert v\right\Vert_{V}+\left\Vert w\right\Vert_{V}\right)^{2}. \end{align*} Como $\varepsilon >0$ es arbitraria, concluimos que $D^{2}\varphi (u)[v,w]=D^{2}\varphi (u)[w,v]$ para cualesquiera $v,w\in V$.

Caso 2: $k>2$.

El resultado se obtiene por inducción usando el caso $k=2$ y el isomorfismo (\ref{bil}).

Si $V$ y $W$ son espacios de Banach, $\Omega $ es un subconjunto abierto de $V$ y $k\in \mathbb{N}\cup \left\{\infty \right\}$\ definimos \index{espacio!C alakOmega@$\mathcal{C}^{k}(\Omega ,W)$, $\mathcal{C}^{k}(\Omega )$} \index{espacio!C alakOmegaO@ $\mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega },W)$, $\mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega })$} \begin{align*} \mathcal{C}^{k}(\Omega ,W) &:=\left\{\varphi \colon \Omega \rightarrow W:\varphi \text{ es de clase }\mathcal{C}^{k}\text{ en }\Omega \right\}, \\ \mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega },W) &:=\left\{\varphi \colon \overline{\Omega }\rightarrow W:\varphi \text{ es de clase }\mathcal{C}^{k}\text{ en }\overline{\Omega }\right\}. \end{align*} Si $W=\mathbb{R}$ escribiremos simplemente \begin{align*} \mathcal{C}^{k}(\Omega ) &:=\mathcal{C}^{k}(\Omega ,\mathbb{R}), \\ \mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega }) &:=\mathcal{C}^{k}(\overline{\Omega },\mathbb{R}). \end{align*}

La fórmula de Taylor

Si $\varphi $ es diferenciable en $u_{0}$ entonces \begin{equation*} \varphi (u_{0}+v)=\varphi (u_{0})+\varphi^{\prime }(u_{0})v+r_{1}(v) \end{equation*} donde $\lim_{v\rightarrow 0}\frac{\left\Vert r_{1}(v)\right\Vert _{W}}{\left\Vert v\right\Vert_{V}}=0$. Es decir, cerca de $u_{0}$, $\varphi $ es la suma de una función constante más una función lineal salvo por un término que tiende a cero más rápidamente que $\left\Vert v\right\Vert_{V}$. La fórmula de Taylor generaliza esta afirmación. Asegura que si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{k}$ en $u_{0}$ entonces, cerca de ese punto, $\varphi $ es una suma de funciones $j$-multilineales, $j=0,\ldots ,k$, salvo por un término que tiende a cero más rápidamente que $\left\Vert v\right\Vert_{V}^{k}$.

El teorema que veremos a continuación es una extensión a espacios de Banach del teorema de Taylor\footnote{Brook Taylor (1685-1731) nació Edmonton, Inglaterra. Estudió en la Universidad de Cambridge. Publicó su célebre fórmula en 1715, pero su importancia no fue reconocida sino hasta 1772 cuando J. L. Lagrange se dió cuenta de su potencial y la llamó el fundamento principal del cálculo diferencial.} para funciones reales de variable real del cálculo diferencial. Usaremos ese resultado para demostrar éste, por lo que conviene que revises su demostración [Ejercicio \ref{taylorR}]. \begin{bio}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{./fotos/calcasdos/Frechet.png}\\[5pt] \includegraphics[width=.25\textwidth]{./fotos/calcasdos/Taylor.pdf}\\[5pt] \bfseries Brook Taylor \end{bio}

[Taylor] \label{teotaylor}\index{teorema!de Taylor}Si $V$ es un espacio de Banach, $\Omega $ es un subconjunto abierto de $V$, $u_{0}\in \Omega $ y $v\in V$ satisfacen que $u_{0}+tv\in \Omega $ para todo $t\in [0,1]$, y $\varphi \in \mathcal{C}^{k+1}(\Omega )$, entonces existe $\theta \in (0,1)$ tal que \begin{align*} \varphi (u_{0}+v) &=\varphi (u_{0})+D\varphi (u_{0})v+\frac{1}{2}D^{2}\varphi (u_{0})[v,v]+\cdots \\ &\qquad{}+\frac{1}{k!}D^{k}\varphi (u_{0})[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k$ veces}}] +\frac{1}{(k+1)!}D^{k+1}\varphi (u_{0}+\theta v)[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k+1$ veces}}]. \end{align*}

