Completitud
Para sucesiones de números reales se tiene un criterio de convergencia que depende únicamente de la sucesión misma: si una sucesión de números reales es de Cauchy entonces converge.
La noción de sucesión de Cauchy se extiende de manera natural a espacios métricos. Sin embargo, no es cierto en general que cualquier sucesión de Cauchy en un espacio métrico converge. A los espacios métricos en los que cualquier sucesión de Cauchy converge se les llama completos.
La completitud es una propiedad muy importante. Permite, por ejemplo, obtener soluciones de sistemas de ecuaciones numéricas, de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones integrales mediante un proceso de iteración, como veremos en el siguiente capítulo.
Espacios métricos completos
Sea $X=(X,d_{X})$ un espacio métrico. La definición de sucesión de Cauchy en $X$ es formalmente idéntica a la que conocemos en $\mathbb{R}$.
Una sucesión $(x_{k})$ en $X$ es de Cauchy
si, dada $\varepsilon >0$, existe
$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(x_{k},x_{j})<\varepsilon
\qquad \forall k,j\geq k_{0}.
\end{equation*}
Augustin Cauchy
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
nació en París. Es uno de los pioneros del análisis
matemático. Fue un matemático profundo, que cultivó
diversas áreas de las matemáticas y ejerció una fuerte
influencia sobre sus contemporáneos y sucesores. Escribió
cerca de 800 artículos de investigación.
Toda sucesión convergente en $X$ es de Cauchy.
Si $x_{k}\rightarrow x$ en $X$ entonces, dada $\varepsilon >0$
existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
$d_{X}(x_{k},x)<\frac{\varepsilon }{2}$ si $k\geq k_{0}$. Por tanto
\begin{equation*}
d_{X}(x_{k},x_{j})\leq d_{X}(x_{k},x)+d_{X}(x,x_{j})<\varepsilon \qquad \forall k,j\geq k_{0}.
\end{equation*}
Es decir, $(x_{k})$ es de Cauchy.
No es cierto, en general, que cualquier sucesión de Cauchy converge. Veamos un par de ejemplos.
Sea $X:=(0,1)$ con la métrica inducida por la de
$\mathbb{R}$. La sucesión $(\frac{1}{k})$ es de Cauchy en $X$
pero no converge en $X$ [Ejercicio 5.31].
La sucesión de funciones
$f_{k}\colon [-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$,
\begin{equation*}
f_{k}(x)=
\begin{cases}
-1 & \text{si $-1\leq x\leq -\frac{1}{k}$,} \\
kx & \text{si $-\frac{1}{k}\leq x\leq \frac{1}{k}$,} \\
1 & \text{si $\frac{1}{k}\leq x\leq 1$,}
\end{cases}
\end{equation*}
es de Cauchy en $\mathcal{C}_{1}^{0}[-1,1]$ pero no converge en
$\mathcal{C}_{1}^{0}[-1,1]$.
Para $j\geq k$ se tiene que
\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}\left\vert f_{j}(x)-f_{k}(x)\right\vert dx=2\int_{0}^{1}\left(
f_{j}(x)-f_{k}(x)\right) dx=\tfrac{1}{k}-\tfrac{1}{j}.
\end{equation*}
En consecuencia, dada $\varepsilon >0$ se cumple que
\begin{equation*}
\left\Vert f_{j}-f_{k}\right\Vert_{1}<\varepsilon \qquad \forall k,j>\tfrac{2}{\varepsilon }.
\end{equation*}
Así pues, $(f_{k})$ es de Cauchy.
Argumentando por contradicción, supongamos que $f_{k}\rightarrow f$ en $\mathcal{C}_{1}^{0}[-1,1]$. Sea $a\in (0,1)$. Si $k\geq \frac{1}{a}$, entonces $f_{k}(x)=1$ para todo $x\in [a,1]$. En consecuencia, \begin{equation*} 0\leq \int_{a}^{1}\left\vert 1-f(x)\right\vert dx\leq \int_{-1}^{1}\left\vert f_{k}(x)-f(x)\right\vert dx=\left\Vert f_{k}-f\right\Vert_{1}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{a}^{1}\left\vert 1-f(x)\right\vert dx=0, \end{equation*} lo que implica que $f(x)=1$ para todo $x\in [a,1]$. Análogamente, $f(x)=-1$ para todo $x\in [-1,-a]$ y, como $a\in (0,1)$ es arbitraria, tenemos que \begin{equation*} f(x)= \begin{cases} -1 & \text{si $x\in [-1,0)$,} \\ 1 & \text{si $x\in (0,1]$.} \end{cases} \end{equation*} En consecuencia, $f$ no es continua en $[-1,1]$, lo cual contradice nuestra suposición.
Argumentando por contradicción, supongamos que $f_{k}\rightarrow f$ en $\mathcal{C}_{1}^{0}[-1,1]$. Sea $a\in (0,1)$. Si $k\geq \frac{1}{a}$, entonces $f_{k}(x)=1$ para todo $x\in [a,1]$. En consecuencia, \begin{equation*} 0\leq \int_{a}^{1}\left\vert 1-f(x)\right\vert dx\leq \int_{-1}^{1}\left\vert f_{k}(x)-f(x)\right\vert dx=\left\Vert f_{k}-f\right\Vert_{1}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{a}^{1}\left\vert 1-f(x)\right\vert dx=0, \end{equation*} lo que implica que $f(x)=1$ para todo $x\in [a,1]$. Análogamente, $f(x)=-1$ para todo $x\in [-1,-a]$ y, como $a\in (0,1)$ es arbitraria, tenemos que \begin{equation*} f(x)= \begin{cases} -1 & \text{si $x\in [-1,0)$,} \\ 1 & \text{si $x\in (0,1]$.} \end{cases} \end{equation*} En consecuencia, $f$ no es continua en $[-1,1]$, lo cual contradice nuestra suposición.
En la siguiente sección probaremos que en $\mathcal{C}_{\infty }^{0}[-1,1]$ cualquier sucesión de Cauchy converge. A los espacios métricos que tienen esta propiedad se les llama completos.
Un espacio métrico $X$ es completo,
si toda sucesión de Cauchy en $X$
converge en $X$. Un espacio normado que es completo con la
métrica inducida por su norma se llama un espacio de
Banach.
Los ejemplos anteriores muestran que $(a,b)$ y $\mathcal{C}_{1}^{0}[a,b]$ no son completos. De hecho, $\mathcal{C}_{p}^{0}[a,b]$ no es un espacio de Banach para ninguna $p\in [1,\infty )$ [Ejercicio 5.32].
La completitud no es invariante bajo homeomorfismos, como lo muestra el siguiente ejemplo.
La función $\tan \colon (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\rightarrow
\mathbb{R}$ es un homeomorfismo. $\mathbb{R}$ es un espacio
métrico completo, pero $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ no lo
es.
Sin embargo, la completitud sí se preserva bajo equivalencias.
Si existe una equivalencia $\phi \colon X\rightarrow
Y$ entre dos espacios métricos $X$ y $Y$, entonces $X$ es
completo si y sólo si $Y$ lo es.
Supongamos que $Y$ es completo y que $\phi \colon X\rightarrow Y$ es
Lipschitz continua. Sea $(x_{k})$ una sucesión de Cauchy en
$X$. Entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$
tal que
\begin{equation*}
d_{Y}(\phi (x_{j}),\phi (x_{k}))\leq c\,d_{X}(x_{j},x_{k})<\varepsilon \qquad \forall j,k\geq k_{0}.
