Para cada $k\in \mathbb{N}$ denotemos por $\overline{e}_{k}\in \ell _{2}$ a la sucesión cuyo $k$-ésimo término es $1$ y todos los demás términos son $0$. Claramente $\overline{e}_{k}\in \bar{B}_{\ell_{2}}(0,1)$. Observa que \begin{equation*} \left\Vert \overline{e}_{j}-\overline{e}_{k}\right\Vert_{2}=\sqrt{2}\text{\qquad }\forall j\neq k. \end{equation*} Sea $\varepsilon \in (0,\sqrt{2}/2)$. Si $\bar{B}_{\ell_{2}}(0,1)$ pudiese ser cubierta por un número finito de bolas de radio $\varepsilon $ en $\ell_{2}$, entonces al menos una de ellas tendría que contener a un par de sucesiones $\overline{e}_{j},\overline{e}_{k}$ con $j\neq k$, lo cual es imposible.

(a): Si $A\subset X$ es compacto entonces, para toda $\varepsilon >0$, la cubierta abierta $\left\{B_{X}(x,\varepsilon ):x\in A\right\}$ de $A$ contiene una subcubierta finita. Es decir, existen $x_{1},\dots,x_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(x_{1},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{X}(x_{m},\varepsilon ). \end{equation*}

(b): Si $A\subset X$ es totalmente acotado entonces existen $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},1)\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},1). \end{equation*} En consecuencia, $A\subset B_{X}(a_{1},r+1)$ donde $r:=\max \left\{d_{X}(a_{1},a_{j}):j=2,\dots,m\right\}$, es decir, $A$ es acotado.

(c): Sean $A$ un subconjunto totalmente acotado de $X$, $D\subset A$ y $\varepsilon >0$. Entonces existen $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} Sea $J:=\left\{j\in \left\{1,\dots,m\right\}:B_{X}(a_{j},\frac{\varepsilon }{2})\cap D\neq \emptyset \right\}$. Para cada $j\in J$ elegimos un punto $b_{j}\in B_{X}(a_{j},\frac{\varepsilon }{2})\cap D$. Entonces se cumple que \begin{equation*} D\subset \bigcup_{j\in J}B_{X}(b_{j},\varepsilon ). \end{equation*} Esto prueba que $D$ es totalmente acotado.

(d): Sean $A$ un subconjunto totalmente acotado de $X$, $\varepsilon >0$, y $a_{1},\dots,a_{m}\in A$ tales que \begin{equation*} A\subset B_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} Como  $\bar{B}_{X}(a_{1},\frac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup \bar{B}_{X}(a_{m},\frac{\varepsilon }{2})$  es cerrado, se tiene que \begin{equation*} \overline{A}\subset \bar{B}_{X}(a_{1},\tfrac{\varepsilon }{2})\cup \cdots \cup \bar{B}_{X}(a_{m},\tfrac{\varepsilon }{2}). \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \overline{A}\subset B_{X}(a_{1},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{X}(a_{m},\varepsilon ). \end{equation*} Esto prueba que $\overline{A}$ es totalmente acotado.

(a)  $\Rightarrow $  (b):  Esta es la afirmación de la Proposición compbw.

(b)  $\Rightarrow $  (c):  Sea $(x_{k})$ una sucesión de Cauchy en $X$. Si $X$ satisface (b) entonces $(x_{k})$ contiene una subsucesión que converge a un punto $x\in X$. En consecuencia, $(x_{k})$ converge a $x$ en $X$ (ver Ejercicio subconvcau). Esto prueba que $X$ es completo.

Supongamos ahora que $X$ no es totalmente acotado. Entonces existe $\varepsilon_{0}>0$ tal que $X$ no puede ser cubierto por un número finito de bolas abiertas de radio $\varepsilon_{0}$. Por consiguiente, podemos escoger, inductivamente, una sucesión de puntos $x_{k}\in X$ tales que \begin{equation*} x_{k}\notin B_{X}(x_{1},\varepsilon_{0})\cup \cdots \cup B_{X}(x_{k-1},\varepsilon_{0}). \end{equation*} Por tanto, $d_{X}(x_{j},x_{k})\geq \varepsilon_{0}$ para toda $j\neq k$ y, en consecuencia, ninguna subsucesión de $(x_{k})$ es de Cauchy. Esto implica que $(x_{k})$ no contiene ninguna subsucesión convergente. Es decir, si $X$ no es totalmente acotado, entonces (b) no se cumple.