Observa que la función real de variable real $f(t):=\varphi (u_{0}+tv)$ está definida en algún intervalo abierto que contiene a $[0,1]$, es de clase $\mathcal{C}^{k+1}$ en dicho intervalo y \begin{equation} D^{j}f(t)=D^{j}\varphi (u_{0}+tv)[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$j$ veces}}],\text{\qquad }j=1,\dots,k+1.\label{tay} \end{equation} En efecto: por la regla de la cadena, $Df(t)=D\varphi (u_{0}+tv)v$. Argumentando por inducción, si $D^{j-1}f(t)=D^{j-1}\varphi (u_{0}+tv)[v,\ldots ,v]$ para algún $j=2,\dots,k+1$, entonces $D^{j-1}f=\mathcal{E}\circ \left( D^{j-1}\varphi \right) \circ \sigma $, donde $\sigma (t):=u_{0}+tv$ y $\mathcal{E}$ es la función que a cada $F\in \mathcal{L}_{j-1}(V,\mathbb{R})$ le asocia el valor $F[v,\ldots ,v]\in \mathbb{R}$. Observa que $\mathcal{E}$ es lineal y continua [Ejercicio~\ref{eval}]. Entonces, aplicando la regla de la cadena obtenemos \begin{equation*} D^{j}f(t)=\left( D^{j}\varphi (u_{0}+tv)v\right)[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$j-1$ veces}}]. \end{equation*} Esta función corresponde a (\ref{tay}) bajo el isomorfismo (\ref{bil}).

Aplicando el teorema de Taylor para funciones de variable real [Ejercicio~\ref{taylorR}] a la función $f$, concluimos que existe $\theta \in (0,1)$ tal que \begin{align*} \varphi (u_{0}+v) &=f(1)=f(0)+Df(0)+\frac{1}{2}D^{2}f(0)+\cdots\\ &\qquad{}+\frac{1}{k!}D^{k}f(0)+\frac{1}{(k+1)!}D^{k+1}f(\theta ) \\ &=\varphi (u_{0})+D\varphi (u_{0})v+\frac{1}{2}D^{2}\varphi (u_{0})[v,v]+\cdots \\ &\qquad{}+\frac{1}{k!}D^{k}\varphi (u_{0})[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k$ veces}}]+\frac{1}{(k+1)!}D^{k+1}\varphi (u_{0}+\theta v)[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k+1$ veces}}]. \end{align*} Esta es la identidad deseada.

[Fórmula de Taylor] \index{fórmula!de Taylor}Si $V$ es un espacio de Banach, $\Omega $ es un subconjunto abierto de $V$, $u_{0}\in \Omega $ y $\varphi \in \mathcal{C}^{k}(\Omega )$, entonces la función \begin{equation} r_{k}(v):=\varphi (u_{0}+v)-\varphi (u_{0})-D\varphi (u_{0})v-\cdots -\frac{1}{k!}D^{k}\varphi (u_{0})[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k$ veces}}]\label{residuo} \end{equation} está definida en una vecindad de $0$ en $V$ y satisface \begin{equation*} \lim_{v\rightarrow 0}\frac{r_{k}(v)}{\left\Vert v\right\Vert_{V}^{k}}=0. \end{equation*}