\end{equation*}
Es decir, la sucesión $(\phi (x_{k}))$ es de Cauchy en $Y$ y, como
$Y$ es completo, se tiene que $\phi (x_{k})\rightarrow y$ en
$Y$. Ahora bien, como $\phi^{-1}$ es continua, la
Proposición 3.33 garantiza que
$x_{k}=\phi^{-1}(\phi (x_{k}))\rightarrow \phi^{-1}(y)$ en
$X$. Esto prueba que $X$ es completo. El recíproco se obtiene
reemplazando $Y$ por $X$ y $\phi $ por $\phi^{-1}$ en el argumento
anterior.
Una consecuencia importante es la siguiente.
Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.
Como para cualquier espacio normado $V$ de dimensión $n$ existe una
equivalencia $\phi \colon \mathbb{R}_{\infty }^{n}\rightarrow V$
(ver Ejercicio 4.42), en virtud de la
Proposición 5.7 bastará probar que
$\mathbb{R}_{\infty }^{n}$ es completo.
Sea $(x_{k})$ una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}_{\infty }^{n}$, donde $x_{k}=(x_{k,1},\dots,x_{k,n})$. Entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\vert x_{j,i}-x_{k,i}\right\vert \leq \max_{i=1,\dots,n}\left\vert x_{j,i}-x_{k,i}\right\vert =\left\Vert x_{j}-x_{k}\right\Vert_{\infty }<\varepsilon\:\:\: \forall j,k\geq k_{0},\: \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}
Esto prueba que, para cada $i=1,\dots,n$, la sucesión $(x_{k,i})$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ es completo, $x_{k,i}\rightarrow x_{i}$ en $\mathbb{R}$. Por tanto, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{i}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\vert x_{k,i}-x_{i}\right\vert <\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{i},\text{ }\forall i=1,\dots,n, \end{equation*} y, en consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert x_{k}-x\right\Vert_{\infty }=\max_{i=1,\dots,n}\left\vert x_{k,i}-x_{i}\right\vert <\varepsilon \qquad \forall k\geq \max \left\{k_{1},\dots,k_{n}\right\}, \end{equation*} donde $x:=(x_{1},\dots,x_{n})$. Es decir, $x_{k}\rightarrow x$ en $\mathbb{R}_{\infty }^{n}$.No todo subespacio de un espacio métrico completo es un espacio métrico completo. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ es completo pero ningún intervalo abierto $(a,b)$ lo es. La siguiente proposición caracteriza a aquéllos que sí lo son.
Sea $X$ un espacio métrico completo. Un
subespacio métrico $A$ de $X$ es completo si y sólo si es
cerrado en $X$.
$\Leftarrow )$: Supongamos que $A$ es cerrado en $X$. Sea
$(a_{k})$ una sucesión de Cauchy en $A$. Entonces $(a_{k})$ es
una sucesión de Cauchy en $X$ y, como $X$ es completo,
$a_{k}\rightarrow x$ en $X$. Por la Proposición 3.32 se
tiene que $x\in \overline{A}=A$. Esto prueba que $A$ es completo.
$\Rightarrow )$: Supongamos ahora que $A$ es completo. Sea $x\in \overline{A}$. Por la Proposición 3.32, existe una sucesión $(a_{k})$ en $A$ tal que $a_{k}\rightarrow x$ en $X$. La Proposición 5.2 asegura entonces que $(a_{k})$ es de Cauchy y, como $A$ es completo, se tiene que $a_{k}\rightarrow a$ en $A$. De la unicidad del límite (ver Proposición 3.29) se sigue que $x=a\in A$. En consecuencia, $A$ es cerrado.
$\Rightarrow )$: Supongamos ahora que $A$ es completo. Sea $x\in \overline{A}$. Por la Proposición 3.32, existe una sucesión $(a_{k})$ en $A$ tal que $a_{k}\rightarrow x$ en $X$. La Proposición 5.2 asegura entonces que $(a_{k})$ es de Cauchy y, como $A$ es completo, se tiene que $a_{k}\rightarrow a$ en $A$. De la unicidad del límite (ver Proposición 3.29) se sigue que $x=a\in A$. En consecuencia, $A$ es cerrado.
Convergencia uniforme
En esta sección daremos ejemplos importantes de espacios métricos completos. Empezaremos comparando ciertos tipos de convergencia para sucesiones de funciones.
Sean $S$ un conjunto y $X=(X,d_{X})$ un espacio métrico.
Una sucesión de funciones $f_{k}\colon S\rightarrow X$, $k\in
\mathbb{N}$, converge puntualmente
en $S$ a una función $f\colon S\rightarrow
X$ si $f_{k}(z)\rightarrow f(z)$ en $X$ para cada $z\in S$. Es
decir, si para cada $\varepsilon >0$ y cada $z\in S$ existe
$k_{0}\in \mathbb{N}$ (que depende de $\varepsilon $ y de $z)$ tal
que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon
\qquad \forall k\geq k_{0}.
\end{equation*}
La función $f$ se llama el límite puntual
de $(f_{k})$.
El límite puntual de una sucesión de funciones continuas no es, por lo general, una función continua, como lo muestra el siguiente ejemplo.
La sucesión de funciones $f_{k}\colon [0,1]\rightarrow
\mathbb{R}$, $f_{k}(x)=x^{k}$, converge puntualmente a
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
0 &
\text{si $0\leq x<1$,} \\
1 & \text{si $x=1$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Daremos a continuación una noción de convergencia según la cual el límite de una sucesión de funciones continuas resultará ser una función continua.
Una sucesión de funciones $f_{k}\colon S\rightarrow X$, $k\in
\mathbb{N}$, converge uniformemente
en $S$ a una función
$f\colon S\rightarrow X$ si, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in
\mathbb{N}$ (que depende de $\varepsilon )$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon
\qquad \forall k\geq k_{0}\text{, }\forall z\in S.
\end{equation*}
La función $f$ se llama el límite uniforme
de $(f_{k})$.
Nota que esta noción es más fuerte que la de convergencia puntual: si $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$, entonces converge puntualmente a $f$. El recíproco no es cierto pues la sucesión $(f_{k})$ del Ejemplo 5.11 no converge uniformemente en $[0,1]$ [Ejercicio 5.41]. El siguiente ejemplo muestra que, aun cuando una sucesión de funciones continuas converge puntualmente a una función continua, no necesariamente converge uniformemente.
Sea $f_{k}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ la
función dada por
\begin{equation*}
f_{k}(x)=\max \left\{1-k\left\vert x-\tfrac{1}{k}\right\vert ,0\right\} .
\end{equation*}
La sucesión $(f_{k})$ converge puntualmente a $0$, pero no
converge uniformemente a $0$ ya que, si $\varepsilon \in (0,1)$,
ningún $k\in \mathbb{N}$ cumple que $\left\vert
f_{k}(x)\right\vert <\varepsilon $ para todo $x\in [0,1]$.
En efecto:
\begin{equation*}
\left\vert f_{k}\left(\tfrac{1}{k}\right) \right\vert =1>\varepsilon \qquad \forall k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
La propiedad fundamental de la convergencia uniforme es la siguiente.
Sean $Z=(Z,d_{Z})$ y $X=(X,d_{X})$ espacios
métricos. Si $f_{k}\colon Z\rightarrow X$ es continua para todo $k\in
\mathbb{N}$ y $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$ en $Z$,
entonces $f\colon Z\rightarrow X$ es continua.