(c)  $\Rightarrow $  (a): \ Argumentando por contradicción, supongamos que $X$ es completo y totalmente acotado pero no es compacto. Entonces $X$ tiene una cubierta abierta $\mathcal{U}=\left\{U_{i}:i\in \mathcal{I}\right\}$ que no contiene ninguna subcubierta finita. Como $X$ es totalmente acotado, está contenido en la unión de un número finito de bolas abiertas de radio $1$. Por tanto, existe un punto $x_{0}\in X$ tal que $B_{X}(x_{0},1)$, no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. Como $B_{X}(x_{0},1)$ es totalmente acotado (ver Proposición propta), está contenido en la unión de un número finito de bolas abiertas de radio $\frac{1}{2}$ cuyos centros están en $B_{X}(x_{0},1)$. Por consiguiente, existe $x_{1}\in B_{X}(x_{0},1)$ tal que $B_{X}(x_{1},\frac{1}{2})$, no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. De este modo construímos, inductivamente, una sucesión $(x_{k})$ tal que $x_{k}\in B_{X}(x_{k-1},\frac{1}{2^{k-1}}) $  y \ $B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$  no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$. Para toda $j\geq k$, se tiene entonces que \begin{equation} d_{X}(x_{k},x_{j})\leq d_{X}(x_{k},x_{k+1})+\cdots +d_{X}(x_{j-1},x_{j})<\tfrac{1}{2^{k}}+\cdots +\tfrac{1}{2^{j-1}}<\tfrac{1}{2^{k-1}},\label{desta} \end{equation} es decir, la sucesión $(x_{k})$ es Cauchy. Como $X$ es completo, esta sucesión converge a un punto $x^{\ast } $en $X$. Haciendo tender $j\rightarrow \infty $ en la desigualdad (\ref{desta}) obtenemos que \begin{equation*} d_{X}(x_{k},x^{\ast })\leq \tfrac{1}{2^{k-1}}\text{\qquad }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Por otra parte, como $x^{\ast }\in X$, existe $U^{\ast }\in \mathcal{U}$ tal que $x^{\ast }\in U^{\ast }$. Como $U^{\ast }$ es abierto, existe $\varepsilon >0$ tal que $B_{X}(x^{\ast },\varepsilon )\subset U^{\ast }$. Sea $k$ tal que $\frac{1}{2^{k-1}}<\frac{\varepsilon }{2}$. Entonces, para todo $x\in B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$, se tiene que \begin{equation*} d_{X}(x,x^{\ast })\leq d_{X}(x,x_{k})+d_{X}(x^{\ast },x_{k})<\tfrac{1}{2^{k}}+\tfrac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon , \end{equation*} es decir, \begin{equation*} B_{X}(x_{k},\tfrac{1}{2^{k}})\subset B_{X}(x^{\ast },\varepsilon )\subset U^{\ast }. \end{equation*} Esto es una contradicción, ya que habíamos supuesto que $B_{X}(x_{k},\frac{1}{2^{k}})$ no puede ser cubierta por un número finito de elementos de $\mathcal{U}$.

$\Rightarrow )$:  Sea $A$ relativamente compacto en $X$. La Proposición propta implica entonces que $\overline{A}$ es totalmente acotado y, en consecuencia, que $A$ también lo es.

$\Leftarrow )$:  Inversamente, supongamos que $A$ es totalmente acotado. La Proposición propta afirma que $\overline{A}$ es totalmente acotado. Por otra parte, como $X$ es completo y $\overline{A}$ es cerrado en $X$, se tiene que $\overline{A}$ es completo (ver Proposición complcerr). El Teorema caractcomp asegura entonces que $\overline{A}$ es compacto.

$\Rightarrow )$:  Supongamos que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,X)$. Entonces $\mathcal{H}$ es totalmente acotado. En consecuencia, dada $\varepsilon >0$, existen $g_{1},\dots,g_{m}\in \mathcal{H}$ tales que \begin{equation*} \mathcal{H}\subset B_{\infty }(g_{1},\tfrac{\varepsilon }{3})\cup \cdots \cup B_{\infty }(g_{m},\tfrac{\varepsilon }{3}). \end{equation*} Por tanto, $g_{i}(z)\in \mathcal{H}(z)$ para $i=1,\dots,m$, y \begin{equation*} \mathcal{H}(z)\subset B_{X}(g_{1}(z),\tfrac{\varepsilon }{3})\cup \cdots \cup B_{X}(g_{m}(z),\tfrac{\varepsilon }{3})\text{\qquad }\forall z\in K. \end{equation*} Esto prueba que $\mathcal{H}(z)$ es totalmente acotado y, como $X$ es completo, el Corolario relcomp=ta asegura que $\mathcal{H}(z)$ es relativamente compacto en $X$ para todo $z\in K$.

