Papirhos --- TUL-Análisis Matemático

Los espacios de Lebesgue

En el espacio de funciones continuas con soporte compacto $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ podemos considerar las normas \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{p}:=\biggl( \int_{\Omega }\left\vert f\right\vert ^{p}\biggr)^{1/p},\qquad p\in [1,\infty ), \end{equation*} análogas a aquéllas en $\mathcal{C}^{0}[a,b]$ que consideramos en el capítulo 2. Éstas aparecen en muchas aplicaciones importantes, pero el espacio $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ no resulta adecuado para tratar muchas de esas aplicaciones porque no es completo.

Los espacios de Lebesgue $L^{p}(\Omega )$, que introduciremos en este capítulo, son espacios de Banach y contienen a $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ como subespacio denso. Sus elementos son clases de equivalencia de funciones medibles $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\left\vert f\right\vert^{p}$ es integrable, y su norma es la que definimos arriba. Los espacios de Lebesgue tienen una enorme relevancia en análisis y en diversas áreas de las matemáticas, e importantes aplicaciones en la física, la ingeniería, las finanzas y otras disciplinas.

Las funciones medibles son aquéllas que se obtienen como el límite puntual de una sucesión de funciones integrables en $\Omega $. A diferencia de las funciones integrables, las funciones medibles tienen la ventaja de que el producto de funciones medibles y la $p$-ésima potencia de una función medible resultan ser funciones medibles. Se tiene además un criterio sencillo que garantiza su integrabilidad: si $f$ es medible y está dominada por una función integrable, entonces $f$ es integrable (ver Teorema 14.15). Para funciones medibles vale además el inverso del teorema de Fubini (ver Teorema 14.17).

Probaremos que el espacio $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ de funciones de clase $\mathcal{C}^{\infty }$ con soporte compacto en $\Omega $ es un subespacio denso de $L^{p}(\Omega )$. Para ello introduciremos el producto de convolución, que asocia a un par de funciones $\rho \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ y $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ una función $\rho \ast f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})\cap L^{p}(\mathbb{R}^{n})$. Escogiendo $\rho_{k}$ de manera adecuada, se obtiene una sucesión $\rho_{k}\ast f$ de funciones con soporte compacto que converge a $f$ en $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$.

El producto de convolución tiene múltiples aplicaciones que van desde la solución de problemas con condición de frontera en ecuaciones diferenciales parciales, hasta el procesamiento de señales digitales o de imágenes *.

Finalmente, estudiaremos la noción de compacidad en $L^{p}(\Omega )$ y daremos condiciones que garantizan que un subconjunto $\mathcal{K}$ de $L^{p}(\Omega )$ es compacto.

Conjuntos y funciones medibles

Denotemos por \begin{equation*} \bar{B}^{n}(0,k):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert x\right\Vert \leq r\right\}. \end{equation*}

El volumen de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ siempre está definido (ver Definición 12.19), aun cuando éste no sea integrable. Podemos extender la noción de volumen como sigue.

Un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ es (Lebesgue-) medible si $X\cap \bar{B}^{n}(0,k)$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Su medida (de Lebesgue) se define como \begin{equation*} \left\vert X\right\vert :=\lim_{k\rightarrow \infty }\left\vert X\cap \bar{B}^{n}(0,k)\right\vert . \end{equation*}

(a) Observa que todo conjunto integrable es medible (ver Proposición 12.38). El Corolario 13.22 asegura que, en ese caso, la noción de medida dada por la Definición 12.36 coincide con la dada aquí.

(b) El recíproco no es cierto: claramente$, \mathbb{R}^{n}$ es medible pero no es integrable.

(c) Nota también que si $X$ es medible y $\left\vert X\right\vert =0$ entonces $X$ es un conjunto nulo. Proponemos la demostración de esta afirmación como ejercicio [Ejercicio 14.51].

Los conjuntos medibles tienen las siguientes propiedades.

