(a):  Identificamos a $\varphi $ con su extensión trivial a $\mathbb{R}^{n}$, así que $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Ejercicio 11.48), y elegimos $a>0$ de modo que $\sop(\varphi )\subset [-a,a]^{n}$. Sin perder generalidad podemos tomar $i=1$. El teorema fundamental del cálculo asegura que \begin{equation*} \int_{-a}^{a}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}(x_{1},\widehat{x})\,dx_{1}=\varphi (a,\widehat{x})-\varphi (-a,\widehat{x})=0\qquad \forall \widehat{x}=(x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb{R}^{n-1}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\int_{-a}^{a}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{1}}(x_{1},\,\widehat{x})\,dx_{1}\,d\widehat{x}=0. \end{equation*}

(b):  Aplicando la afirmación (a) al producto $f\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ obtenemos

\begin{equation*} 0=\int_{\Omega }\frac{\partial (f\varphi )}{\partial x_{i}}=\int_{\Omega }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\varphi +\int_{\Omega }f\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Si $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R})$ y $\sop(\varphi )\subset [-a,a]$, tomando en cuenta que $u$ es diferenciable en $(-a,0)$ y en $(0,a)$ y usando el teorema fundamental del cálculo obtenemos \begin{align*} \int_{-\infty }^{\infty }\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] &= \int_{-a}^{0}\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] +\int_{0}^{a}\left[ u\varphi^{\prime }+(Du)\varphi \right] \\ &= \int_{-a}^{0}\left( u\varphi \right)^{\prime }+\int_{0}^{a}\left( u\varphi \right)^{\prime }=-a\varphi (-a)+a\varphi (a)=0, \end{align*} pues $\varphi (a)=\varphi (-a)=0$.

Argumentando por contradicción, supongamos que existe $v\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R})$ tal que \begin{equation*} \int_{-\infty }^{\infty }1_{(-\infty ,0)}\varphi^{\prime }=-\int_{-\infty }^{\infty }v\varphi \qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}). \end{equation*} Entonces se cumple, en particular, que \begin{align*} \int_{-\infty }^{0}v\varphi &=-\int_{-\infty }^{0}\varphi^{\prime }=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(-\infty ,0), \\ \int_{0}^{\infty }v\varphi &= -\int_{0}^{\infty }0=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(0,\infty ). \end{align*} Estas dos identidades, junto con la Proposición 14.49, implican que $v=0$ c.d. en $\mathbb{R}$. En consecuencia, \begin{equation*} \varphi (0)=\int_{-\infty }^{0}\varphi^{\prime }=\int_{-\infty }^{\infty }1_{(-\infty ,0)}\varphi^{\prime }=0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}). \end{equation*} Esto es una contradicción.

Por simplicidad denotamos por $v_{i}(x):=\gamma \left\Vert x\right\Vert ^{\gamma -2}x_{i}$. La Proposición 13.31 asegura que $u\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ si $\gamma +n>0$. Como $\left\vert v_{i}(x)\right\vert \leq \gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -1}$, se tiene que $v_{i}\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ si $\gamma -1+n>0$.

Elegimos $\psi \in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \psi (x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\psi (x)=0$ si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$ y $\psi (x)=1$ si $\left\Vert x\right\Vert \geq 2$, y definimos $\psi_{k}(x):=\psi (kx)$. Entonces $0\leq \psi_{k}(x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, \begin{equation*} \psi_{k}(x)=0\text{  si }\left\Vert x\right\Vert \leq 1/k\qquad\text{y}\qquad \psi_{k}(x)=1\text{  si }\left\Vert x\right\Vert \geq 2/k. \end{equation*} Observa que $u$ es diferenciable en $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \left\{0\right\}$ y que \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}(x)=\gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -2}x_{i}=v_{i}(x)\qquad \text{si }x\neq 0. \end{equation*} Por tanto, $u\psi_{k}\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y la Proposición 16.1 asegura que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\psi_{k}+u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right) \varphi =0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}).\label{dd1} \end{equation} Calcularemos ahora el límite cuando $k\rightarrow \infty $ de cada uno de los sumandos.