Sea $\delta >0$ tal que $B_{V}(u_{0},\delta )\subset \Omega $. Aplicando el Teorema~\ref{teotaylor} con $k$ en vez de $k+1$ obtenemos que, para cada $v\in B_{V}(0,\delta )$, existe $\theta _{v}\in (0,1)$ tal que \begin{equation*} \varphi (u_{0}+v)=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{j!}D^{j}\varphi (u_{0})[v,\ldots ,v]+\frac{1}{k!}D^{k}\varphi (u_{0}+\theta_{v}v)[v,\ldots ,v]. \end{equation*} Por otra parte, de la definición de $r_{k}$ se sigue que \begin{equation*} \varphi (u_{0}+v)=\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{j!}D^{j}\varphi (u_{0})[v,\ldots ,v]+r_{k}(v). \end{equation*} Tomando la diferencia de estas identidades obtenemos \begin{equation*} r_{k}(v)=\frac{1}{k!}\left( D^{k}\varphi (u_{0}+\theta_{v}v)-D^{k}\varphi (u_{0})\right) [v,\ldots ,v]. \end{equation*} En consecuencia, si $v\neq 0$, \begin{align*} \frac{\left\vert r_{k}(v)\right\vert }{\left\Vert v\right\Vert_{V}^{k}} &=\frac{1}{k!}\frac{\left\vert \left( D^{k}\varphi (u_{0}+\theta _{v}v)-D^{k}\varphi (u_{0})\right) [v,\ldots ,v]\right\vert }{\left\Vert v\right\Vert_{V}^{k}} \\ &\leq \frac{1}{k!}\left\Vert D^{k}\varphi (u_{0}+\theta_{v}v)-D^{k}\varphi (u_{0})\right\Vert_{\mathcal{L}_{k}(V,\mathbb{R})}. \end{align*} Dado que $D^{k}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}_{k}(V,\mathbb{R})$ es continua en $u_{0}$ y que $\theta _{v}\in (0,1)$, concluimos que $\lim_{v\rightarrow 0}\frac{r_{k}(v)}{\left\Vert v\right\Vert_{V}^{k}}=0$.

La función \begin{equation*} P_{k}(v):=\varphi (u_{0})+D\varphi (u_{0})v+\cdots +\frac{1}{k!}D^{k}\varphi (u_{0})[\underbrace{v,\ldots ,v}_{\text{$k$ veces}}] \end{equation*} se llama la expansión de Taylor de grado $k$ de $\varphi $ alrededor de $u_{0}$.\index{expansión!de Taylor}

Ejercicios

Prueba que \begin{equation*} \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}:=\sup_{\substack{ v\in V \\v\neq 0}}\frac{\left\Vert Tv\right\Vert_{W}}{\left\Vert v\right\Vert_{V}} \end{equation*} es una norma en $\mathcal{L}(V,W)$.

Si identificamos al espacio $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ con el espacio $\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ de matrices de $m\times n$ de la manera usual, este espacio resulta isomorfo a $\mathbb{R}^{mn}$. Prueba que cualquier isomorfismo de espacios vectoriales \begin{equation*} \iota \colon \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})\rightarrow \mathbb{R}^{mn} \end{equation*} es un homeomorfismo para cualquier norma que le demos a $\mathbb{R}^{mn}$.

Prueba que, para todo $T\in \mathcal{L}(V,W)$, \begin{equation*} \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}=\sup_{v\in \bar{B}_{V}(0,1)}\left\Vert Tv\right\Vert_{W}=\sup_{v\in S_{V}(0,1)}\left\Vert Tv\right\Vert_{W}. \end{equation*} donde $\bar{B}_{V}(0,1):=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert_{V}\leq 1\right\}$ y $S_{V}(0,1):=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert_{V}=1\right\}$.

Sean $V,W,Z$ espacios de Banach. Demuestra las siguientes afirmaciones:

\begin{enumerate} \item[(a)] Si $S\in \mathcal{L}(V,W)$ y $T\in \mathcal{L}(W,Z)$ entonces \begin{equation*} \left\Vert T\circ S\right\Vert_{\mathcal{L}(V,Z)}\leq \left\Vert T\right\Vert_{\mathcal{L}(W,Z)}\left\Vert S\right\Vert_{\mathcal{L}(V,W)}. \end{equation*}