Si $X$ y $Y$ son subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $X\smallsetminus Y$ es medible.
Si $\left\{X_{j}:j\in \mathbb{N}\right\}$ es una familia numerable de subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$, entonces \begin{equation*} \bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}\hspace{0.3in}\text{y}\hspace{0.3in}\bigcap_{j=1}^{\infty }X_{j} \end{equation*} son medibles.

(a) es consecuencia de la identidad \begin{equation*} \left( X\smallsetminus Y\right) \cap \bar{B}^{n}(0,k)=\left[ X\cap \bar{B}^{n}(0,k)\right] \smallsetminus \left[ Y\cap \bar{B}^{n}(0,k)\right] \end{equation*} y la Proposición 12.38.

(b): Sean $k\in \mathbb{N}$ y $Y_{m}:=\cup_{j=1}^{m}\left( X_{j}\cap \bar{B}^{n}(0,k)\right) $. Como $Y_{m}\subset \bar{B}^{n}(0,k)$, se tiene que la sucesión $\left( \left\vert Y_{m}\right\vert \right) $ es acotada. El Corolario 13.22 asegura entonces que \begin{equation*} \bigcup_{m=1}^{\infty }Y_{m}=\bigcup_{j=1}^{\infty }\left( X_{j}\cap \bar{B}^{n}(0,k)\right) =\Biggl( \bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}\Biggr) \cap \bar{B}^{n}(0,k) \end{equation*} es integrable. En consecuencia, $\bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}$ es medible. De (a) y la identidad \begin{equation*} \bigcap_{j=1}^{\infty }X_{j}=\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bigcup_{j=1}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}\smallsetminus X_{j}) \end{equation*} se sigue que $\bigcap_{j=1}^{\infty }X_{j}$ es medible.

La proposición anterior proporciona muchos ejemplos de conjuntos medibles, como los siguientes.

Todo subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^{n}$ es medible.
Todo subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ es medible.
Las uniones y las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos o cerrados de $\mathbb{R}^{n}$ son medibles.

(a): Si $X$ es cerrado en $\mathbb{R}^{n}$, entonces $X\cap \bar{B}^{n}(0,k)$ es compacto y, en consecuencia, integrable en $\mathbb{R}^{n}$.

(b) y (c) son consecuencia inmediata de (a) y de la Proposición 14.3.

No todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^{n}$ son medibles. A continuación daremos un ejemplo de un subconjunto de $\mathbb{R}$ que no lo es. Dicho ejemplo se debe a Vitali.

Giuseppe Vitali

Giuseppe Vitali (1875-1932) nació en Ravenna, Italia. Estudió en la Scuola Normale Superiore de Pisa, donde fue alumno de Luigi Bianchi y asistente de Ulisse Dini. Fue maestro de secundaria durante más de 20 años hasta que finalmente obtuvo una cátedra en la Universidad de Modena y Reggio Emilia.

Requerimos el siguiente lema.

Si $X$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}$ con $\left\vert X\right\vert >0$ entonces existe $\delta >0$ tal que $\left\{x-y:x,y\in X\right\}\supset (-\delta ,\delta )$.