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Las funciones $u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}$ y $u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}$ son integrables en $\mathbb{R}^{n}$ y cumplen que \begin{equation*} u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\rightarrow u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\text{  c.d. en $\mathbb{R}^{n}$}\quad\text{y}\quad\left\vert u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \leq \left\vert u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert \text{  en }\mathbb{R}^{n}\quad\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Del teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) se sigue entonces que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}u\psi_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}.\label{dd2} \end{equation} Análogamente se demuestra que \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}v_{i}\varphi =\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\psi_{k}\varphi .\label{dd3} \end{equation} Por otra parte, como $\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}(x)=k\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}(kx)$, se tiene que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\leq k\left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }. \end{equation*} Observa además que $\sop(\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}})\subset \left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\frac{1}{k}\leq \left\Vert x\right\Vert \leq \frac{2}{k}\right\}=:A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})$. En consecuencia, usando el Ejemplo 13.30 obtenemos \begin{align*} \left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi \right\vert &\leq \int_{A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})}\left\vert u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi \right\vert \\ &\leq k\left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\int_{A^{n}(\frac{1}{k},\frac{2}{k})}\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }dx \\ &= \left\Vert \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\frac{n\omega_{n}}{\gamma +n}\left( \frac{2^{\gamma +n}-1}{k^{\gamma +n-1}}\right) \end{align*} y, dado que $\gamma +n-1>0$, concluimos que \begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\varphi =0.\label{dd4} \end{equation}

De (\ref{dd1}), (\ref{dd2}), (\ref{dd3}) y (\ref{dd4}) se sigue que

\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}v_{i}\varphi =0\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}), \end{equation*} como afirma el enunciado.

Observa que, para cada $i=1,\dots,n$ y $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, \begin{align*} &\int_{\Omega }\left[ (\lambda u+\mu v)\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(\lambda D_{i}u+\mu D_{i}v)\varphi \right] \\ &\qquad{}=\lambda \int_{\Omega }\left[ u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(D_{i}u)\varphi \right] +\mu \int_{\Omega }\left[ v\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+(D_{i}v)\varphi \right] =0. \end{align*} Esto prueba que $\lambda u+\mu v$ es débilmente diferenciable y $D_{i}(\lambda u+\mu v)=\lambda D_{i}u+\mu D_{i}v$.

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Entonces $\zeta \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ y, en consecuencia, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\zeta u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \zeta D_{i}u+u\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right) \varphi =\int_{\Omega }u\frac{\partial (\zeta \varphi )}{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }\left( D_{i}u\right) (\zeta \varphi )=0. \end{equation*} Esto demuestra la afirmación.

Como $L^{p}(\Omega )$ es un espacio vectorial, de la Proposición 16.9 se sigue que $W^{1,p}(\Omega )$ es un espacio vectorial. Probemos ahora que $\left\Vert \cdot \right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}$ es una norma.

(N1):  Sea $u\in W^{1,p}(\Omega )$. Si $u=0$ entonces $D_{i}u=0$ para todo $i=1,\dots,n$ y, en consecuencia, $\left\Vert u\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}=0$. Inversamente: como $\left\Vert u\right\Vert _{p}\leq \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}$, si $\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}=0$ entonces $u=0$ en $L^{p}(\Omega )$.

(N2):  Claramente $\left\Vert \lambda u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}=\lambda \left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}$ para cualesquiera $u\in W^{1,p}(\Omega )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

(N3):  Si $p\in [1,\infty )$, aplicando primero la desigualdad de Minkowski en $L^{p}(\Omega )$ (ver Proposición 14.24) y luego la desigualdad del triángulo (2.3) para la norma $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ en $\mathbb{R}^{n+1}$, obtenemos que, para cualesquiera $u,v\in W^{1,p}(\Omega )$, \begin{align*} \left\Vert u+v\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )} &=\Biggl( \left\Vert u+v\right\Vert_{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}u+D_{i}v\right\Vert _{p}^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}\leq \Biggl( \left( \left\Vert u\right\Vert_{p}+\left\Vert v\right\Vert _{p}\right)^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left( \left\Vert D_{i}u\right\Vert _{p}+\left\Vert D_{i}v\right\Vert_{p}\right)^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}\leq \Biggl( \left\Vert u\right\Vert_{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}u\right\Vert_{p}^{p}\Biggr)^{1/p}+\Biggl( \left\Vert v\right\Vert _{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}v\right\Vert_{p}^{p}\Biggr)^{1/p} \\[5pt] &{}=\left\Vert u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}+\left\Vert v\right\Vert _{W^{1,p}(\Omega )}. \end{align*} La demostración de la desigualdad para $p=\infty $ es análoga.