Por otra parte, como $K$ es compacto, cada $g_{i}$ es uniformemente continua. En consecuencia, existe $\delta_{i}>0$ tal que, para cualesquiera $y,z\in K$, \begin{equation} d_{X}\left( g_{i}(y),g_{i}(z)\right) <\frac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si }d_{K}(y,z)<\delta_{i}.\label{gunifcon} \end{equation} Definimos $\delta :=\min \left\{\delta_{1},\dots,\delta_{m}\right\}$. Dada $f\in \mathcal{H}$ existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $d_{\infty }(f,g_{i})<\frac{\varepsilon }{3}$. Usando (\ref{gunifcon}) obtenemos que \begin{align*} d_{X}(f(y),f(z)) &\leq d_{X}(f(y),g_{i}(y))+d_{X}(g_{i}(y),g_{i}(z))+d_{X}\left( g_{i}(z),f(z)\right) \\ &<\varepsilon \text{\qquad si  }d_{K}(y,z)<\delta . \end{align*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo.

$\Leftarrow )$:  Supongamos ahora que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y que $\mathcal{H}(z)$ es relativamente compacto en $X$ para todo $z\in K$. Queremos probar que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,X)$. Como $X$ es completo, $\mathcal{C}^{0}(K,X)$ también lo es (ver Teorema funcacotcompl). Por el Corolario relcomp=ta\ basta entonces probar que $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

Sea $\varepsilon >0$. Para cada $z\in K$ tomemos $\delta_{z}>0$ tal que, para toda $f\in \mathcal{H}$, \begin{equation} d_{X}\left( f(y),f(z)\right) <\frac{\varepsilon }{4}\text{ \quad si }d_{K}\left( y,z\right) <\delta_{z}.\label{Hequi} \end{equation} Como $K$ es compacto, existen $z_{1},\dots,z_{m}\in K$ tales que \begin{equation} K\subset B_{K}(z_{1},\delta_{z_{1}})\cup \cdots \cup B_{K}(z_{m},\delta _{z_{m}})\label{Xcomp} \end{equation} y, como cada $\mathcal{H}(z_{i})$ es totalmente acotado, existen $x_{1},\dots,x_{k}\in X$ tales que \begin{equation} \mathcal{H}(z_{1})\cup \cdots \cup \mathcal{H}(z_{m})\subset B_{X}(x_{1},\tfrac{\varepsilon }{4})\cup \cdots \cup B_{X}(x_{k},\tfrac{\varepsilon }{4}). \label{Hta} \end{equation} Denotemos por $S$ al conjunto (finito) de todas las funciones $\sigma \colon \left\{1,\dots,m\right\}\rightarrow \left\{1,\dots,k\right\}$. Para cada $\sigma \in S$ definimos \begin{equation*} \mathcal{H}_{\sigma }:=\left\{f\in \mathcal{H}:f(z_{i})\in B_{X}(x_{\sigma (i)},\tfrac{\varepsilon }{4})\text{  }\forall i=1,\dots,m\right\}. \end{equation*} Se sigue de (\ref{Hta}) que, para cada $f\in \mathcal{H}$ y cada $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$, existe $\sigma (i)\in \left\{1,\dots,k\right\}$ tal que $f(z_{i})\in B_{X}(x_{\sigma (i)},\frac{\varepsilon }{4})$. En consecuencia, \begin{equation} \mathcal{H}\subset \bigcup_{\sigma \in S}\mathcal{H}_{\sigma }.\label{Hta1} \end{equation} Probaremos ahora que cada $\mathcal{H}_{\sigma }$ está contenida en una bola de radio $\varepsilon $ con centro en $\mathcal{H}$. Sean $f,g\in \mathcal{H}_{\sigma }$ y sea $z\in K$. Se sigue de (\ref{Xcomp}) que existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $d_{K}(z,z_{i})<\delta_{z_{i}}$ y, en consecuencia, (\ref{Hequi}) implica que $d_{X}\left( h(z),h(z_{i})\right) <\frac{\varepsilon }{4}$ para toda $h\in \mathcal{H}$. Por tanto, \begin{align*} d_{X}(f(z),g(z)) &\leq d_{X}\left( f(z),f(z_{i})\right) +d_{X}(f(z_{i}),x_{\sigma (i)}) \\ &\qquad{}+d_{X}(g(z_{i}),x_{\sigma (i)})+d_{X}\left( g(z),g(z_{i})\right) <\varepsilon . \end{align*} Tomando el máximo sobre toda $z\in K$ concluimos que $d_{\infty }(f,g)<\varepsilon $ para todas $f,g\in \mathcal{H}_{\sigma }$. En consecuencia, para cualquier elección de $g_{\sigma }\in \mathcal{H}_{\sigma }$, se cumple que \begin{equation} \mathcal{H}_{\sigma }\subset B_{\infty }(g_{\sigma },\varepsilon ). \label{Hta2} \end{equation} De (\ref{Hta1}) y (\ref{Hta2}) se sigue que \begin{equation*} \mathcal{H}\subset \bigcup_{\sigma \in S}B_{\infty }(g_{\sigma },\varepsilon ). \end{equation*} Por tanto, $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

$\Rightarrow )$:  Sea $\mathcal{H}$ un subconjunto relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$. Por el Teorema aa, $\mathcal{H} $ es equicontinuo y, por la Proposición comphb, la cerradura de $\mathcal{H}$ es acotada en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$. En consecuencia, $\mathcal{H}$ es acotado en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n}). $