Reemplazando, de ser necesario, a $X$ por alguno de sus subconjuntos $X\cap \left[ -k,k\right] $ de medida positiva, podemos suponer sin perder generalidad que $X$ es integrable en $\mathbb{R}$. Escojamos un abierto $\Omega $ en $\mathbb{R}$ tal que $X\subset \Omega $ y $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\frac{4}{3}\left\vert X\right\vert $ (ver Ejercicio 12.57). $\Omega $ es la unión de una familia numerable de intervalos cerrados $I_{k}$, $k\in \mathbb{N}$, cuyos interiores son ajenos por pares (ver Ejercicio 13.45). Usando el Corolario 13.22 obtenemos \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty }\left\vert I_{k}\right\vert =\left\vert \Omega \right\vert \menorque\frac{4}{3}\left\vert X\right\vert =\frac{4}{3}\sum_{k=1}^{\infty }\left\vert X\cap I_{k}\right\vert . \end{equation*} Esta desigualdad implica que existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\left\vert I_{k_{0}}\right\vert \menorque\frac{4}{3}\left\vert X\cap I_{k_{0}}\right\vert $. Sea $\delta :=\frac{1}{2}\left\vert I_{k_{0}}\right\vert $. Denotemos por$ Y:=X\cap I_{k_{0}}$ y por \begin{equation*} Y+z:=\left\{y+z:y\in Y\right\}. \end{equation*} Probaremos a continuación que \begin{equation} (Y+z)\cap Y\neq \emptyset \qquad \forall z\in (-\delta ,\delta ). \label{intertras} \end{equation} Argumentando por contradicción, supongamos que $(Y+z)\cap Y=\emptyset $ para algún $z\in (-\delta ,\delta )$. Entonces \begin{align*} 2\left\vert Y\right\vert &=\left\vert Y+z\right\vert +\left\vert Y\right\vert =\left\vert \left( Y+z\right) \cup Y\right\vert \\ &\leq \left\vert \left( I_{k_{0}}+z\right) \cup I_{k_{0}}\right\vert \leq \left\vert I_{k_{0}}\right\vert +\left\vert z\right\vert \leq \frac{3}{2}\left\vert I_{k_{0}}\right\vert , \end{align*} lo cual es imposible, ya que $\left\vert I_{k_{0}}\right\vert \menorque\frac{4}{3}\left\vert Y\right\vert $.

En consecuencia, se cumple (\ref{intertras}), es decir, para cada $z\in (-\delta ,\delta )$ existen $x,y\in Y$ tales que $x+z=y$. Esto concluye la demostración.

[Vitali] $\mathbb{R}$ contiene un subconjunto que no es medible.

Considera la relación de equivalencia en $\mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} x\sim y\text{ si y sólo si }x-y\in \mathbb{Q}\text{,} \end{equation*} y escoge un elemento en cada clase de equivalencia. Sea $X$ el conjunto de dichos elementos. Entonces $\mathbb{R=\cup }_{q\in \mathbb{Q}}(X+q)$. Si $X$ fuera medible, necesariamente $\left\vert X\right\vert >0$ pues, de lo contrario, $\mathbb{R}$ sería nulo (ver Ejercicio 14.51). De modo que, por el Lema 14.5, existiría $\delta >0$ tal que $(-\delta ,\delta )\subset \left\{x-y:x,y\in X\right\}$, lo cual es imposible ya que \begin{equation*} \left\{x-y:x,y\in X\right\}\subset (\mathbb{R\smallsetminus Q)}\cup \left\{0\right\}. \end{equation*} Así concluimos que $X$ no es medible.

De manera análoga se define el concepto de función medible: una función es medible si cuando restringimos su dominio a $\bar{B}^{n}(0,k)$ y proyectamos sus valores sobre el intervalo $[-k,k]$ la función resulta integrable.

Más precisamente: dada $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ consideramos, para cada $k\in \mathbb{N}$, la función $f_{[k]}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ definida como \begin{equation} f_{[k]}:=\min \left\{\max \left\{f,-k\right\},k\right\}1_{\bar{B}^{n}(0,k)},\label{fsubk} \end{equation} es decir, \begin{equation*} f_{[k]}(x):= \begin{cases} k & \text{si }\left\Vert x\right\Vert \leq k\quad\text{y}\quad f(x)\in [k,\infty ), \\ f(x) & \text{si }\left\Vert x\right\Vert \leq k\quad\text{y}\quad f(x)\in [-k,k], \\ -k & \text{si }\left\Vert x\right\Vert \leq k\quad\text{y}\quad f(x)\in (-\infty ,-k], \\ 0 & \text{si }\left\Vert x\right\Vert >k. \end{cases} \end{equation*}

Una función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es (Lebesgue-) medible si $f_{[k]}$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $k\in \mathbb{N}$.

Observa que, para cualquier subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ y cualquier $k\in \mathbb{N}$, \begin{equation} \left( 1_{X}\right)_{[k]}=1_{X\cap \bar{B}^{n}(0,k)}.\label{caracmed} \end{equation} En consecuencia, un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^{n}$ es medible si y sólo si $1_{X}$ es medible. El teorema de Vitali muestra pues que no todas las funciones son medibles. Pero muchas funciones sí lo son, por ejemplo las siguientes.