\item[(b)] Si $S_{k}\rightarrow S$ en $\mathcal{L}(V,W)$ y $T_{k}\rightarrow T$ en $\mathcal{L}(W,Z)$ entonces $T_{k}\circ S_{k}\rightarrow T\circ S$ en $\mathcal{L}(V,Z)$. \end{enumerate}

Prueba que, si $\varphi ,\psi \colon \Omega \rightarrow W$ son diferenciables en $u_{0}$, entonces $\lambda \varphi +\mu \psi $ es diferenciable en $u_{0}$ y \begin{equation*} (\lambda \varphi +\mu \psi )^{\prime }(u_{0})=\lambda \varphi^{\prime }(u_{0})+\mu \psi^{\prime }(u_{0}). \end{equation*}

Sean $V_{1},V_{2}$ espacios de Banach, $(u_{1},u_{2})\in V_{1}\times V_{2}$. Prueba que las funciones \begin{alignat*}{2} &\iota_{1,u_{2}} \colon V_{1}\rightarrow V_{1}\times V_{2},&\qquad&\iota _{1,u_{2}}(v_{1}):=(v_{1},u_{2}), \\ &\iota_{2,u_{1}} \colon V_{2}\rightarrow V_{1}\times V_{2},&&\iota _{2,u_{1}}(v_{2}):=(u_{1},v_{2}), \end{alignat*} son diferenciables y calcula su derivada.

Prueba que la función $ \varphi \colon \mathcal{C}^{0}([0,1],V)\rightarrow V\times V$ dada por \begin{equation*} \varphi (\sigma ):=(\sigma (0),\sigma (1)) \end{equation*} es diferenciable y calcula su derivada.

Prueba que la función $\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (u):=\int_{0}^{1}u^{2} \end{equation*} es diferenciable y calcula su derivada.

Un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ es conexo \index{conjunto!conexo}si para cualesquiera $a_{1},a_{2}\in A$ existe una trayectoria de $a_{1}$ a $a_{2}$ en $A$.

Prueba que, si $\Omega $ es un subconjunto abierto y conexo de un espacio de Banach $V$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$ es diferenciable en $\Omega $ y $\varphi^{\prime }(u)=0$ para todo $u\in \Omega $, entonces $\varphi $ es constante en $\Omega $. (Sugerencia: Usa el teorema del valor medio.)

Sea $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text{si }(x,y)\neq (0,0), \\ 0 & \text{si }(x,y)=(0,0). \end{array} \right. \end{equation*} Prueba que $\varphi $ es diferenciable en $(0,0)$. (Sugerencia: Usa la desigualdad de Young, Lema~\ref{young}.)

Sea $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \text{si }(x,y)\neq (0,0), \\ 0 & \text{si }(x,y)=(0,0). \end{array} \right. \end{equation*} Prueba que existen las derivadas parciales $\frac{\partial \varphi }{\partial x}(0,0)$ y $\frac{\partial \varphi }{\partial y}(0,0)$, pero que no existe ninguna otra derivada direccional en $(0,0)$, es decir, si $xy\neq 0$ no existe el límite \begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi (tx,ty)-\varphi (0,0)}{t}. \end{equation*}

Sea $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text{si }(x,y)\neq (0,0), \\ 0 & \text{si }(x,y)=(0,0). \end{array} \right. \end{equation*} Prueba que existen todas las derivadas direccionales de $\varphi $ en $(0,0)$, pero que $\varphi $ no es Gâteaux-diferenciable en $(0,0)$.

Prueba que la función $\varphi \colon \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & \text{si }(x,y)\neq (0,0), \\ 0 & \text{si }(x,y)=(0,0). \end{array} \right. \end{equation*} es Gâteaux-diferenciable en $(0,0)$, pero no es diferenciable en $(0,0)$.

Considera las funciones $f_{1},f_{2},f_{\infty }\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dadas por \begin{equation*} f_{1}(x):=\left\Vert x\right\Vert_{1},\text{\qquad }f_{2}(x):=\left\Vert x\right\Vert_{2},\text{\qquad }f_{\infty }(x):=\left\Vert x\right\Vert _{\infty }. \end{equation*} Investiga en qué puntos son diferenciables y calcula su derivada en dichos puntos.