Sean $z_{0}\in Z$ y $\varepsilon >0$. Como $(f_{k})$ converge
uniformemente a $f$, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\frac{\varepsilon }{3}\qquad \forall z\in Z,\text{ }\forall k\geq k_{0}.
\end{equation*}
Y, como $f_{k_{0}}$ es continua, existe $\delta >0$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k_{0}}(z),f_{k_{0}}(z_{0}))<\frac{\varepsilon }{3}\qquad\text{ si
}d_{Z}(z,z_{0})<\delta .
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{align*}
d_{X}(f(z),f(z_{0})) &\leq
d_{X}(f(z),f_{k_{0}}(z))+d_{X}(f_{k_{0}}(z),f_{k_{0}}(z_{0}))+d_{X}(f_{k_{0}}(z_{0}),f(z_{0}))
\\
&<\varepsilon \qquad\text{ si }d_{Z}(z,z_{0})<\delta .
\end{align*}
Esto prueba que $f$ es continua.
Para funciones acotadas la convergencia uniforme es simplemente la convergencia en el espacio métrico $\mathcal{B}(S,X)$, definido en la Sección 2.4, cuya métrica es la métrica uniforme \begin{equation*} d_{\infty }(f,g)=\sup_{z\in S}d_{X}(f(z),g(z)),\qquad f,g\in \mathcal{B}(S,X). \end{equation*} Es decir, se tiene el siguiente resultado.
Sea $(f_{k})$ una sucesión en
$\mathcal{B}(S,X)$. Entonces, $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$
en $S$ si y sólo si $(f_{k})$ converge a $f$ en
$\mathcal{B}(S,X)$.
$\Leftarrow )$: Si $(f_{k})$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(S,X)$
entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal
que
\begin{equation*}
d_{\infty }(f_{k},f)=\sup_{z\in S}d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}.
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall z\in S.
\end{equation*}
Es decir, $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$ en $S$.
$\Rightarrow )$: Recíprocamente, si $f_{k}\in \mathcal{B}(S,X)$ y $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$ en $S$ entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in N$ tal que \begin{equation} d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall z\in S.\label{cu} \end{equation} Como $f_{k_{0}}$ es acotada, existen $c>0$ y $x_{0}\in X$ tales que $d_{X}(f_{k_{0}}(z),x_{0})\menorque c$ para todo $z\in S$. En consecuencia, \begin{equation*} d_{X}(f(z),x_{0})\leq d_{X}(f(z),f_{k_{0}}(z))+d_{X}(f_{k_{0}}(z),x_{0})<\varepsilon +c\qquad \forall z\in S. \end{equation*} Esto prueba que $f\in \mathcal{B}(S,X)$. De (\ref{cu}) se sigue que \begin{equation*} d_{\infty }(f_{k},f)=\sup_{z\in S}d_{X}(f_{k}(z),f(z))\leq \varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Es decir, $(f_{k})$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(S,X)$.
$\Rightarrow )$: Recíprocamente, si $f_{k}\in \mathcal{B}(S,X)$ y $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$ en $S$ entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in N$ tal que \begin{equation} d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall z\in S.\label{cu} \end{equation} Como $f_{k_{0}}$ es acotada, existen $c>0$ y $x_{0}\in X$ tales que $d_{X}(f_{k_{0}}(z),x_{0})\menorque c$ para todo $z\in S$. En consecuencia, \begin{equation*} d_{X}(f(z),x_{0})\leq d_{X}(f(z),f_{k_{0}}(z))+d_{X}(f_{k_{0}}(z),x_{0})<\varepsilon +c\qquad \forall z\in S. \end{equation*} Esto prueba que $f\in \mathcal{B}(S,X)$. De (\ref{cu}) se sigue que \begin{equation*} d_{\infty }(f_{k},f)=\sup_{z\in S}d_{X}(f_{k}(z),f(z))\leq \varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}. \end{equation*} Es decir, $(f_{k})$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(S,X)$.
El siguiente espacio jugará un papel importante en las aplicaciones del próximo capítulo.
Sean $Z$ y $X$ espacios métricos. El
espacio de funciones continuas y acotadas
de $Z$ a
$X$ es el espacio métrico
\begin{equation*}
\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X):=\left\{f\colon Z\rightarrow X:f\text{ es continua y acotada}\right\}
\end{equation*}
con la métrica inducida por la de $\mathcal{B}(Z,X)$, es decir,
\begin{equation*}
d_{\infty }(f,g)=\sup_{z\in Z}d_{X}(f(z),g(z))
\end{equation*}
si $f,g\in \mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$.
Para sucesiones de funciones continuas y acotadas podemos reinterpretar el Teorema 5.14 como sigue.
Sean $Z$ y $X$ espacios métricos. Entonces
$\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ es un subespacio cerrado de
$\mathcal{B}(Z,X)$.
Sea $f\in \overline{\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)}$. Por la
Proposición 3.32 existe una sucesión $(f_{k})$ en
$\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ tal que $f_{k}\rightarrow f$ en
$\mathcal{B}(Z,X)$. La Proposición 5.15 y el
Teorema 5.14 aseguran entonces que
$f\in \mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$. Esto prueba que
$\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ es cerrado en $\mathcal{B}(Z,X)$.
Concluimos esta sección con otra consecuencia importante de la convergencia uniforme.
Si $f_{k}\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es una
sucesión de funciones continuamente diferenciables en $[a,b]$
tales que $(f_{k})$ converge a $f$ puntualmente en $[a,b]$ y
$(f_{k}^{\prime })$ converge a $g$ uniformemente en $[a,b]$,
entonces $f$ es continuamente diferenciable en $[a,b]$ y $f^{\prime
}=g$.
Sea $x_{0}\in (a,b)$. Aplicando el teorema del valor medio a la
función $f_{j}-f_{k}$ se tiene que, para cada $x\in (a,b)$,
existe $\xi_{x}\in (a,b) $ tal que
\begin{equation*}
f_{j}(x)-f_{k}(x)-(f_{j}(x_{0})-f_{k}(x_{0}))=\left( f_{j}^{\prime }(\xi
_{x})-f_{k}^{\prime }(\xi_{x})\right) (x-x_{0}).
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
\left\vert f_{j}(x)-f_{j}(x_{0})-f_{k}(x)+f_{k}(x_{0})\right\vert \leq
\left\Vert f_{j}^{\prime }-f_{k}^{\prime }\right\Vert_{\infty }\left\vert
x-x_{0}\right\vert \qquad \forall x\in (a,b).
\end{equation*}
Como $(f_{k}^{\prime })$ converge en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$, dada
$\varepsilon >0$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
\left\vert f_{j}(x)-f_{j}(x_{0})-f_{k}(x)+f_{k}(x_{0})\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{3}\left\vert x-x_{0}\right\vert \qquad \forall x\in (a,b),\text{ }\forall j,k\geq k_{0}.