$\Leftarrow )$:  Inversamente, supongamos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y acotado en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$. Entonces existen $f_{0}\in \mathcal{H}$ y $C>0$ tales que \begin{equation*} \left\Vert f-f_{0}\right\Vert_{\infty }=\max_{z\in K}\left\Vert f(z)-f_{0}(z)\right\Vert \leq C\text{\qquad }\forall f\in \mathcal{H}. \end{equation*} En consecuencia, $\mathcal{H}(z)$ está acotado en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $z\in K$ y, por el teorema de Heine-Borel (ver Teorema hb), $\mathcal{H}(z)$ es relativamente compacto en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $z\in K$. El Teorema aa asegura entonces que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(K,\mathbb{R}^{n})$.

Sea $(f_{k})$ una sucesión en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ tal que $\left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }\leq c$ para algún $c\in \mathbb{R}$. Entonces, \begin{equation*} \left\vert (\mathfrak{V}f_{k})(x)\right\vert \leq \int_{a}^{x}\left\vert \mathcal{K}(x,y)\right\vert \left\vert f_{k}(y)\right\vert dy\leq (b-a)\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }\left\Vert f_{k}\right\Vert _{\infty }\leq (b-a)\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }c \end{equation*} para todo $x\in [a,b]$ y todo $k\in \mathbb{N}$. Por tanto, $\left\Vert \mathfrak{V}f_{k}\right\Vert_{\infty }\leq (b-a)\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }c$ para todo $k\in \mathbb{N}$, es decir, $\mathcal{H}:=\left\{\mathfrak{V}f_{k}:k\in \mathbb{N}\right\}$ es acotado en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$. Más aún, como $\mathcal{K}$ es uniformemente continua, para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta_{1}>0$ tal que \begin{equation*} \left\vert \mathcal{K}(x_{1},y_{1})-\mathcal{K}(x_{2},y_{2})\right\vert <\frac{\varepsilon }{2(b-a)c}\text{\qquad si }\left\Vert (x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\right\Vert <\delta_{1}. \end{equation*} En consecuencia, si $\left\vert x_{1}-x_{2}\right\vert <\delta :=\min \left\{\delta_{1},\frac{\varepsilon }{2\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }c}\right\}$ y $x_{1}\leq x_{2}$, se tiene que \begin{align*} &\left\vert \left( \mathfrak{V}f_{k}\right) (x_{1})-\left( \mathfrak{V}f_{k}\right) (x_{2})\right\vert \\ &\qquad{}=\biggl\vert \int_{a}^{x_{1}}(\mathcal{K}(x_{1},y)-\mathcal{K}(x_{2},y))f_{k}(y)dy -\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathcal{K}(x_{2},y)f_{k}(y)dy\biggr\vert \\ &\qquad{}\leq \int_{a}^{x_{1}}\left\vert \mathcal{K}(x_{1},y)-\mathcal{K}(x_{2},y)\right\vert \left\vert f_{k}(y)\right\vert dy +\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left\vert \mathcal{K}(x_{2},y)\right\vert \left\vert f_{k}(y)\right\vert dy \\ &\qquad{}<(b-a)\frac{\varepsilon }{2(b-a)c}c+\frac{\varepsilon }{2\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert_{\infty }c}\left\Vert \mathcal{K}\right\Vert _{\infty }c=\varepsilon , \end{align*} para todo $k\in \mathbb{N}$. Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. Por el Corolario coraa, $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ y, en consecuencia, $(\mathfrak{V}f_{k})$ contiene una subsucesión convergente en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$.

Como $\chi $ es uniformemente continua en $K$, existe $\gamma >0$ tal que, para cualesquiera $(s,x),(t,y)\in K$, \begin{equation} \left\Vert \chi (s,x)-\chi (t,y)\right\Vert \leq \varepsilon \text{\qquad si  }\left\vert s-t\right\vert \leq \gamma \text{  y }\left\Vert x-y\right\Vert \leq \gamma .\label{campouc} \end{equation} Subdividimos el intervalo $\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $ en subintervalos \begin{equation*} t_{0}-\delta =:t_{-n}<\cdots

Probaremos primero que $u_{\varepsilon }$ está bien definida, es decir, que $u_{\varepsilon }(t_{i})\in \Omega $ para todo $i=-n,\dots,n$. Para ello, basta probar que \begin{equation} \left\Vert u_{\varepsilon }(t_{i})-x_{0}\right\Vert \leq M\left\vert t_{i}-t_{0}\right\vert \text{\qquad }\forall i=-n,\dots,n,\label{enK} \end{equation} ya que, en ese caso, $\left\Vert u_{\varepsilon }(t_{i})-x_{0}\right\Vert \leq M\delta \leq r$  y, en consecuencia, $u_{\varepsilon }(t_{i})\in \Omega$. Demostraremos la desigualdad (\ref{enK}) inductivamente. Si $i=0$, puesto que hemos definido $u_{\varepsilon }(t_{0}):=x_{0}$, la desigualdad se cumple. Supongamos que $\left\Vert u_{\varepsilon }(t_{i})-x_{0}\right\Vert \leq M\left\vert t_{i}-t_{0}\right\vert $ para algún $\left\vert i\right\vert