Sea $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$. Entonces $\varphi ,\,\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\in L^{q}(\Omega )$ para todo $q\in [1,\infty ]$. Tomando $q$ de modo que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ y usando la desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) obtenemos que \begin{align*} \left\vert \int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}-\int_{\Omega }u_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\vert &{}\leq \left\Vert u-u_{k}\right\Vert_{p}\left\Vert \frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}\right\Vert_{q}\rightarrow 0\qquad \text{ cuando }k\rightarrow \infty , \\ \left\vert \int_{\Omega }v_{i}\varphi -\int_{\Omega }(D_{i}u_{k})\varphi \right\vert &{}\leq \left\Vert v_{i}-D_{i}u_{k}\right\Vert_{p}\left\Vert \varphi \right\Vert_{q}\rightarrow 0\qquad \text{ cuando }k\rightarrow \infty . \end{align*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{\Omega }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }v_{i}\varphi =\lim_{k\rightarrow \infty }\biggl( \int_{\Omega }u_{k}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}+\int_{\Omega }(D_{i}u_{k})\varphi \biggr) =0 \end{equation*} para cada $i=1,\dots,n$. Esto prueba que $u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $ y que $v_{i}=D_{i}u$. En consecuencia, $u\in W^{1,p}(\Omega )$. Además, si $p\in[1,\infty)$, se tiene que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert _{p}^{p}+\sum_{i=1}^{n}\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert D_{i}u_{k}-D_{i}u\right\Vert_{p}^{p}=0. \end{equation*} Análogamente, $\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u_{k}-u\right\Vert_{W^{1,\infty }(\Omega )}=0$ si $p=\infty $.

Sea $(u_{k})$ una sucesión de Cauchy en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces las sucesiones $(u_{k})$ y $(D_{i}u_{k})$ son de Cauchy en $L^{p}(\Omega )$. Como $L^{p}(\Omega )$ es completo, se tiene que $u_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$ y $D_{i}u_{k}\rightarrow v_{i}$ en $L^{p}(\Omega )$ para cada $i=1,\dots,n$. Del Lema 16.13 se sigue que $u\in W^{1,p}(\Omega ) $ y $u_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Esto demuestra que $W^{1,p}(\Omega )$ es completo.

Si $p\in [1,\infty )$ y $(\gamma -1)p+n>0$ entonces $(\gamma -1+n)p>(p-1)n\geq 0$ y, en consecuencia, $\gamma -1+n>0$. Así mismo, si $\gamma \geq 1$ entonces $\gamma -1+n>0$. Así que en ambos casos la Proposición 16.8 asegura que $u$ es débilmente diferenciable en $B^{n}(0,r)$ y que \begin{equation*} \left( D_{i}u\right) (x)=\gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -2}x_{i}\qquad \forall i=1,\ldots ,n. \end{equation*} Como $\left\vert \left( D_{i}u\right) (x)\right\vert \leq \gamma \left\Vert x\right\Vert^{\gamma -1}$, de la Proposición 14.29 se sigue que $u\in L^{p}(B^{n}(0,r))$ y que $D_{i}u\in L^{p}(B^{n}(0,r))$ para todo $i=1,\ldots ,n$.