\end{equation*}
Tomando el límite cuando $j\rightarrow \infty $, concluimos
que
\begin{equation}
\left\vert f(x)-f(x_{0})-f_{k}(x)+f_{k}(x_{0})\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{3}\left\vert x-x_{0}\right\vert \qquad \forall x\in (a,b),\text{ }\forall k\geq k_{0}.\label{uno}
\end{equation}
Por otra parte, existe $k_{1}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation}
\left\vert f_{k}^{\prime }(x_{0})-g(x_{0})\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}\qquad \forall k\geq k_{1}.\label{dos}
\end{equation}
Sea $k_{\ast }:=\max \left\{k_{0},k_{1}\right\}$, y sea $\delta >0$ tal que
\begin{equation}
\left\vert \frac{f_{k_{\ast }}(x)-f_{k_{\ast }}(x_{0})}{x-x_{0}}-f_{k_{\ast
}}^{\prime }(x_{0})\right\vert <\frac{\varepsilon }{3}\qquad \text{si }\left\vert x-x_{0}\right\vert <\delta .\label{tres}
\end{equation}
De las desigualdades (\ref{uno}), (\ref{dos}) y (\ref{tres}) se
sigue que
\begin{align*}
\left\vert \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-g(x_{0})\right\vert &\leq
\left\vert \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-\frac{f_{k_{\ast }}(x)-f_{k_{\ast
}}(x_{0})}{x-x_{0}}\right\vert \\
&\qquad{}+\left\vert \frac{f_{k_{\ast }}(x)-f_{k_{\ast }}(x_{0})}{x-x_{0}}-f_{k_{\ast }}^{\prime }(x_{0})\right\vert +\left\vert f_{k_{\ast }}^{\prime
}(x_{0})-g(x_{0})\right\vert \\
&<\varepsilon \qquad \text{si }\left\vert x-x_{0}\right\vert <\delta .
\end{align*}
Es decir, $f $es diferenciable en $x_{0}$ y $f^{\prime
}(x_{0})=g(x_{0})$. Finalmente, como $f_{k}^{\prime }\in
\mathcal{C}^{0}[a,b]$, se tiene que $g\in \mathcal{C}^{0}[a,b]$, es
decir, $f$ es continuamente diferenciable en $[a,b]$.
Espacios completos de funciones
A continuación daremos un criterio que garantiza la convergencia uniforme de una sucesión de funciones en términos de la sucesión misma.
Sean $S$ un conjunto y $X=(X,d_{X})$ un espacio métrico.
Una sucesión de funciones $f_{k}\colon S\rightarrow X$, $k\in
\mathbb{N}$, es uniformemente de Cauchy
en $S$ si, para cada
$\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f_{j}(z))<\varepsilon \qquad \forall j,k\geq k_{0}\text{, }\forall z\in S.
\end{equation*}
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
[Criterio de convergencia uniforme de Cauchy]
Sea $X$ un
espacio métrico completo. Una sucesión de funciones
$f_{k}\colon S\rightarrow X$, $k\in \mathbb{N}$, converge uniformemente en
$S$ si y sólo si $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy en $S$.
$\Rightarrow )$: Si$(f_{k})$ converge uniformemente a
$f$ en $S$ entonces, dada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in
\mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\frac{\varepsilon }{2}\qquad \forall k\geq k_{0}\text{, }\forall z\in S.
\end{equation*}
En consecuencia,
\begin{equation*}
d_{X}(f_{k}(z),f_{j}(z))\leq
d_{X}(f_{k}(z),f(z))+d_{X}(f(z),f_{j}(z))<\varepsilon \qquad \forall j,k\geq
k_{0}\text{, }\forall z\in S.
\end{equation*}
Es decir, $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy.
$\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy en $S$. Entonces, para cada $z\in S$, la sucesión $(f_{k}(z))$ es de Cauchy en $X$ y, como $X$ es completo, esta sucesión converge a un punto de $X$ al que denotaremos por $f(z)$. Probaremos ahora que $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $S$.
Recuerda que, si $S$ es un conjunto y $V=(V,\left\Vert \cdot
\right\Vert )$ es un espacio vectorial normado, entonces
$\mathcal{B}(S,V)$ con la norma uniforme
\begin{equation}
\left\Vert f\right\Vert_{\infty }=\sup_{z\in Z}\left\Vert f(z)\right\Vert
\label{normuni}
\end{equation}
es un espacio vectorial normado (ver Ejercicio 2.52). Si
$Z$ es un espacio métrico, $\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,V)$ es un
subespacio vectorial de $\mathcal{B}(Z,V)$.
$\Leftarrow )$: Supongamos ahora que $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy en $S$. Entonces, para cada $z\in S$, la sucesión $(f_{k}(z))$ es de Cauchy en $X$ y, como $X$ es completo, esta sucesión converge a un punto de $X$ al que denotaremos por $f(z)$. Probaremos ahora que $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $S$.
Sea $\varepsilon >0$. Como $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy, existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*} d_{X}(f_{k}(z),f_{j}(z))<\frac{\varepsilon }{2}\qquad \forall j,k\geq k_{0}\text{, }\forall z\in S. \end{equation*} Y como para cada $z\in S$ se tiene que$ f_{j}(z)\rightarrow f(z)$ en $X$, existe $k(z)\in \mathbb{N}$ (que depende de $z$) tal que \begin{equation*} d_{X}(f_{j}(z),f(z))<\frac{\varepsilon }{2}\qquad \forall j\geq k(z)\text{.} \end{equation*} Dadas $k\geq k_{0}$ y $z\in S$, tomemos $j:=\max \left\{k_{0},k(z)\right\}$. Entonces \begin{equation*} d_{X}(f_{k}(z),f(z))\leq d_{X}(f_{k}(z),f_{j}(z))+d_{X}(f_{j}(z),f(z))<\varepsilon \text{.} \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} d_{X}(f_{k}(z),f(z))<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}\text{, }\forall z\in S, \end{equation*} es decir, $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$.Una consecuencia importante del teorema anterior es la siguiente.
Sean $S$ un conjunto y $Z$ un espacio
métrico.
- Si $X$ es un espacio métrico completo, entonces $\mathcal{B}(S,X)$ y $\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ son completos.
- Si $V$ es un espacio de Banach, entonces $\mathcal{B}(S,V)$ y $\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,V)$ son espacios de Banach.
Sea $(f_{k})$ una sucesión de Cauchy en $\mathcal{B}(S,X)$.
Claramente $(f_{k})$ es uniformemente de Cauchy en $S$ y, por la
Proposición 5.15 y el Teorema 5.20, $(f_{k})$
converge en $\mathcal{B}(S,X)$. Esto prueba que $\mathcal{B}(S,X)$
es completo. Por el Corolario 5.17,
$\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ es un subconjunto cerrado de
$\mathcal{B}(Z,X)$. La Proposición 5.9 asegura
entonces que $\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ es completo.
Esta propiedad permite que los espacios $\mathcal{B}(S,X)$ y $\mathcal{C}_{b}^{0}(Z,X)$ jueguen un papel importante en las aplicaciones, como veremos en el siguiente capítulo.
Recuerda que, si $K$ es un espacio métrico compacto, entonces toda función continua de $K$ en $X$ es acotada (ver Corolario 4.11), es decir, \begin{equation*} \mathcal{C}^{0}(K,X):=\left\{\phi \colon K\rightarrow X:\phi \text{ es continua}\right\}=\mathcal{C}_{b}^{0}(K,X). \end{equation*} Por tanto, $\mathcal{C}^{0}(K,X)$ es un espacio completo si $K$ es compacto y $X$ es completo.
Series en espacios de Banach
Sea $V=(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ un espacio vectorial normado y sea $(v_{k})$ una sucesión en $V$.