Verifiquemos ahora que $u_{\varepsilon }$ tiene las propiedades deseadas. Por definición, $u_{\varepsilon } $cumple (a). Para $s,t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $ con $t_{j-1}\leq s(c). Tomando $s=t_{0}$ en la desigualdad anterior obtenemos \begin{equation*} \left\Vert u_{\varepsilon }(t)-x_{0}\right\Vert \leq M\left\vert t-t_{0}\right\vert \leq r\text{\qquad }\forall t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]. \end{equation*} Esta es la afirmación (b). Claramente, $u_{\varepsilon }$ es continuamente diferenciable en\break $\left( t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right) \smallsetminus \left\{t_{i}:i=-n+1,\ldots ,n-1\right\}$. Si $t\in \left( t_{i},t_{i+1}\right)$ con $i\geq0$ o si $t\in \left(t_{i-1},t_{i}\right)$ con $i\leq0$, usando (c) obtenemos que \begin{equation*} \left\vert t-t_{i}\right\vert \leq \gamma \text{\qquad y\qquad }\left\Vert u_{\varepsilon }(t)-u_{\varepsilon }(t_{i})\right\Vert \leq \gamma . \end{equation*} Se sigue entonces de (\ref{campouc}) que \begin{equation*} \left\Vert \chi (t,u_{\varepsilon }(t))-u_{\varepsilon }^{\prime }(t)\right\Vert =\left\Vert \chi (t,u_{\varepsilon }(t))-\chi (t_{i},u_{\varepsilon }(t_{i}))\right\Vert \leq \varepsilon . \end{equation*} Esto prueba la afirmación $(d)$.

Consideremos el conjunto \begin{equation*} \mathcal{H}:=\left\{u_{1/k}\in \mathcal{C}^{0}(\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] ,\mathbb{R}^{n}):k\in \mathbb{N}\right\}, \end{equation*} donde $u_{1/k}$ es la función dada por el Lema solaprox. Si denotamos por $x_{0}$ a la función constante con valor $x_{0}$ definida en $\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $, la función $u_{1/k}$ satisface \begin{equation*} \left\Vert u_{1/k}-x_{0}\right\Vert_{\infty }=\max_{\left\vert t-t_{0}\right\vert \leq \delta }\left\Vert u_{1/k}(t)-x_{0}\right\Vert \leq r. \end{equation*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ está acotado en $\mathcal{C}^{0}(\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] ,\mathbb{R}^{n})$. Por otra parte, dada $\varepsilon >0$, la propiedad (c) del Lema solaprox asegura que, para toda $k\in \mathbb{N}$, \begin{equation*} \left\Vert u_{1/k}(t)-u_{1/k}(s)\right\Vert <\varepsilon \text{\qquad si  }\left\vert t-s\right\vert <\frac{\varepsilon }{M}. \end{equation*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. El Corolario coraa asegura entonces que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] ,\mathbb{R}^{n})$. Por tanto, existen una subsucesión $(u_{1/k_{j}})$ de $(u_{1/k})$ y una función $u^{\ast }\in \mathcal{C}^{0}(\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] ,\mathbb{R}^{n})$ tales que \begin{equation} u_{1/k_{j}}\rightarrow u^{\ast }\text{\quad cuando }j\rightarrow \infty \text{\qquad en\quad }\mathcal{C}^{0}(\left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] ,\mathbb{R}^{n}).\label{convx} \end{equation} Probaremos ahora que $u^{\ast }$ es una solución del problema (\ref{pc2}).