Escogemos una función $\zeta \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \zeta (x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta (x)=1$ si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$ y $\zeta (x)=0$ si $\left\Vert x\right\Vert \geq 2$, y definimos $\zeta_{k}(x):=\zeta (\frac{x}{k})$. Entonces, $\zeta_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y cumple que \begin{equation*} 0\leq \zeta_{k}(x)\leq 1\text{  }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\qquad \zeta_{k}(x)=1\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \leq k,\qquad \zeta _{k}(t)=0\text{ si }\left\Vert x\right\Vert \geq 2k. \end{equation*} Defininimos $\varphi_{k}:=\zeta_{k}\psi_{k}$. Nota que $\varphi _{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Probaremos que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Del teorema de convergencia dominada en $L^{p}$ (Teorema 14.26) se sigue que \begin{equation*} \left\Vert v-\zeta_{k}v\right\Vert_{p}\rightarrow 0\qquad \forall v\in L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \end{equation*} y, como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}u-\zeta_{k}\psi_{k}\right\vert ^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}\right\vert^{p}\left\vert u-\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert _{p}^{p}\rightarrow 0 \end{equation*} y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \zeta_{k}\right\vert^{p}\left\vert D_{i}u-\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\leq \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial \psi _{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}^{p}\rightarrow 0, \end{equation*} usando la desigualdad del triángulo en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ concluimos que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert u-\zeta_{k}\psi_{k}\right\Vert_{p}=0\qquad \text{y}\qquad \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}=0. \end{equation*} Por otra parte, puesto que $\frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}(x)=\frac{1}{k}\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\left( \frac{x}{k}\right) $, se tiene que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }=\frac{1}{k}\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert _{\infty }. \end{equation*} Así que, como $(\psi_{k})$ está acotada en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, existe una constante $c>0$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\Vert _{p}^{p}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \frac{1}{k^{p}}\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }^{p}\left\Vert \psi _{k}\right\Vert_{p}^{p}\leq \frac{c}{k^{p}}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, \begin{align*} \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial (\zeta_{k}\psi_{k})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p} &{}=\left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi _{k}\right\Vert_{p} \\ &{}\leq \left\Vert D_{i}u-\zeta_{k}\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}+\left\Vert \frac{\partial \zeta_{k}}{\partial x_{i}}\psi _{k}\right\Vert_{p}\rightarrow 0. \end{align*} Hemos probado pues que \begin{equation*} \varphi_{k}\rightarrow u\text{  en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad\text{y}\qquad \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow D_{i}u\text{  en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\quad\forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Aplicando el Lema 16.13 concluimos que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Sea $u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y sea $(\rho_{k})$ una sucesión regularizante (ver Definición 14.41). Las Proposiciones 14.38 y 14.40 aseguran que $\rho _{k}\ast u\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ y que \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}\ast u\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Puesto que $u$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y la función $y\mapsto \rho_{k}(x-y)$ pertenece a $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$, se tiene que \begin{align*} 0 &{}=\int_{\mathbb{R}^{n}}-\frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}(x-y)u(y)dy+\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}(x-y)D_{i}u(y)dy \\ &{}=-\left( \frac{\partial \rho_{k}}{\partial x_{i}}\ast u\right) (x)+(\rho _{k}\ast D_{i}u)(x). \end{align*} En consecuencia, \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\rho_{k}\ast D_{i}u\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} El Teorema 14.45 asegura que \begin{equation*} \rho_{k}\ast u\rightarrow u\quad\text{en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)\rightarrow D_{i}u\quad\text{en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\quad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Aplicando el Lema 16.13 concluimos que $\rho_{k}\ast u\rightarrow u $ en $W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$. La afirmación del teorema se obtiene aplicando el Lema 16.17 a las funciones $\psi_{k}:=\rho_{k}\ast u$.

Sea $u\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$ y sea $(\rho_{k})$ una sucesión regularizante. De la Proposición 14.38 se sigue que $\rho_{k}\ast u\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ para $k$ suficientemente grande y $\frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)=\rho_{k}\ast \frac{\partial u}{\partial x_{i}}$. El Teorema 14.45 asegura entonces que \begin{equation*} \rho_{k}\ast u\rightarrow u\text{  en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad\text{y}\qquad \frac{\partial }{\partial x_{i}}(\rho_{k}\ast u)\rightarrow \frac{\partial u}{\partial x_{i}}\text{  en }L^{p}(\Omega )\text{  }\forall i=1,\dots,n, \end{equation*} y aplicando el Lema 16.13 obtenemos que $\rho_{k}\ast u\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. En consecuencia, $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Sea $(\varphi_{k})$ una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces $\varphi_{k}\rightarrow u$ en $L^{p}(\Omega )$ y $\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow D_{i}u$ en $L^{p}(\Omega )$. Además, $\bar{\varphi}_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y $\frac{\partial \bar{\varphi}_{k}}{\partial x_{i}}=\overline{\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}}$. En consecuencia, \begin{equation*} \bar{\varphi}_{k}\rightarrow \bar{u}\text{  en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial \bar{\varphi}_{k}}{\partial x_{i}}\rightarrow \overline{D_{i}u}\text{  en }L^{p}(\mathbb{R}^{n})\text{  }\forall i=1,\dots,n. \end{equation*} Del Lema 16.13 se sigue que $\bar{u}$ es débilmente diferenciable en $\mathbb{R}^{n}$ y $D_{i}(\bar{u})=\overline{D_{i}u}$. Por tanto, $\bar{u}\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.