Decimos que la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}
\end{equation*}
converge en $V$ si la
sucesión $(w_{n})$ de sumas parciales
$w_{n}:=\sum_{k=1}^{n}v_{k}$ converge en $V$. Su límite se
denota
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}:=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}v_{k}.
\end{equation*}
Una observación sencilla es la siguiente.
Si la serie $\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}$ converge
en $V$, entonces $v_{k}\rightarrow 0$ en $V$. En particular,
$(v_{k})$ está acotada.
La sucesión $(w_n)$, donde $w_n:=\sum_{k=1}^{n}v_{k}$, es de Cauchy
(ver Proposición 5.2). Por tanto, dada $\varepsilon
>0$, existe $n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert v_{n+1}\right\Vert =\left\Vert
\sum_{k=1}^{n+1}v_{k}-\sum_{k=1}^{n}v_{k}\right\Vert \leq
\varepsilon \qquad \forall n\geq n_{0}.
\end{equation*}
Esto prueba que $v_{k}\rightarrow 0$ en $V$. Por la
Proposición 3.31, $(v_{k})$ está acotada.
En espacios de Banach se tiene el siguiente criterio de convergencia para series.
[Criterio de Cauchy para series]
Sea $V$ un
espacio de Banach y sea $(v_{k})$ una sucesión en $V$. La serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}
\end{equation*}
converge en $V$ si y sólo si, para cada $\varepsilon >0$, existe
$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert v_{k+1}+\cdots +v_{k+j}\right\Vert <\varepsilon \qquad \forall
k\geq k_{0},\text{ }\forall j\geq 1.
\end{equation*}
Como $V$ es completo, la sucesión $(w_{n})$ de sumas parciales
$w_{n}:=\sum_{k=1}^{n}v_{k}$ converge en $V$ si y sólo si
$\left( w_{n}\right) $ es de Cauchy, es decir, si y sólo si para
cada $\varepsilon >0$, existe $k_{0}\in N$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert w_{k+j}-w_{k}\right\Vert =\left\Vert v_{k+1}+\cdots
+v_{k+j}\right\Vert <\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall j\geq 1,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
El siguiente criterio garantiza la convergencia uniforme de una serie de funciones en términos de la convergencia de una serie de números reales.
[Criterio de Weierstrass]
Sea $V$ un
espacio de Banach y sea $(v_{k})$ una sucesión en $V$. Si la
serie de números reales
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\left\Vert v_{k}\right\Vert
\end{equation*}
converge, entonces la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}
\end{equation*}
converge en $V$ y se cumple que
\begin{equation*}
\left\Vert \sum_{k=1}^{\infty }v_{k}\right\Vert \leq \sum_{k=1}^{\infty
}\left\Vert v_{k}\right\Vert .
\end{equation*}
Sea $\varepsilon >0$. Como
$\sum_{k=1}^{\infty }\left\Vert v_{k}\right\Vert $ converge en
$\mathbb{R}$, la Proposición 5.24 asegura que existe
$k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que
\begin{equation*}
\left\Vert v_{k+1}\right\Vert +\cdots +\left\Vert v_{k+j}\right\Vert
<\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall j\geq 1.
\end{equation*}
Usando la desigualdad del triángulo obtenemos que
\begin{equation*}
\left\Vert v_{k+1}+\cdots +v_{k+j}\right\Vert \leq \left\Vert
v_{k+1}\right\Vert +\cdots +\left\Vert v_{k+j}\right\Vert <\varepsilon
\qquad \forall k\geq k_{0},\text{ }\forall j\geq 1.
\end{equation*}
Aplicando nuevamente la Proposición 5.24 concluimos
que la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }v_{k}
\end{equation*}
converge en $V$. En consecuencia, usando la continuidad de la norma
y la desigualdad del triángulo obtenemos
\begin{equation*}
\left\Vert \sum_{k=1}^{\infty }v_{k}\right\Vert =\lim_{n\rightarrow \infty
}\left\Vert \sum_{k=1}^{n}v_{k}\right\Vert \leq \lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{k=1}^{n}\left\Vert v_{k}\right\Vert =\sum_{k=1}^{\infty }\left\Vert
v_{k}\right\Vert ,
\end{equation*}
como afirma el enunciado.
Sea $S$ un conjunto y sea $f_{k}\colon S\rightarrow V$ una sucesión de
funciones.
Decimos que la serie de funciones
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}
\end{equation*}
converge uniformemente en $S$ si la sucesión de funciones
$g_{n}:=\sum_{k=1}^{n}f_{k}$ converge uniformemente en $S$ a una
función $S\rightarrow V$, a la que se denota
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}.
\end{equation*}
Un ejemplo importante de series de funciones son las series de potencias.
Sea $(a_{k})$ una sucesión en $\mathbb{R}$ y sea $x_{0}\in
\mathbb{R}$. La serie
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}
\end{equation*}
de funciones reales de variable real $x$ se llama una serie
de potencias. Su radio de
convergencia se define como
\begin{equation*}
R:=\sup \biggl\{r\in [0,\infty ):\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}r^{k}\text{ converge en }\mathbb{R}\biggr\}\in [0,\infty ].
\end{equation*}
El siguiente resultado justifica llamar a $R$ el radio de convergencia.
Sean $(a_{k})$ una sucesión en $\mathbb{R}$ y
$x_{0}\in \mathbb{R}$.
- Las series de potencias \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}\qquad \text{y}\qquad \sum_{k=1}^{\infty }ka_{k}(x-x_{0})^{k-1} \end{equation*} convergen uniformemente en $[x_{0}-r,x_{0}+r]$ para todo $r\in (0,R)$, donde $R$ es el radio de convergencia de $\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}$.
- La función \begin{equation*} f(x):=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k} \end{equation*} es continuamente diferenciable en $(x_{0}-R,x_{0}+R)$ y su derivada está dada por \begin{equation*} f^{\prime }(x)=\sum_{k=1}^{\infty }ka_{k}(x-x_{0})^{k-1}. \end{equation*}
(a): Sea $r\in (0,R)$. Definimos $f_{k}\in
\mathcal{C}^{0}[x_{0}-r,x_{0}+r]$ como
$f_{k}(x):=a_{k}(x-x_{0})^{k}$, $k\geq 0$. Probaremos que la
sucesión $(f_{k})$ satisface el criterio de Weierstrass. De la
definición del radio de convergencia se sigue que existe
$\hat{r}\in (r,R]\cap \mathbb{R}$ tal que $\sum_{k=0}^{\infty
}a_{k}\hat{r}^{k}$ converge en $\mathbb{R}$. Por tanto, existe $c\in
\mathbb{R}$ tal que $\left\vert a_{k}\hat{r}^{k}\right\vert \menorque c$ para
todo $k\in \mathbb{N}$ (ver Proposición 5.23) y, en
consecuencia,
\begin{equation*}
\left\vert f_{k}(x)\right\vert =\left\vert a_{k}\right\vert \left\vert
x-x_{0}\right\vert^{k}\leq \left\vert a_{k}\right\vert \hat{r}^{k}\theta
^{k}\leq c\theta^{k}\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{, }\forall x\in
[x_{0}-r,x_{0}+r],
\end{equation*}
donde $\theta :=\frac{r}{\hat{r}}$. Se tiene entonces que
\begin{equation*}
\left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }=\max_{x\in [x_{0}-r,x_{0}+r]}\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq c\theta^{k}\qquad
\forall k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
Como $\theta \in (0,1)$, la serie de números reales
$\sum_{k=0}^{\infty }\theta^{k}$ converge. Por consiguiente, la
serie $\sum_{k=0}^{\infty }\left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }$
converge [Ejercicio 5.45] y el Teorema 5.25
aplicado al espacio $\mathcal{C}^0[x_0-r, x_0+r]$ implica
que la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}
\end{equation*}
converge uniformemente en $[x_{0}-r,x_{0}+r]$.