Como $u_{1/k_{j}}(t)\rightarrow u^{\ast }(t)$ para cada $t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $, la propiedad (b)\ implica que \begin{equation*} \left\Vert u^{\ast }(t)-x_{0}\right\Vert \leq r\text{\qquad }\forall t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] . \end{equation*} Se sigue de (\ref{r}) que $u^{\ast }(t)\in \Omega $ para todo $t\in \left[ t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta \right] $. Además, la propiedad (a) implica que $u^{\ast }(t_{0})=x_{0}$. Demostraremos que $u^{\ast }$ satisface \begin{equation} u^{\ast }(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u^{\ast }(s))ds\text{\qquad }\forall t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ].\label{ecint} \end{equation} Sea $\varepsilon >0$. Como $\chi $ es uniformemente continua en $K$, existe $\eta >0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \chi (s,x)-\chi (s,y)\right\Vert <\frac{\varepsilon }{3\delta }\text{\qquad si  }(s,x),(s,y)\in K\text{ y }\left\Vert x-y\right\Vert <\eta . \end{equation*} Tomemos $j_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{\delta }{k_{j}}<\frac{\varepsilon }{3}$ para todo $j\geq j_{0}$ y tal que \begin{equation*} \left\Vert u_{1/k_{j}}-u^{\ast }\right\Vert_{\infty }<\min \left\{\eta ,\frac{\varepsilon }{3}\right\}\text{\qquad si  }j\geq j_{0}. \end{equation*} Entonces, usando el Lema lemcotint, para cada $t\in [t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]$ obtenemos \begin{multline*} \left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right] ds\right\Vert\\ {}\leq\left\vert t-t_{0}\right\vert \max_{\left\vert s-t_{0}\right\vert \leq \delta }\left\Vert \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right\Vert <\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si } j\geq j_{0}. \end{multline*} Usando además el teorema fundamental del cálculo y la propiedad (d) obtenemos \begin{align*} \left\Vert u_{1/k_{j}}(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))ds\right\Vert &=\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ u_{1/k_{j}}^{\prime }(s)-\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))\right] ds\right\Vert \\ &\leq\left\vert t-t_{0}\right\vert \frac{1}{k_{j}} \\ &<\tfrac{\varepsilon }{3}\text{\qquad si } j\geq j_{0}. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \left\Vert u^{\ast }(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u^{\ast }(s))ds\right\Vert &\leq\left\Vert u^{\ast }(t)-u_{1/k_{j}}(t)\right\Vert\\ &\qquad{}+\left\Vert u_{1/k_{j}}(t)-x_{0}-\int_{t_{0}}^{t}\chi (s,u_{1/k_{j}}(s))ds\right\Vert \\ &\qquad{}+\left\Vert \int_{t_{0}}^{t}\left[ \chi (s,u_{1/k_{j}}(s))-\chi (s,u^{\ast }(s))\right] ds\right\Vert \\ &<\varepsilon, \end{align*} para toda $\varepsilon >0$. Esto demuestra (\ref{ecint}). El Lema int asegura entonces que $u^{\ast }$ es solución del problema (\ref{pc2}).

Sea $\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ tal que $\mathfrak{L}(\sigma )\leq c$. Las funciones $\rho_{k}\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$ dadas por \begin{equation*} \rho_{k}(t):= \begin{cases} kt & \text{si $t\in \left[ 0,\frac{1}{k}\right]$,} \\ 1 & \text{si $t\in \left[ \frac{1}{k},1\right]$,} \end{cases} \end{equation*} son continuas, no decrecientes y suprayectivas. Por tanto, $\sigma _{k}:=\sigma \circ \rho_{k}$ es una reparametrización de $\sigma $ y, en consecuencia, $\mathfrak{L}(\sigma _{k})=\mathfrak{L}(\sigma )\leq c$. Observa que \begin{align*} \sigma_{k}(t) &=\sigma (1)=y\qquad\text{si $t\in (0,1]$\; y\; $k\geq \tfrac{1}{t}$,} \\ \sigma_{k}(0) &=\sigma (0)=x\qquad\forall k\in \mathbb{N}. \end{align*}

Argumentando por contradicción, supongamos que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ es compacto. Entonces $(\sigma_{k})$ contiene una subsucesión tal que $\sigma_{k_{j}}\rightarrow \sigma^{\ast }$ en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$. En particular, esta subsucesión converge puntualmente, es decir, \begin{equation*} \sigma^{\ast }(t)=\lim_{j\rightarrow \infty }\sigma_{k_{j}}(t)= \begin{cases} x & \text{si $t=0$,} \\ y & \text{si $t\in (0,1]$,} \end{cases} \end{equation*} lo que contradice la continuidad de $\sigma^{\ast }$. Esto prueba que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ no es compacto.

Sean $s,t\in [0,1]$ con $saditlong obtenemos \begin{equation*} \lambda (t)=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t]})=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,s]})+\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[s,t]})\geq \mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,s]})=\lambda (s), \end{equation*} lo que prueba que $\lambda $ es no decreciente.

Para probar que $\lambda $ es continua probaremos que es continua por la izquierda y por la derecha.