Toda función $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ es medible. En particular, toda función continua $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es medible.

Si $f\in \mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$ y $k\in \mathbb{N}$, entonces $f1_{\bar{B}^{n}(0,k)}$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ (ver Definición 13.33). En consecuencia, \begin{equation*} f_{[k]}=\min \left\{\max \left\{f1_{\bar{B}^{n}(0,k)},-k1_{\bar{B}^{n}(0,k)}\right\},k1_{\bar{B}^{n}(0,k)}\right\} \end{equation*} es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ (ver Ejercicio 12.61).

Probaremos ahora que las funciones medibles son precisamente aquéllas que son límites puntuales de funciones integrables.

Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$f$ es medible.
Existe una sucesión $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ de funciones integrables tales que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$.
Existe una sucesión $f_{j}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ de funciones medibles tales que $f_{j}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$.

(a)$\Rightarrow $(b): Si $f$ es medible, entonces $f_{[k]}$ es integrable y $f_{[k]}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$.

(b)$\Rightarrow $(c): Esta implicación es obvia, ya que toda función integrable es medible.

(c)$\Rightarrow $(a): Si $f_{j} $es medible y $f_{j}(x)\rightarrow f(x)$ entonces, para cada $k\in \mathbb{N}$, se tiene que $\left( f_{j}\right)_{[k]}$ es integrable y que $\lim_{j\rightarrow \infty }\left( f_{j}\right) _{[k]}(x)=f_{[k]}(x)$. Claramente, $|\left( f_{j}\right)_{[k]}|\leq k1_{\bar{B}^{n}(0,k)}$ para todo $j\in \mathbb{N}$. El teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) asegura entonces que $f_{[k]}$ es integrable. Esto prueba que $f$ es medible.

Concluimos lo siguiente.

Si $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cup \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f$ es medible.

Toda función $f\in \mathcal{S}_{\ast }(\mathbb{R}^{n})\cup \mathcal{S}^{\ast }(\mathbb{R}^{n})$ es, por definición, el límite puntual de una sucesión de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Así que, por la Proposición 14.9, $f$ es medible.

Si $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ son medibles y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda f+\mu g$ es medible.
Si $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ son medibles, entonces \begin{equation*} \left\vert f\right\vert ,\quad f^{+},\quad f^{-},\quad \max \left\{f,g\right\}\quad \text{y}\quad \min \left\{f,g\right\} \end{equation*} son funciones medibles.

(a): Por la Proposición 14.9 existen sucesiones de funciones integrables $f_{k},g_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ y $g_{k}(x)\rightarrow g(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$. Como $\lambda f_{k}+\mu g_{k}$ es integrable y $(\lambda f_{k}+\mu g_{k})(x)\rightarrow (\lambda f+\mu g)(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ la Proposición 14.9 asegura que $\lambda f+\mu g$ es medible.

(b) se demuesta de manera análoga.

El siguiente resultado caracteriza a las funciones medibles en términos de conjuntos medibles.

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es medible si y sólo si \begin{equation*} f^{\geq a}:=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}:f(x)\geq a\right\} \end{equation*} es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ para todo $a\in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow )$: Si $f$ es medible, la Proposición 14.11 asegura que la función $f_{k}:=\min \left\{ \max \left\{ k(f-a+\frac{1}{k}),0\right\} ,1\right\} $ es medible para cualesquiera $k\in \mathbb{N}$, $a\in \mathbb{R}$. Nota que $f_{k}(x)=0$ si $f(x)\leq a-\frac{1}{k}$ y que $f_{k}(x)=1$ si $f(x)\geq a$. En consecuencia, $f_{k}(x)\rightarrow 1_{f^{\geq a}}(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$. La Proposición 14.9 asegura entonces que la función $1_{f^{\geq a}}$ es medible, y de (\ref{caracmed}) se sigue que $f^{\geq a}$ es un conjunto medible.