Por otra parte, si definimos $g_{k}\in \mathcal{C}^{0}[x_{0}-r,x_{0}+r]$, como $g_{k}(x):=ka_{k}(x-x_{0})^{k-1}$, $k\geq 1$, tenemos que \begin{equation*} \left\vert g_{k}(x)\right\vert =k\left\vert a_{k}\right\vert \left\vert x-x_{0}\right\vert^{k-1}\leq \frac{c}{\hat{r}}k\theta^{k-1}\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{, }\forall x\in [x_{0}-r,x_{0}+r]. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \left\Vert g_{k}\right\Vert_{\infty }=\max_{x\in [x_{0}-r,x_{0}+r]}\left\vert g_{k}(x)\right\vert \leq \frac{c}{\hat{r}}k\theta^{k-1}\qquad \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Dado que la serie $\sum_{k=1}^{\infty }k\theta^{k-1}$converge en $\mathbb{R} $, argumentando como en el caso anterior, concluimos que la serie \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }ka_{k}(x-x_{0})^{k-1} \end{equation*} converge uniformemente en $[x_{0}-r,x_{0}+r]$.
(b): Sea $r\in (0,R)$ y denotemos por \begin{equation*} F_{k}(x):=\sum_{j=0}^{k}a_{j}(x-x_{0})^{j},\quad f(x):=\sum_{j=0}^{\infty }a_{j}(x-x_{0})^{j},\quad g(x):=\sum_{j=1}^{\infty }ja_{j}(x-x_{0})^{j-1}. \end{equation*} $F_{k}$ es continuamente diferenciable, y acabamos de probar que $\left( F_{k}\right) $ converge a $f$ y $\left( F_{k}^{\prime }\right) $ converge a $g$ uniformemente en $[x_{0}-r,x_{0}+r]$. El Teorema 5.18 asegura entonces que $f$ es continuamente diferenciable en $[x_{0}-r,x_{0}+r] $ y que $f^{\prime }=g$.
Una función $f\colon (x_{0}-R,x_{0}+R)\rightarrow \mathbb{R}$ que se puede expresar como una serie de potencias \begin{equation*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k} \end{equation*} se llama una función analítica. Una función analítica tiene derivadas de todos los órdenes [Ejercicio 5.50]. El recíproco no es cierto: una función que tiene derivadas de todos los órdenes no necesariamente es analítica [Ejercicio 5.51].
Ejercicios
Sea $X_{\disc}$ un espacio métrico discreto.
- Describe a las sucesiones de Cauchy en $X_{\disc}$.
- ¿Es $X_{\disc}$ un espacio métrico completo?
Sea $(x_{k})$ una sucesión de Cauchy en un
espacio métrico $X$. Demuestra las siguientes afirmaciones:
- $(x_{k})$ está acotada en $X$.
- Si alguna subsucesión de $(x_{k})$ converge a $x$ en $X$, entonces $(x_{k})$ converge a $x $en $X$.
Sea $X=(0,1)$ con la métrica inducida por la de
$\mathbb{R}$. Prueba que la sucesión $(\frac{1}{k})$ es de
Cauchy en $X$ pero no converge en $X$.
Considera la sucesión de funciones
$f_{k}\colon [-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$,
\begin{equation*}
f_{k}(x)=
\begin{cases}
-1 & \text{si $-1\leq x\leq -\frac{1}{k}$,} \\
kx & \text{si $-\frac{1}{k}\leq x\leq \frac{1}{k}$,} \\
1 & \text{si $\frac{1}{k}\leq x\leq 1$.}
\end{cases}
\end{equation*}
- Prueba que $(f_{k})$ es de Cauchy en $\mathcal{C}_{p}^{0}[-1,1]$ para toda $p\in [1,\infty )$.
- Prueba que $(f_{k})$ no converge en $\mathcal{C}_{p}^{0}[-1,1]$ para ninguna $p\in [1,\infty ]$. (Sugerencia: Usa el Ejercicio 3.47 y el Ejemplo 5.4.)
- ¿Es $(f_{k})$ de Cauchy en $\mathcal{C}_{\infty }^{0}[-1,1]$?
Prueba que $\ell_{p}$ es un espacio de Banach para
todo $p\in [1,\infty ]$.
Considera los siguientes subespacios de $\ell_{\infty }$ con la
norma inducida. ¿Cuáles de ellos son de Banach?
- $\mathfrak{d}:=\left\{(x_{n})\in \ell_{\infty }:x_{n}\neq 0 \text{ sólo para un número finito de $n$’s}\right\}$.
- $\mathfrak{c}_{0}:=\left\{(x_{n})\in \ell_{\infty }:x_{n}\rightarrow 0\right\}$.
- $\mathfrak{c}:=\left\{(x_{n})\in \ell_{\infty }:(x_{n}) \text{ converge en $\mathbb{R}$}\right\}$.
Sean $X$ un espacio métrico completo y $ x,y\in X$. Prueba que
el espacio de trayectorias
\begin{equation*}
\mathcal{T}_{x,y}(X):=\left\{\sigma \in \mathcal{C}^{0}([0,1],X):\sigma (0)=x,\text{ }\sigma (1)=y\right\}
\end{equation*}
con la métrica uniforme es completo.
Prueba que todo espacio métrico compacto es completo.
Sean $X$ y $Y$ espacios métricos
completos. Prueba que $X\times Y$ con cualquiera de las métricas
del Ejercicio 2.53 es completo.
Sea $V$ un espacio normado. Prueba que todo
subespacio vectorial de dimensión finita de $V$ es cerrado en
$V$.
Sean $V=(V,\left\Vert \cdot \right\Vert )$ un
espacio normado y $S_{V}:=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert =1\right\}$ la
esfera unitaria en $V$. Demuestra las siguientes afirmaciones:
- Si $W$ es un subespacio vectorial de $V$, $W$ es cerrado en $V$ y $W\neq V$ entonces, para cada $\delta \in (0,1)$, existe $v_{\delta }\in S_{V}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert v_{\delta }-w\right\Vert \geq \delta \qquad \forall w\in W. \end{equation*}
- Teorema (Riesz) La esfera unitaria $S_{V}:=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert =1\right\}$ es compacta si y sólo si dim$V<\infty $. (Sugerencia: Si dim$V=\infty $, usa el Ejercicio 5.38 y el inciso (a) para construir una sucesión en $S_{V}$ que no contiene ninguna subsucesión convergente.)
- La bola cerrada $\bar{B}_{V}(0,1):=\left\{v\in V:\left\Vert v\right\Vert \leq 1\right\}$ es compacta si y sólo si dim$V<\infty $.
Sea $\phi \colon X\rightarrow Y$ una función uniformemente
continua. Demuestra las siguientes afirmaciones:
- Si $(x_{k})$ es de Cauchy en $X$, entonces $(\phi (x_{k}))$ es de Cauchy en $Y$.
- Si existe una función continua $\psi \colon Y\rightarrow X$ tal que $\psi \circ \phi = \id$ y $Y$ es completo, entonces $X$ es completo.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
- La sucesión de funciones $f_{k}(x)=x^{k}$ no converge uniformemente en $[0,1]$.