Por el teorema del valor medio (ver Teorema 9.14) \begin{equation} \left\vert g(t_{1})-g(t_{2})\right\vert \leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }\left\vert t_{1}-t_{2}\right\vert \qquad \forall t_{1},t_{2}\in \mathbb{R}\text{.}\label{gtvm} \end{equation}

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tales que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Como $g(0)=0$, se tiene que $g\circ \varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )\subset W_{0}^{1,p}(\Omega )$. Usando (\ref{gtvm}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert g\circ u-g\circ \varphi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }^{p}\int_{\Omega }\left\vert u-\varphi_{k}\right\vert^{p}\rightarrow 0. \end{equation*} Por tanto, $g\circ u\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation} g\circ \varphi_{k}\rightarrow g\circ u\qquad \text{ en }L^{p}(\Omega ). \label{g1} \end{equation}

Por otra parte, el Teorema 14.28 asegura que $(\varphi _{k})$ contiene una subsucesión tal que $\varphi _{k_{j}}(x)\rightarrow u(x)$ p.c.t. $x\in \Omega $ y, puesto que $g^{\prime }$ es continua, se tiene que \begin{equation*} g^{\prime }(\varphi_{k_{j}}(x))D_{i}u(x)\rightarrow g^{\prime }(u(x))D_{i}u(x)\qquad \text{p.c.t. }x\in \Omega . \end{equation*} Además, \begin{equation*} \left\vert g^{\prime }(\varphi_{k_{j}}(x))D_{i}u(x)\right\vert \leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }\left\vert D_{i}u(x)\right\vert \qquad \forall x\in \Omega ,\text{ }\forall j\in \mathbb{N}. \end{equation*} Como $D_{i}u\in L^{p}(\Omega )$, el Teorema 14.26 asegura que $(g^{\prime }\circ u)D_{i}u\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert (g^{\prime }\circ u)D_{i}u-(g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}})D_{i}u\right\Vert_{p}=0. \end{equation*} Se tiene además que \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert (g^{\prime }\circ \varphi _{k_{j}})D_{i}u-(g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}})\frac{\partial \varphi _{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\leq \left\Vert g^{\prime }\right\Vert_{\infty }^{p}\int_{\Omega }\left\vert D_{i}u-\frac{\partial \varphi_{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\vert^{p}\rightarrow 0 \end{equation*} cuando $j\rightarrow \infty$. De la desigualdad del triángulo \begin{align*} &\left\Vert \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u-\frac{\partial (g\circ \varphi_{k_{j}})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p} \\[6pt] &\qquad{}\leq \left\Vert \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u-\left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) D_{i}u\right\Vert_{p}+\left\Vert \left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) D_{i}u-\left( g^{\prime }\circ \varphi_{k_{j}}\right) \frac{\partial \varphi_{k_{j}}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{p}, \end{align*} se obtiene entonces que \begin{equation} \frac{\partial (g\circ \varphi_{k_{j}})}{\partial x_{i}}\rightarrow \left( g^{\prime }\circ u\right) D_{i}u\qquad \text{ en }L^{p}(\Omega ).\label{g2} \end{equation}

El Lema 16.13 y las afirmaciones (\ref{g1}) y (\ref{g2}) nos permiten concluir que $g\circ u$ es débilmente diferenciable en $\Omega $, que$ D_{i}(g\circ u)=(g^{\prime }\circ u)D_{i}u$ y que$ g\circ \varphi_{k_{j}}\rightarrow g\circ u$ en $W^{1,p}(\Omega )$.