Probemos primero que es continua por la izquierda. Sean $t_{k},t^{\ast }\in [0,1]$ tales que $t_{k}\leq t^{\ast }$ y $t_{k}\rightarrow t^{\ast }$. Consideremos las reparametrizaciones $\sigma_{k},\sigma^{\ast }\in \mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ de $\sigma \mid_{[0,t_{k}]}$ y $\sigma \mid_{[0,t^{\ast }]}$ respectivamente, dadas por \begin{equation*} \sigma_{k}(t):=\sigma (t_{k}t),\qquad \sigma^{\ast }(t):=\sigma (t^{\ast }t). \end{equation*} El Lema lemrep asegura que \begin{align*} \mathfrak{L}(\sigma_{k}) &=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t_{k}]})=\lambda (t_{k}), \\ \mathfrak{L}(\sigma^{\ast }) &=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t^{\ast }]})=\lambda (t^{\ast }). \end{align*} Sea $\varepsilon >0$. Como $\sigma $ es uniformemente continua en $[0,1]$ existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} d(\sigma (t),\sigma (s))<\varepsilon \text{\qquad si }\left\vert t-s\right\vert <\delta , \end{equation*} y como $t_{k}\rightarrow t^{\ast }$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\vert t_{k}-t^{\ast }\right\vert <\delta \text{\qquad }\forall k\geq k_{0}. \end{equation*} De aquí que \begin{equation*} d(\sigma_{k}(t),\sigma^{\ast }(t))=d(\sigma (t_{k}t),\sigma (t^{\ast }t))<\varepsilon \text{\qquad }\forall k\geq k_{0},\text{ }\forall t\in [0,1]. \end{equation*} En consecuencia, $\sigma_{k}\rightarrow \sigma^{\ast }$ en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$. La Proposición Lsci asegura que $\mathfrak{L}$ es semicontinua inferiormente así que, usando la Proposición sciliminf y que $\lambda $ es no decreciente, obtenemos \begin{equation*} \lambda (t^{\ast })=\mathfrak{L}(\sigma^{\ast })\leq \liminf_{k\rightarrow \infty }\mathfrak{L}(\sigma_{k})=\liminf_{k\rightarrow \infty }\lambda (t_{k})\leq \limsup_{k\rightarrow \infty }\lambda (t_{k})\leq \lambda (t^{\ast }). \end{equation*} Por tanto, $\lim_{k\rightarrow \infty }\lambda (t_{k})=\lambda (t^{\ast })$, lo que demuestra que $\lambda $ es continua por la izquierda.

Probemos ahora que $\lambda $ es continua por la derecha. Sean $t_{k},t^{\ast }\in [0,1]$ tales que $t_{k}\geq t^{\ast }$ y $t_{k}\rightarrow t^{\ast }$. Consideremos ahora las reparametrizaciones $\tau_{k},\tau^{\ast }\in \mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ de $\sigma \mid_{[t_{k,1}]}$ y $\sigma \mid_{[t^{\ast },1]}$ dadas por \begin{equation*} \tau_{k}(t):=\sigma (t_{k}(1-t)+t),\qquad \tau^{\ast }(t):=\sigma (t^{\ast }(1-t)+t). \end{equation*} El Lema lemrep y el Ejercicio aditlong aseguran que \begin{align*} \mathfrak{L}(\tau_{k}) &=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[t_{k},1]})=\mathfrak{L}(\sigma )-\lambda (t_{k}), \\ \mathfrak{L}(\tau^{\ast }) &=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[t^{\ast },1]})=\mathfrak{L}(\sigma )-\lambda (t^{\ast }). \end{align*} Argumentando como antes concluimos que $\lim_{k\rightarrow \infty }\lambda (t_{k})=\lambda (t^{\ast })$, lo cual demuestra que $\lambda $ es continua por la derecha.

Finalmente, como $\lambda (0)=0$ y $\lambda (1)=\mathfrak{L}(\sigma )$, el teorema del valor intermedio implica que $\lambda $ es suprayectiva.

Sea $\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ de longitud finita y sea $\lambda \colon [0,1]\rightarrow [0,\mathfrak{L}(\sigma )]$ como en el Lema proplambda. Observa que, como $\lambda $ es no decreciente, si $\lambda (t_{1})=\lambda (t_{2})$ entonces $\sigma (t)=\sigma (t_{1})$ para todo $t\in [t_{1},t_{2}]$. Por tanto, la función $\widetilde{\sigma }:[0,\mathfrak{L}(\sigma )]\rightarrow X$, dada por \begin{equation*} \widetilde{\sigma }(s):=\sigma (t)\text{\qquad con\quad }t\in \lambda ^{-1}(s), \end{equation*} no depende de la elección de $t\in \lambda^{-1}(s)$. Veamos ahora que $\widetilde{\sigma }$ es continua. Sea $Y$ un subconjunto cerrado de $X$. Como $\sigma $ es continua, $\sigma^{-1}(Y)$ es un subconjunto cerrado de $[0,1]$. En consecuencia, $\sigma^{-1}(Y)$ es compacto y, como $\lambda $ es continua, $\lambda (\sigma ^{-1}(Y))$ es compacto. En particular, $\lambda (\sigma^{-1}(Y))$ es un subconjunto cerrado de $[0,\mathfrak{L}(\sigma )]$. Dado que $\lambda $ es suprayectiva, es sencillo comprobar que \begin{equation*} \lambda (\sigma^{-1}(Y))=\widetilde{\sigma }^{-1}(Y). \end{equation*} Así pues, $\widetilde{\sigma }^{-1}(Y)$ es un subconjunto cerrado de $[0,\mathfrak{L}(\sigma )]$. Esto demuestra que $\widetilde{\sigma }$ es continua. Nota además que, como $\widetilde{\sigma }\circ \lambda =\sigma $, el Lema lemrep asegura que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\widetilde{\sigma }\mid_{[0,s]})=\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t]})=\lambda (t)=s\text{\qquad }\forall s\in [0,\mathfrak{L}(\sigma )]. \end{equation*}