$\Leftarrow )$: Inversamente, supongamos que $f^{\geq a}$ es medible para cualquier $a\in \mathbb{R}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ subdividimos el intervalo $[-k,k]$ en intervalos de longitud $\frac{1}{2^{k}}$ y denotamos a los puntos de la partición por $a_{k,j}:=-k+\frac{j}{2^{k}}$, $ j=0,\dots,k2^{k+1}$. De la Proposición 14.3 se sigue que los conjuntos \begin{align*} &X_{k,0}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\menorque a_{k,1}\right\}=\mathbb{R}^{n}\smallsetminus f^{\geq a_{k,1}}, \\ &X_{k,j}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:a_{k,j}\leq f(x)\menorque a_{k,j+1}\right\}=f^{\geq a_{k,j}}\smallsetminus f^{\geq a_{k,j+1}}, \\ &X_{k,k2^{k+1}}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:a_{k,k2^{k+1}}\leq f(x)\right\}=f^{\geq k}, \end{align*} son medibles, para todo $j=1,\ldots ,k2^{k+1}-1$. Por tanto, la función \begin{equation*} f_{k}:=\sum_{j=0}^{k2^{k+1}}a_{k,j}1_{X_{k,j}} \end{equation*} es medible.

Además, $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$. La Proposición 14.9 asegura entonces que $f$ es medible.

Recuerda que, en general, no es cierto que el producto de funciones integrables es integrable (ver Ejemplo 13.32). Pero sí es una función medible, como veremos a continuación.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es medible y $p\in (0,\infty )$, entonces $\left\vert f\right\vert^{p}$ es medible.
Si $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ son medibles, entonces $fg$ es medible.

(a): Por Proposición 14.11 sabemos que $\left\vert f\right\vert $ es medible. Entonces, la Proposición 14.12 asegura que \begin{equation*} \left( \left\vert f\right\vert^{p}\right)^{\geq a}= \begin{cases} \left\vert f\right\vert^{\geq a^{1/p}} & \text{si $a\in (0,\infty )$,} \\ \mathbb{R}^{n} & \text{si $a\in (-\infty ,0]$,} \end{cases} \end{equation*} es un conjunto medible para todo $a\in \mathbb{R}$ y, en consecuencia, $\left\vert f\right\vert^{p}$ es una función medible.

(b): Como \begin{equation*} fg=\frac{1}{2}\left[ (f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}\right] , \end{equation*} la afirmación (a) con $p=2$ y la Proposición 14.11 implican que $fg$ es medible.

Si modificamos los valores de una función medible sobre un conjunto nulo, ésta continúa siendo medible.

Sean $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$. Si $f$ es medible y $f(x)=g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, entonces $g$ es medible.

Si $f$ es medible y $f(x)=g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, entonces $f_{[k]}$ es integrable y $f_{[k]}(x)=g_{[k]}(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ para todo $k\in \mathbb{N}$. En consecuencia, $g_{[k]}$ es integrable (ver Proposición 13.10). Esto prueba que $g$ es medible.

El siguiente criterio de integrabilidad jugará un papel muy importante en la siguiente sección.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es medible y existe una función integrable $g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ tal que $\left\vert f(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$, entonces $f$ es integrable.

Si $f$ es medible, entonces $f_{[k]}$ es integrable para todo $k\in \mathbb{N}$. Como $f_{[k]}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\left\vert f_{[k]}(x)\right\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert \leq g(x)$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$ y todo $k\in \mathbb{N}$, el teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) asegura que $f$ es integrable.

Recuerda que, si $f$ es integrable, entonces $\left\vert f\right\vert $ lo es (ver Proposición 12.32). Del teorema anterior se obtiene inmediatamente el recíproco para funciones medibles.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es medible y $\left\vert f\right\vert $ es integrable, entonces $f$ es integrable.

Tonelli demostró que para funciones medibles vale el recíproco del teorema de Fubini.