Finalmente, como $g\circ \varphi_{k}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un subespacio cerrado de $W^{1,p}(\Omega )$, se tiene que $g\circ u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Sea $c\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \det (\theta^{-1})^{\prime }\right\Vert_{\infty }\leq c^{p}\qquad \text{y}\qquad \left\Vert \frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}\right\Vert_{\infty }\leq c\quad \forall i,j=1,\dots,n, \end{equation*} Observa primero que el teorema de cambio de variable (Teorema 13.36) asegura que, si $v\in L^{p}(\Omega )$, entonces $\left\vert v\circ \theta \right\vert^{p}=\left\vert v\right\vert ^{p}\circ \theta $ es integrable y \begin{equation*} \left\Vert v\circ \theta \right\Vert_{p}^{p}=\int_{\Omega^{\prime }}\left\vert v\right\vert^{p}\circ \theta =\int_{\Omega }\left\vert v\right\vert^{p}\left\vert \det (\theta^{-1})^{\prime }\right\vert \leq c^{p}\left\Vert v\right\Vert_{p}^{p}. \end{equation*}

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tales que $\varphi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$. Entonces, $\varphi _{k}\circ \theta \in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega^{\prime })\subset W_{0}^{1,p}(\Omega^{\prime })$. De la observación anterior se sigue que $u\circ \theta \in L^{p}(\Omega^{\prime })$, $D_{j}u\circ \theta \in L^{p}(\Omega^{\prime })$, \begin{equation*} \left\Vert u\circ \theta -\varphi_{k}\circ \theta \right\Vert _{p}=\left\Vert \left( u-\varphi_{k}\right) \circ \theta \right\Vert _{p}\leq c\left\Vert u-\varphi_{k}\right\Vert_{p}\rightarrow 0, \end{equation*} y \begin{align*} \left\Vert (D_{j}u\circ \theta )\frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}-\left( \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\right\Vert_{p} &{}=\left\Vert \left[ \left( D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right) \circ \theta \right] \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\right\Vert _{p} \\[7pt] &{}\leq c\left\Vert \left( D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right) \circ \theta \right\Vert_{p} \\[7pt] &{}\leq c^{2}\left\Vert D_{j}u-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\right\Vert_{p}\rightarrow 0 \end{align*} cuando $k\rightarrow \infty$, para cada $j=1,\dots,n$. Por tanto, $\varphi_{k}\circ \theta \rightarrow u\circ \theta $ en $L^{p}(\Omega^{\prime })$ y \begin{equation*} \frac{\partial (\varphi_{k}\circ \theta )}{\partial y_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left( \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{j}}\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\longrightarrow \sum_{j=1}^{n}\left( D_{j}u\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}\quad\text{en }L^{p}(\Omega^{\prime }). \end{equation*}

El Lema 16.13 asegura entonces que $u\circ \theta $ es débilmente diferenciable en $\Omega $, que$ D_{i}(u\circ \theta )=\sum_{j=1}^{n}\left( D_{j}u\circ \theta \right) \frac{\partial \theta_{j}}{\partial y_{i}}$ y que $\varphi_{k}\circ \theta \rightarrow u\circ \theta $ en $W^{1,p}(\Omega )$.

Finalmente, como $\varphi_{k}\circ \theta \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ es un subespacio cerrado de $W^{1,p}(\Omega )$, se tiene que $u\circ \theta \in W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Sean $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$ y $x_{0}\in \partial \Omega $. Probaremos que $u(x_{0})=0$.

Elegimos $U$ y $\vartheta $ como en la Definición 16.24. Nota primero que, reemplazando a $B^{n-1}(0,1)$ por $B^{n-1}(0,3/4)$, a $(-1,1)$ por $(-3/4,3/4)$, a $U$ por $\vartheta (B^{n-1}(0,3/4)\times (-3/4,3/4))$ y reescalando, podemos suponer que $\vartheta $ y $\frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}$ son continuas en $\bar{B}^{n-1}(0,1)\times [-1,1]$ y que $\frac{\partial (\theta^{-1})_{i}}{\partial x_{j}}$ es continua en $\overline{U}$, en cuyo caso \begin{equation*} \frac{\partial \theta_{i}}{\partial y_{j}}\in L^{\infty }(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))\qquad \text{y}\qquad \frac{\partial (\theta ^{-1})_{i}}{\partial x_{j}}\in L^{\infty }(U)\qquad \forall i,j=1,\dots,n. \end{equation*}

Sean $K:=\vartheta (\bar{B}^{n-1}(0,\frac{1}{2})\times [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])$ y $\delta :=\frac{1}{2}$dist$(K,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus U)$. Por el Lema 14.48 existe $\zeta \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \zeta (x)\leq 1$ si $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta (x)=1$ si $x\in K$ y $\zeta (x)=0$ si dist$(x,K)\geq \delta $.