- La sucesión de funciones $f_{k}(x)=x^{k}$ converge uniformemente en cualquier subintervalo cerrado $[a,b]\subset [0,1)$.
¿Cuáles de las siguientes sucesiones de
funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ convergen
puntualmente en $\mathbb{R} $? Encuentra todos los intervalos donde
la convergencia es uniforme.
\begin{equation*}
\text{(a) }f_{k}(x)=\frac{kx}{kx^{2}+1};\qquad \text{(b) }f_{k}(x)=\frac{kx}{k^{2}x^{2}+1};\qquad \text{(c) }f_{k}(x)=\frac{k^{2}x}{kx^{2}+1}.
\end{equation*}
¿Cuáles de las siguientes sucesiones de
funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ convergen
uniformemente en $\mathbb{R}$? Encuentra el límite de tales
sucesiones.
- $\displaystyle{f_{k}(x) = \begin{cases} \left\vert x-k\right\vert -1 & \text{si $x\in [k-1,k+1]$,} \\ 0 & \text{si $x\notin [k-1,k+1]$.} \end{cases}}$
- $\displaystyle{f_{k}(x) = \frac{1}{(x/k)^{2}+1}.}$
- $\displaystyle{f_{k}(x) =\sen(x/k).}$
- $\displaystyle{f_{k}(x) = \begin{cases} \frac{1}{k}\sen x & \text{si $x\in [2\pi k,2\pi (k+1)]$,} \\ 0 & \text{si $x\notin [2\pi k,2\pi (k+1)]$.} \end{cases}}$
Sea $f_{k}\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ una sucesión de
funciones continuamente diferenciables en $[a,b]$ que converge
puntualmente a una función $f$ en $[a,b]$. Investiga si son
falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:
- $f$ es continua en $[a,b]$.
- $(f_{k})$ converge uniformemente a $f$ en $[a,b]$.
- La sucesión $(f_{k}^{\prime })$ converge puntualmente en $[a,b]$.
- Si $f$ es continuamente diferenciable, entonces $(f_{k}^{\prime }) $ converge puntualmente en $[a,b]$.
- Si $f$ es continuamente diferenciable y si $(f_{k}^{\prime }(x))$ converge para cada $x\in [a,b]$, entonces $(f_{k}^{\prime })$ converge puntualmente a $f^{\prime }$ en $[a,b]$.
Prueba que, si $a_{n},b_{n}\in \mathbb{R}$, $0\leq
a_{n}\leq b_{n}$ y $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge en
$\mathbb{R}$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge en
$\mathbb{R}$.
Considera la sucesión de funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow
\mathbb{R}$,
\begin{equation*}
f_{k}(x)=\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{k}}.
\end{equation*}
- Prueba que, para cada $x\in \mathbb{R}$, la serie de números reales $\sum_{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ converge.
- ¿Converge la serie de funciones $ \sum_{k=1}^{\infty }f_{k}$ uniformemente en $\mathbb{R}$?
Considera las funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
dadas por
\begin{equation*}
f_{k}(x)=\frac{\sen kx}{\sqrt{k}}.
\end{equation*}
- Prueba que $(f_{k})$ converge uniformemente a $0$ en $\mathbb{R}$.
- Prueba que $(f_{k}^{\prime })$ no converge puntualmente en $\mathbb{R}$, donde $f_{k}^{\prime }$ es la derivada de $f_{k}$.
Sea $\Omega $ un subconjunto abierto
y acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Una función $\varphi
\colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}$ es de clase
$\mathcal{C}^{m}$ en $\overline{\Omega }$ si todas
las derivadas parciales de orden $\leq m$ de $\varphi$,
\begin{equation*}
\frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\cdots \frac{\partial^{\alpha_{n}}\varphi }{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\qquad\text{
con }\alpha_{i}\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}\text{ y }\alpha
_{1}+\cdots +\alpha_{n}\leq m,
\end{equation*}
existen en $\Omega $ y admiten una extensión
continua a la cerradura $\overline{\Omega }$, donde
\begin{equation*}
\frac{\partial^{0}\varphi }{\partial x_{i}^{0}}:=\varphi \qquad\text{
y}\qquad\frac{\partial^{\alpha_{i}}\varphi }{\partial x_{i}^{\alpha_{i}}}=\underset{\alpha_{i}\text{ veces}}{\underbrace{\frac{\partial }{\partial x_{i}}\cdots \frac{\partial }{\partial x_{i}}}}\quad\text{si }
\alpha_{i}\geq 1.
\end{equation*}
Denotamos por
\begin{equation*}
\mathcal{C}^{m}(\overline{\Omega }):=\left\{\varphi \colon \overline{\Omega }\rightarrow \mathbb{R}:\varphi \text{ es de clase }\mathcal{C}^{m}\text{ en }\overline{\Omega }\right\}
\end{equation*}
y definimos
\begin{equation*}
\left\Vert \varphi \right\Vert_{\mathcal{C}^{m}(\overline{\Omega })}:=\max
\left\{ \left\Vert \frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha
_{1}}}\cdots \frac{\partial^{\alpha_{n}}\varphi }{\partial x_{n}^{\alpha
_{n}}}\right\Vert_{\infty }:\alpha_{i}\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\},\text{ }\alpha_{1}+\cdots +\alpha_{n}\leq m\right\} .
\end{equation*}
Prueba que ésta es una norma en
$\mathcal{C}^{m}(\overline{\Omega })$ y que
$\mathcal{C}^{m}(\overline{\Omega })$ es un espacio de
Banach. (Sugerencia: Recuerda que
\begin{equation*}
\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}(x)=f_{i}^{\prime }(0)
\end{equation*}
donde $f_{i}(t):=\varphi (x+te_{i})$, $e_{i}$
es el $i$-ésimo vector de la base canónica de
$\mathbb{R}^{n}$, y usa los Teoremas 5.21
y 5.18.)
- Dada una sucesión $(c_{k})$ en $\mathbb{R}$ definimos \begin{equation*} c:=\limsup_{k\rightarrow \infty }\left\vert c_{k}\right\vert^{1/k}. \end{equation*} Demuestra el criterio de la raíz para la convergencia de series de números reales: \begin{equation*} \begin{array}{ll} \sum_{k=0}^{\infty }c_{k}\quad\text{ converge} & \text{si }c<\menorque 1, \\[5pt] \sum_{k=0}^{\infty }c_{k}\quad\text{ no converge} & \text{si }c>1. \end{array} \end{equation*}
- Prueba que el radio de convergencia $R$ de una serie de potencias $ \sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}$ está dado por \begin{equation*} R^{-1}=\limsup_{k\rightarrow \infty }\left\vert a_{k}\right\vert^{1/k}. \end{equation*}
- Calcula el radio de convergencia de las siguientes series de potencias y averigua si convergen o no en los puntos $\left\vert x\right\vert =R$. \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty }k^{k}x^{k},\qquad \sum_{k=0}^{\infty }x^{k},\qquad \sum_{k=1}^{\infty }\frac{x^{k}}{k},\qquad \sum_{k=1}^{\infty }\frac{x^{k}}{k^{2}}. \end{equation*}
Sea $\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}$,
$a_{k}\in \mathbb{R}$, una serie de potencias con radio de
convergencia $R>0$. Prueba que la función
$f\colon (x_{0}-R,x_{0}+R)\rightarrow \mathbb{R}$ dada por
\begin{equation*}
f(x):=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}
\end{equation*}
tiene derivadas de todos los órdenes y que la $n$-ésima
derivada $f^{(n)}$ de $f$ está dada por
\begin{equation*}
f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty }k(k-1)\cdots
(k-n+1)a_{k}(x-x_{0})^{k-n},\qquad x\in (x_{0}-R,x_{0}+R).