Ahora definimos $\hat{\sigma}\colon [0,1]\rightarrow X$ como \begin{equation*} \hat{\sigma}(t):=\widetilde{\sigma }(\mathfrak{L}(\sigma )t). \end{equation*} Claramente, $\hat{\sigma}$ es continua y satisface \begin{equation*} \mathfrak{L}(\hat{\sigma}\mid_{[0,t]})=\mathfrak{L}(\widetilde{\sigma }\mid_{[0,\mathfrak{L}(\sigma )t]})=\mathfrak{L}(\sigma )t\text{\qquad }\forall t\in [0,1]. \end{equation*} En particular, $\mathfrak{L}(\hat{\sigma})=\mathfrak{L}(\sigma )<\infty $. Por tanto, $\hat{\sigma}\in \mathcal{\hat{T}}_{x,y}(X)$.

Por hipótesis, $\mathcal{T}_{x,y}(X)\neq \emptyset $. Si todas las trayectorias en $\mathcal{T}_{x,y}(X)$ tienen longitud infinita, cualquiera de ellas es un mínimo de $\mathfrak{L}$.

Supongamos pues que existe $\tau \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ tal que $\mathfrak{L}(\tau )=:c<\infty $. Entonces, por el Lema existla, \begin{equation*} \mathcal{H}:=\left\{\sigma \in \mathcal{\hat{T}}_{x,y}(X):\text{ }\mathfrak{L}(\sigma )\leq c\right\}\neq \emptyset . \end{equation*} Veamos que este conjunto satisface las hipótesis del teorema de Arzelà-Ascoli. Como $X$ es compacto, cualquier subconjunto de $X$ es relativamente compacto en él. En particular, \begin{equation*} \mathcal{H}(t):=\left\{\sigma (t):\sigma \in \mathcal{H}\right\} \end{equation*} es relativamente compacto en $X$ para todo $t\in [0,1]$. Probemos ahora que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. Sean $t_{0}\in [0,1]$ y $\varepsilon >0$. Para toda $\sigma \in \mathcal{H}$ se cumple que \begin{align*} d(\sigma (t),\sigma (t_{0})) &\leq \left\vert \mathfrak{L}(\sigma \mid _{[0,t]})-\mathfrak{L}(\sigma \mid_{[0,t_{0}]})\right\vert \\ &=\mathfrak{L}(\sigma )\left\vert t-t_{0}\right\vert \leq c\left\vert t-t_{0}\right\vert <\varepsilon \text{\qquad si  }\left\vert t-t_{0}\right\vert <\tfrac{\varepsilon }{c}. \end{align*} Esto prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo. El teorema de Arzelà-Ascoli asegura entonces que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$.

Denotemos por $\mathcal{K}:=\overline{\mathcal{H}}$ a la cerradura de $\mathcal{H}$ en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ y consideremos la restricción $\mathfrak{L}\mid_{\mathcal{K}}$ de la función $\mathfrak{L} $a $\mathcal{K}$. Como $\mathfrak{L}$ es s.c.i. (ver Proposición Lsci), se tiene que $\mathfrak{L}^{\leq c}$ es cerrado en $\mathcal{C}^{0}([0,1],X)$ (ver Ejercicio subnivelsci). En consecuencia, $\left( \mathfrak{L}\mid _{\mathcal{K}}\right)^{\leq c}=\mathfrak{L}^{\leq c}\cap \mathcal{K}$ es compacto. El Teorema sci asegura entonces que existe $\sigma_{0}\in \mathcal{K}$ tal que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma_{0})\leq \mathfrak{L}(\sigma )\text{\qquad }\forall \sigma \in \mathcal{K}. \end{equation*} Dado que $\hat{\sigma}\in \mathcal{H}\subset \mathcal{K}$ para todo $\sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X)$ con $\mathfrak{L}(\sigma )\leq c$, el Lema existla asegura que \begin{equation*} \mathfrak{L}(\sigma_{0})\leq \mathfrak{L}(\hat{\sigma})=\mathfrak{L}(\sigma )\text{\qquad }\forall \sigma \in \mathcal{T}_{x,y}(X), \end{equation*} es decir, $\sigma_{0}$ es una trayectoria de longitud mínima de $x$ a $y$ en $X$.