Si $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ y $(\psi_{k})$ es una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ tal que $\psi _{k}\rightarrow u$ en $W^{1,p}(\Omega )$, entonces $\zeta \psi _{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(U\cap \Omega )$. Además, \begin{equation*} \left\Vert \zeta u-\zeta \psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}^{p}=\int_{U\cap \Omega }\left\vert \zeta \right\vert^{p}\left\vert u-\psi_{k}\right\vert^{p}\leq \left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\rightarrow 0, \end{equation*} \begin{align*} &\left\Vert D_{i}(\zeta u)-\frac{\partial (\zeta \psi_{k})}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}\\&\qquad{}\leq \left\Vert \zeta D_{i}u-\zeta \frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )}+\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}u-\frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(U\cap \Omega )} \\ &\qquad{}\leq \left\Vert D_{i}u-\frac{\partial \psi_{k}}{\partial x_{i}}\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}+\left\Vert \frac{\partial \zeta }{\partial x_{i}}\right\Vert_{\infty }\left\Vert u-\psi_{k}\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}^{p}\rightarrow 0. \end{align*} Del Lema 16.13 se sigue que $\zeta u\in W^{1,p}(U\cap \Omega )$ y que $\zeta \psi_{k}\rightarrow \zeta u$ en $W^{1,p}(U\cap \Omega )$ y, como $\zeta \psi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(U\cap \Omega )$, se tiene entonces que $\zeta u\in W_{0}^{1,p}(U\cap \Omega )$. Aplicando la Proposición 16.23 concluimos que \begin{equation*} v:=\zeta u\circ \vartheta \in W_{0}^{1,p}(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))\cap \mathcal{C}^{0}(\bar{B}^{n-1}(0,1)\times [0,1]). \end{equation*} Demostraremos que \begin{equation} v(y,0)=0\qquad \forall y\in B^{n-1}(0,1).\label{condfront} \end{equation} Observa que esto basta para probar la afirmación del teorema ya que, como $x_{0}=\vartheta (0,0)\in K$, se tiene que $u(x_{0})=\zeta (x_{0})u(x_{0})=v(0,0)=0$.

Para probar (\ref{condfront}) elegimos $\varphi_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))$ tal que $\varphi_{k}\rightarrow v$ en $W^{1,p}(B^{n-1}(0,1)\times (0,1))$. Como $\varphi_{k}(y,0)=0$ para todo $y\in B^{n-1}(0,1)$, el teorema fundamental del cálculo asegura que \begin{equation*} \varphi_{k}(y,t)=\int_{0}^{t}\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}(y,s)ds\qquad \forall t\in (0,1). \end{equation*} Sea $\varepsilon \in (0,1)$. Por el teorema del valor medio para integrales existen $t_{\varepsilon },s_{\varepsilon }\in (0,\varepsilon )$ tales que \begin{equation} \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \varphi_{k}(y,t)\right\vert dt=\varepsilon \left\vert \varphi_{k}(y,t_{\varepsilon })\right\vert \qquad \text{y}\qquad \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert v(y,t)\right\vert dt=\varepsilon \left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert .\label{vmi} \end{equation} Por tanto, \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \varphi _{k}(y,t)\right\vert dt\leq \int_{0}^{\varepsilon }\left\vert \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}(y,s)\right\vert ds\qquad \forall \varepsilon \in (0,1), \end{equation*} e integrando ambos lados de la desigualdad sobre $B^{n-1}(0,1)$ obtenemos que \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert \varphi _{k}\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}\right\vert , \end{equation*} donde $Q_{\varepsilon }:=B^{n-1}(0,1)\times (0,\varepsilon )$. Dado que $Q_{\varepsilon }$ tiene medida finita, se tiene que $\varphi _{k}\rightarrow v$ en $L^{1}(Q_{\varepsilon })$ y $\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{n}}\rightarrow D_{i}v$ en $L^{1}(Q_{\varepsilon })$ (ver Proposición 14.31). De modo que, pasando al límite cuando $k\rightarrow \infty $, concluimos que \begin{equation*} \frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert v\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert . \end{equation*} Combinando esta desigualdad con (\ref{vmi}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert =\int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\frac{1}{\varepsilon }\int_{0}^{\varepsilon }\left\vert v(y,t)\right\vert dtdy=\frac{1}{\varepsilon }\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert v\right\vert \leq \int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert . \end{equation*} Nota que, como $v$ es continua, $\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert \rightarrow \left\vert v(y,0)\right\vert $ cuando $\varepsilon \rightarrow 0$. Aplicando el teorema de convergencia dominada (Teorema 13.36) concluimos que \begin{equation*} \int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,0)\right\vert =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{\left\Vert y\right\Vert menorque 1}\left\vert v(y,s_{\varepsilon })\right\vert \leq \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{Q_{\varepsilon }}\left\vert D_{n}v\right\vert =0. \end{equation*} En consecuencia, $v(y,0)=0$ para todo $y\in B^{n-1}(0,1)$.