\end{equation*}
En particular se cumple que $f^{(n)}(x_{0})=n!a_{n}$.
Considera la función $f\colon \mathbb{R\rightarrow
R}$ dada por
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
e^{-1/x^{2}} & \text{si $x\neq 0$,} \\
0 & \text{si $x=0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
- Prueba que $f$ tiene derivadas de todos los órdenes en $x=0$ y que $f^{(n)}(0)=0$.
- ¿Se puede escribir $f$ como una serie \begin{equation*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\qquad a_{k}\in \mathbb{R}\text{,} \end{equation*} convergente en algún intervalo $(-R,R)$, $R>0$?
Sean $a_{kj}\in \mathbb{R}$ tales que las series de números
reales
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert a_{kj}\right\vert =b_{k}
\end{equation*}
convergen para cada $k\in \mathbb{N}$ y la serie
$\sum_{k=1}^{\infty }b_{k}$ también converge. Prueba que
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty
}a_{kj}=\sum_{j=1}^{\infty }\sum_{k=0}^{\infty }a_{kj}.
\end{equation*}
(Sugerencia: Considera el subespacio métrico
$X:=\left\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\right\}\cup\left\{0\right\}$ de
$\mathbb{R}$ y aplica el criterio de Weierstrass a la
sucesión de funciones $f_{k}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$
dadas por
\begin{equation*}
f_{k}\left( \frac{1}{n}\right) =\sum_{j=1}^{n}a_{kj},\qquad f_{k}(0)=\sum_{j=1}^{\infty }a_{kj}.
\end{equation*}
Comprueba que esta sucesión satisface todas las
hipótesis del Teorema 5.25.)
Calcula el radio de convergencia $R$ de la serie de potencias
\begin{equation*}
f(x):=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{k}}{k!}
\end{equation*}
y demuestra que $f^{\prime }=f$ en $(-R,R)$. ¿Quién es la función
$f$?
Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todas las funciones polinomiales
$p\colon [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, $p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots
+a_{1}x+a_{0}$, con $a_{0},\dots,a_{n}\in \mathbb{R}$.
- Prueba que $\mathcal{P}$ es un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}[0,1]$.
- ¿Es $\mathcal{P}$ con la norma uniforme \begin{equation*} \left\Vert p\right\Vert_{\infty }=\max_{0\leq x\leq 1}\left\vert p(x)\right\vert \end{equation*} un espacio de Banach? (Sugerencia: Considera la sucesión de polinomios $p_{k}(x)=\frac{1}{k!}x^{k}+\frac{1}{(k-1)!}x^{k-1}+\cdots +x+1$ y utiliza la Proposición 5.9).
Sea $\varphi \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la función dada
por
\begin{equation*}
\varphi (x):=
\begin{cases}
x & \text{si $x\in [0,1]$,} \\
2-x & \text{si $x\in [1,2]$,}
\end{cases}
\end{equation*}
y $\varphi (x+2)=\varphi (x)$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Demuestra
las siguientes afirmaciones:
- La serie \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty }\left( \frac{3}{4}\right)^{k}\varphi (4^{k}x) \end{equation*} converge uniformemente en $\mathbb{R}$. En consecuencia, la función $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} f(x):=\sum_{k=0}^{\infty }\left( \frac{3}{4}\right)^{k}\varphi (4^{k}x) \end{equation*} es continua.
- $f$ no es diferenciable en ningún punto $x\in \mathbb{R}$. (Sugerencia: Para cada $j\in \mathbb{N}$ toma $m\in \mathbb{N}$ tal que $m\leq 4^{j}x\menorque m+1$ , y define $y_{j}:=4^{-j}m$, $z_{j}:=4^{-j}(m+1)$. Prueba que \begin{equation*} \left\vert \frac{f(z_{j})-f(y_{j})}{z_{j}-y_{j}}\right\vert \rightarrow \infty \qquad\text{ cuando }j\rightarrow \infty . \end{equation*} Usa este hecho para concluir que $f$ no es diferenciable en $x$.)
Proyecto: Completación de un espacio métrico
Objetivo
Sea $X$ un espacio métrico.
Se dice que un espacio métrico $X^{\ast
}$ es una completación de $X$
si $X^{\ast }$ es completo y existe una isometría $\iota
\colon X\rightarrow X^{\ast }$ tal que $\overline{\iota (X)}=X^{\ast }$,
donde $\overline{\iota (X)}$ denota a la cerradura de $\iota (X)$
en $X^{\ast }$.
Por ejemplo, el espacio $\mathbb{R}$ de los números reales es una completación del espacio $\mathbb{Q}$ de números racionales.
El objetivo de este proyecto es demostrar el siguiente resultado.
Cualquier espacio métrico admite una completación y ésta
es única salvo isometría.
Procedimiento
- Demuestra que, si $X^{\ast }=(X^{\ast },d^{\ast })$ y $X^{\#}=(X^{\#},d^{\#})$ son completaciones de $(X,d)$, entonces existe una isometría biyectiva $\beta \colon X^{\ast }\rightarrow X^{\#}$.
- Diremos que dos sucesiones de Cauchy $(x_{k})$ y $(y_{k})$ en $X$ son equivalentes si \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }d(x_{k},y_{k})=0. \end{equation*} Demuestra que ésta es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en $X$.
- Denota por $[x_{k}]$ a la clase de equivalencia de la
sucesión de Cauchy $(x_{k})$ y define
\begin{equation*}
X^{\ast }:=\left\{[x_{k}]:(x_{k})\text{ es de Cauchy en }X\right\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
d^{\ast }([x_{k}],[y_{k}]):=\lim_{k\rightarrow \infty }d(x_{k},y_{k}).
\end{equation*}
Demuestra que
- $d^{\ast }$ está bien definida, es decir, existe $\lim_{k\rightarrow \infty }d(x_{k},y_{k})$ y no depende de los representantes $(x_{k})$ y $(y_{k})$ elegidos.
- $d^{\ast }$ es una métrica en $X^{\ast }$.
- Si $x\in X$ denotamos por $[x]$ a la clase de equivalencia de la
sucesión cuyos términos son todos iguales a $x$. Demuestra
las siguientes afirmaciones:
- $X^{\ast }=(X^{\ast },d^{\ast })$ es un espacio métrico completo.
- La función $\iota \colon X\rightarrow X^{\ast }$ dada por $\iota (x):=[x] $es una isometría.
- $\overline{\iota (X)}=X^{\ast }$.
Observaciones
Es importante saber que todo espacio métrico admite una única completación. Sin embargo, la descripción que hemos dado aquí resulta poco práctica: pensar a los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales haría muy engorroso operar con ellos. Conviene pues tener representaciones más sencillas.
En el Capítulo 14 introduciremos una completación accesible del espacio $\mathcal{C}_{p}^{0}[a,b]$: el espacio de Lebesgue $L^{p}(a,b)$. Este espacio aparece de manera natural en muchas aplicaciones importantes.
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