Leonida Tonelli

Leonida Tonelli (1885-1946) nació en Gallipoli, Puglia, Italia. Estudió en la Universidad de Bologna donde fue alumno de Cesare Arzelà. Fue profesor en las universidades de Parma, Bologna y Pisa.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función, $1\leq m\menorque n$ y $y\in \mathbb{R}^{n-m}$, denotaremos como antes por $f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}$ a la función \begin{equation*} f^{y}(x):=f(x,y). \end{equation*}

[Tonelli] Sean $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ una función medible y $1\leq m\menorque n$. Si $\left\vert f\right\vert^{y}$ es integrable en $\mathbb{R}^{m}$ p.c.t. $y\in \mathbb{R}^{n-m}$ y la función $F\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ definida como \begin{equation*} F(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}\left\vert f\right\vert^{y}\qquad \text{p.c.t. }y\in \mathbb{R}^{n-m} \end{equation*} es integrable en $\mathbb{R}^{n-m}$, entonces $f$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$.

Si $f$ es medible entonces la función $g_{k}:=\left\vert f\right\vert_{[k]}$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y el teorema de Fubini (Teorema 13.17) asegura que $g_{k}^{y}$ es integrable en $\mathbb{R}^{m}$ p.c.t. $y\in \mathbb{R}^{n-m}$, que la función $G_{k}\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} G_{k}(y):=\int_{\mathbb{R}^{m}}g_{k}^{y}\qquad \text{p.c.t. }y\in \mathbb{R}^{n-m} \end{equation*} es integrable en $\mathbb{R}^{n-m}$ y que se cumple \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}G_{k}. \end{equation*} Nota que $g_{k}\leq \left\vert f\right\vert $. En consecuencia, $g_{k}^{y}\leq \left\vert f\right\vert^{y}$, $ G_{k}\leq F$ c.d. en $\mathbb{R}^{n-m}$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}g_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n-m}}G_{k}\leq \int_{\mathbb{R}^{n-m}}F\menorque\infty \qquad \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Como $g_{k}\leq g_{k+1}$ y $\sup_{k\in \mathbb{N}}g_{k}=\left\vert f\right\vert $, el teorema de convergencia monótona (Teorema 13.20) asegura que $\left\vert f\right\vert $ es integrable, y el Corolario 14.16 asegura que $f$ es integrable.

Los espacios $L^{p}(\Omega )$

Sea $\Omega $ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$. Como hemos convenido, identificaremos a una función $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ con su extensión trivial a todo $\mathbb{R}^{n}$ (ver Notación 12.44). Diremos entonces que $f$ es medible si su extensión trivial lo es. En el conjunto \begin{equation*} \mathfrak{M}(\Omega ):=\left\{f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es medible}\right\} \end{equation*} consideramos la relación de equivalencia dada por \begin{equation} f\sim g\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=g(x)\text{ p.c.t. }x\in \mathbb{R}^{n}.\label{relequi} \end{equation} Al conjunto de clases de equivalencia lo denotamos por \begin{equation} M(\Omega ):=\mathfrak{M}(\Omega )/\sim .\label{med} \end{equation}

Observa que, si $f_{i}=g_{i}$ c.d. en $\Omega $, $i=1,2$, entonces $\lambda f_{1}+\mu f_{2}=\lambda g_{1}+\mu g_{2}$ c.d. en $\Omega $ para cualesquiera $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. En consecuencia, la estructura de espacio vectorial de $\mathfrak{M}(\Omega )$ (ver Proposición 14.11) induce una estructura de espacio vectorial en $M(\Omega )$.

Denotaremos a la clase de equivalencia de $f$ simplemente por $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Si una función está definida c.d. en $\Omega $, la consideraremos definida en todo $\Omega $ dándole, por ejemplo, el valor $0$ en los puntos en los que no está definida.