Considera la función \begin{equation*} \left\Vert \cdot \right\Vert_{1}\colon \ell_{1}\rightarrow \mathbb{R}\text{,\qquad }\left\Vert x\right\Vert_{1}:=\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert x_{k}\right\vert . \end{equation*}

\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$ es Gâteaux-diferenciable en $x=(x_{k})$ si y sólo si $x_{k}\neq 0$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Calcula, en este caso, su derivada de Gâteaux.

\item[(b)] Prueba que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{1}$ no es Fréchet-diferenciable en ningún punto. \end{enumerate}

Sea $f\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$. Prueba que la función $\varphi \colon (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (t):=\int_{t}^{b}f(s)ds \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y su derivada es $\varphi^{\prime }(t)=-f(t). $

Sea $f\colon [a,b]\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua, cuya derivada parcial respecto a la segunda variable existe y es continua en $[a,b]\times \mathbb{R}$.

\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que la función $\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (u):=\int_{a}^{b}f(s,u(s))ds \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y su derivada está dada por \begin{equation*} \varphi^{\prime }(u)v=\int_{a}^{b}\partial_{2}f(s,u(s))\left[ v(s)\right] ds. \end{equation*}

\item[(b)] Prueba que la función $\Phi \colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[a,b]$ dada por \begin{equation*} \Phi (u)(t):=\int_{a}^{t}f(s,u(s))ds \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y su derivada está dada por \begin{equation*} \left( \Phi^{\prime }(u)v\right) (t)=\int_{a}^{t}\partial_{2}f(s,u(s)) \left[ v(s)\right] ds. \end{equation*} \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que toda función $T\in \mathcal{L}(V,W)$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y calcula su derivada de orden $k$ para todo $k\in \mathbb{N}$.

\item[(b)] Prueba que toda función $F\in \mathcal{L}(V_{1},V_{2};W) $es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y calcula su derivada de orden $k$ para todo $k\in \mathbb{N}$. \end{enumerate}

Sea $F\in \mathcal{L}_{2}(V,\mathbb{R})$. Si $F$ es simétrica, es decir, si $F[v_{1},v_{2}]=F[v_{2},v_{1}]$ para cualesquiera $v_{1},v_{2}\in V$, prueba que la función \begin{equation*} Q\colon V\rightarrow \mathbb{R}\text{,\qquad }Q(v)=\frac{1}{2}F[v,v], \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y calcula todas sus derivadas.

Prueba que la función $\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[0,1]\rightarrow \mathcal{C}^{0}[0,1]$ dada por $\varphi (u):=u^{2}$ es de clase $\mathcal{C}^{\infty } $ y calcula todas sus derivadas.

Sea $K\colon [a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua y simétrica. Prueba que la función $\varphi \colon \mathcal{C}^{0}[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} \varphi (u):=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}K(x,y)u(x)u(y)dxdy \end{equation*} es de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ y calcula todas sus derivadas.

Sean $V_{1},\dots,V_{n},W$ espacios de Banach y $v_{j}\in V_{j}$. Prueba que la función \begin{equation*} \mathcal{E}\colon \mathcal{L}(V_{1},\dots,V_{n};W)\rightarrow W,\qquad \mathcal{E}(F):=F[v_{1},\ldots ,v_{n}], \end{equation*} es lineal y continua.

Considera la función $\iota \colon \mathcal{L}(V_{1},V_{2};W)\rightarrow \mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},W))$ dada por $\iota (F):=\hat{F}$ donde \begin{equation*} (\hat{F}v_{1})v_{2}=F[v_{1},v_{2}],\qquad \forall v_{1}\in V_{1},\text{ }v_{2}\in V_{2}. \end{equation*} Prueba que

\begin{enumerate} \item[(a)] $\iota $ está bien definida, es decir, $\hat{F}\in \mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},W))$ si $F\in \mathcal{L}(V_{1},V_{2};W)$,