Sea $u\in \mathcal{C}^{2}(\overline{\Omega })$ una solución clásica de (\ref{poisson}). Multiplicando ambos lados de la ecuación $-\Delta u+u=f$ por $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ e integrando, obtenemos que \begin{equation} -\int_{\Omega }(\Delta u)\varphi +\int_{\Omega }u\varphi =\int_{\Omega }f\varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ).\label{pp1} \end{equation} La fórmula de integración por partes (ver Proposición 16.1) asegura que \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{i}}=-\int_{\Omega }\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}\varphi . \end{equation*} Sumando estas identidades para $i=1,\dots,n$, obtenemos la fórmula de Green \begin{equation} -\int_{\Omega }(\Delta u)\varphi dx=\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \label{pp2} \end{equation} Combinando (\ref{pp1}) y (\ref{pp2}) obtenemos la identidad deseada.

Para $f\in L^{2}(\Omega )$ considera la función $T\colon H_{0}^{1}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} Tv:=\int_{\Omega }fv. \end{equation*} Esta función es claramente lineal. Además, usando la desigualdad de Hölder en $L^{2}(\Omega )$ obtenemos que, para toda $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, \begin{equation*} \left\vert \int_{\Omega }fv\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{2}\left\Vert v\right\Vert_{2}\leq \left\Vert f\right\Vert_{2}\left( \left\Vert v\right\Vert_{2}+\sum_{i=1}^{n}\left\Vert D_{i}v\right\Vert _{2}\right)^{1/2}=\left\Vert f\right\Vert_{2}\left\Vert v\right\Vert _{H^{1}(\Omega )}. \end{equation*} Esto prueba que $T$ es continua en $H_{0}^{1}(\Omega )$. Por el teorema de representación de Fréchet-Riesz (Teorema 15.19) existe un único $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \left\langle u,v\right\rangle_{H^{1}(\Omega )}=Tv\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega ), \end{equation*} es decir, $u$ es la única solución débil de (\ref{poisson}). Por la Proposición 15.20, $u$ es el único mínimo de $J$.

El Teorema 16.25 asegura que $u(x)=0$ para todo $x\in \partial \Omega $. Por otra parte, aplicando la fórmula de Green (\ref{pp2}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }(-\Delta u+u-f)\varphi =\int_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int_{\Omega }u\varphi -\int_{\Omega }f\varphi =0 \qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ). \end{equation*} La Proposición 14.49 asegura entonces que $h:=-\Delta u+u-f=0$ c.d. en $\Omega $. Como $h$ es continua, si $h(x_{0})\neq 0$ para algún $x_{0}\in \Omega $, se tendría que $h(x)\neq 0$ para todo $x\in B^{n}(x_{0},\delta )$ con $\delta >0$, lo cual es una contradicción. Así que \begin{equation*} -\Delta u+u=f\qquad \text{ en }\Omega . \end{equation*} Esto prueba que $u$ es una solución clásica de (\ref{poisson}).

La afirmación es consecuencia inmediata del Teorema 16.32 y la Proposición 16.31.

Como $u-g\in H_{0}^{1}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{0}(\overline{\Omega })$, el Teorema 16.25 asegura que $u(x)=g(x)$ para todo $x\in \partial \Omega $.

El mismo argumento empleado en la demostración de la Proposición 16.31, prueba que $-\Delta u+u=f$ en $\Omega $. Por tanto, $u$ es una solución clásica de (\ref{dirnh}).