Si $p\in [1,\infty )$ definimos \begin{equation*} L^{p}(\Omega ):=\left\{f\in M(\Omega ):\left\vert f\right\vert^{p}\text{ es integrable en }\Omega \right\}. \end{equation*} Para $f\in L^{p}(\Omega )$ denotamos por \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}=\left\Vert f\right\Vert _{p}:=\biggl( \int_{\Omega }\left\vert f\right\vert^{p}\biggr)^{1/p}. \end{equation*}

Nota que, si $f$ es medible y $\left\vert f\right\vert $ es integrable en $\Omega $, entonces $f$ es integrable en $\Omega $ (ver Corolario 14.16). Por tanto, $L^{1}(\Omega )$ es simplemente el conjunto de clases de equivalencia de funciones en $\mathfrak{L}(\Omega )$ bajo la relación (\ref{relequi}).

Definimos (\Omega )$} \begin{equation*} L^{\infty }(\Omega ):=\left\{f\in M(\Omega ):\text{ existe }c\in \mathbb{R}\text{ tal que }\left\vert f(x)\right\vert \leq c\quad\text{p.c.t. }x\in \Omega \right\}. \end{equation*} A una función $f\in L^{\infty }(\Omega )$ se le llama una función esencialmente acotada. Si $f\in L^{\infty }(\Omega )$ denotamos por \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{\infty }(\Omega )}=\left\Vert f\right\Vert _{\infty }:=\inf \left\{c\in \mathbb{R}:\text{ }\left\vert f(x)\right\vert \leq c\quad\text{p.c.t. }x\in \Omega \right\}. \end{equation*}

Nota que $\left\Vert f\right\Vert_{p}$ depende únicamente de la clase de equivalencia de $f$.

Observa también que, si $f\in L^{\infty }(\Omega )$, el conjunto \begin{equation*} Z_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\vert f(x)\right\vert >\left\Vert f\right\Vert_{\infty }+\tfrac{1}{k}\right\} \end{equation*} es nulo para todo $k\in \mathbb{N}$. En consecuencia, $\left\vert f(x)\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }$ para todo $x\in \Omega \smallsetminus \bigcup_{k=1}^{\infty }Z_{k}$, es decir, \begin{equation} \left\vert f(x)\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\qquad\text{p.c.t. }x\in \Omega .\label{supes} \end{equation}

A continuación probaremos que $(L^{p}(\Omega ),\left\Vert \cdot \right\Vert_{p})$ es un espacio normado (ver Definición 2.9). Empecemos observando lo siguiente.

Sean $p\in [1,\infty ]$ y $f\in L^{p}(\Omega )$. Entonces, $\left\Vert f\right\Vert_{p}=0$ si y sólo si $f(x)=0$ p.c.t. $x\in \Omega $.

Para $p=\infty $ esta afirmación es consecuencia inmediata de (\ref{supes}). Si $p\in [1,\infty )$, el Corolario 13.15 asegura que \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}=\int_{\Omega }\left\vert f\right\vert ^{p}=0\quad \Longleftrightarrow \quad \left\vert f(x)\right\vert^{p}=0\quad\text{p.c.t. }x\in \Omega , \end{equation*} de donde se sigue inmediatamente la afirmación.

Como los elementos de $L^{p}(\Omega )$ son clases de equivalencia bajo la relación (\ref{relequi}), el lema anterior afirma que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ cumple la propiedad (N1) de la definición de norma (ver Definición 2.9).

Como en el ejemplo que estudiamos en el Capítulo 2, la desigualdad del triángulo se obtiene a partir de la desigualdad de Hölder. Sólo que ahora su demostración es más delicada, ya que tenemos que cerciorarnos de que las funciones que estamos considerando son integrables. Es por ello que resulta importante considerar funciones medibles. Veamos los detalles.

[Desigualdad de Hölder]

Sean $p,q\in (1,\infty )$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^{p}(\Omega )$ y $g\in L^{q}(\Omega )$, entonces $fg\in L^{1}(\Omega )$ y \begin{equation*} \left\Vert fg\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}. \end{equation*}
Si $f\in L^{\infty }(\Omega )$ y $g\in L^{1}(\Omega )$, entonces $fg\in L^{1}(\Omega )$ y \begin{equation*} \left\Vert fg\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left\Vert g\right\Vert_{1}. \end{equation*}

Observa primero que, como $f$ y $g$ son medibles, la función $\left\vert fg\right\vert $ es medible (ver Proposiciones 14.11 y 14.13).