\item[(b)] $\iota $ es un isomorfismo de espacios vectoriales,

\item[(c)] $\iota $ es una isometría, es decir, \begin{equation*} \left\Vert F\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{1},V_{2};W)}=\left\Vert \hat{F}\right\Vert_{\mathcal{L}(V_{1},\mathcal{L}(V_{2},W))}\qquad \forall F\in \mathcal{L}(V_{1},V_{2};W). \end{equation*} \end{enumerate}

Sean $V_{1},\dots,V_{n},W$ espacios de Banach, $\Omega $ un subconjunto abierto de $V:=V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ y $\varphi \colon \Omega \rightarrow W$.

\begin{enumerate} \item[(a)] Prueba que si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{2}$ entonces existen las derivadas parciales de orden~$2$, \begin{equation*} \partial_{j}\partial_{i}\varphi (u):=\partial_{j}\left( \partial _{i}\varphi \right) (u)\in \mathcal{L}(V_{j},\mathcal{L}(V_{i},W))\cong \mathcal{L}(V_{j},V_{i};W), \end{equation*} para cualesquiera $u\in \Omega $, $i,j=1,\ldots ,n$, y que se cumple \begin{equation*} D^{2}\varphi (u)[v,w]=\sum_{i,j=1}^{n}\partial_{j}\partial _{i}\varphi (u)[v_{j},w_{i}] \end{equation*} para cualesquiera $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$, $w=(w_{1},\ldots ,w_{n})\in V$.

\item[(b)] Prueba que, si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{2}$, entonces $\partial_{j}\partial_{i}\varphi (u)=\partial _{i}\partial_{j}\varphi (u)$ para cualesquiera $u\in \Omega $, $i,j=1,\ldots ,n$.

\item[(c)] Prueba que, si las derivadas parciales $\partial _{j}\partial_{i}\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathcal{L}(V_{j},V_{i};W)$ de orden $2$ existen y son continuas para cualesquiera $i,j=1,\ldots ,n$, entonces $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{2}$.

\item[(d)] Formula y demuestra los resultados análogos para $\varphi $ de clase $\mathcal{C}^{k}$, $k\geq 2$. \end{enumerate}

[Teorema de Taylor para funciones de variable real] \label{taylorR}Prueba que si $f\in \mathcal{C}^{k+1}(a,b)$ y $0\in (a,b)$ entonces, para cada $t\in (a,b)$, existe un punto $\theta \in (0,1)$ tal que \begin{equation*} f(t)=f(0)+Df(0)t+\frac{1}{2}D^{2}f(0)t^{2}+\cdots +\frac{1}{k!}D^{k}f(0)t^{k}+\frac{1}{(k+1)!}D^{k+1}f(\theta t)t^{k+1}. \end{equation*}

Sea $Q\colon V\rightarrow \mathbb{R}$ como en el Ejercicio~\ref{Q}.

\begin{enumerate} \item[(a)] Para cualesquiera $k\geq 2$ y $u_{0}\in V$, calcula la expansión de Taylor de grado $k$ de $Q$ alrededor de $u_{0}$.

\item[(b)] Calcula la función $r_{k}$ definida en (\ref{residuo}). \end{enumerate}

Sea $\Omega :=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x+y\neq 0\right\}$ y sea $\varphi \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por \begin{equation*} \varphi (x,y):=\frac{x-y}{x+y}. \end{equation*}

\begin{enumerate} \item[(a)] Calcula la expansión de Taylor de grado $2$ de la función $\varphi $ alrededor de $(1,1)$.

\item[(b)] Comprueba directamente que la función $r_{2}$ definida en (\ref{residuo}) con $u_{0}=(1,1)$ satisface \begin{equation*} \lim_{(x,y)\rightarrow (1,1)}\frac{r_{2}(x,y)}{x^{2}+y^{2}}=0. \end{equation*} \end{enumerate}

Utiliza una expansión de Taylor de la función $\varphi (x,y):=\cos (x+y)$ para calcular \begin{equation*} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{1-\cos (x+y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}. \end{equation*}

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