(a): Sean $p,q\in (1,\infty )$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $f\in L^{p}(\Omega )$ y $g\in L^{q}(\Omega )$. La afirmación es trivial si $f=0$ o si $g=0$. Supongamos pues que ambas funciones son distintas de cero. Por el Lema 14.20, se tiene entonces que $\left\Vert f\right\Vert _{p}\neq 0$ y $\left\Vert g\right\Vert_{q}\neq 0$. Para cada $x\in \Omega $ aplicamos la desigualdad de Young (ver Lema 2.11) a la pareja de números reales \begin{equation*} a_{x}:=\frac{\left\vert f(x)\right\vert }{\left\Vert f\right\Vert_{p}}\qquad\text{y}\qquad b_{x}:=\frac{\left\vert g(x)\right\vert }{\left\Vert g\right\Vert_{q}} \end{equation*} para obtener \begin{equation*} \frac{\left\vert f(x)g(x)\right\vert }{\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}}\leq \frac{\left\vert f(x)\right\vert^{p}}{p\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}}+\frac{\left\vert g(x)\right\vert^{q}}{q\left\Vert g\right\Vert_{q}^{q}}, \end{equation*} es decir, \begin{equation} \left\vert f(x)g(x)\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}\biggl( \frac{1}{p\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}}\left\vert f(x)\right\vert^{p}+\frac{1}{q\left\Vert g\right\Vert_{q}^{q}}\left\vert g(x)\right\vert^{q}\biggr) .\label{proddom} \end{equation} Como $f\in L^{p}(\Omega )$ y $g\in L^{q}(\Omega )$, el lado derecho de la desigualdad (\ref{proddom}) es integrable. El Teorema 14.15 implica entonces que $\left\vert fg\right\vert $ es integrable. En consecuencia, $fg\in L^{1}(\Omega )$.

Integrando la desigualdad (\ref{proddom}) obtenemos \begin{align*} \left\Vert fg\right\Vert_{1} &=\int_{\Omega }\left\vert fg\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}\biggl( \frac{1}{p\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}}\int_{\Omega }\left\vert f\right\vert^{p}+\frac{1}{q\left\Vert g\right\Vert_{q}^{q}}\int_{\Omega }\left\vert g\right\vert^{q}\biggr) \\ &=\left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q}\left( \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right) =\left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert _{q}, \end{align*} como afirma el enunciado.

(b): Si $f\in L^{\infty }(\Omega )$ y $g\in L^{1}(\Omega )$, entonces $\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left\vert g\right\vert $ es integrable. Usando la desigualdad (\ref{supes}) obtenemos que $\left\vert f(x)g(x)\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left\vert g(x)\right\vert $ p.c.t. $x\in \Omega $. El Teorema 14.15 implica entonces que $fg\in L^{1}(\Omega )$. Integrando la desigualdad anterior, obtenemos \begin{equation*} \left\Vert fg\right\Vert_{1}=\int_{\Omega }\left\vert fg\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\int_{\Omega }\left\vert g\right\vert =\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left\Vert g\right\Vert_{1}. \end{equation*} Esto concluye la demostración.

De aquí en adelante convendremos que $\frac{1}{\infty }:=0$. De este modo la identidad $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ tiene sentido para todo $p\in [1,\infty ]$.

Para probar la desigualdad del triángulo usaremos la siguiente desigualdad elemental.

Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$, $p\in (0,\infty )$, \begin{equation*} \left\vert a+b\right\vert^{p}\leq 2^{p}(\left\vert a\right\vert ^{p}+\left\vert b\right\vert^{p}). \end{equation*}

Se tiene que \begin{equation*} \left\vert a+b\right\vert^{p}\!\leq (\left\vert a\right\vert +\left\vert b\right\vert )^{p}\!\leq (2\max \left\{\left\vert a\right\vert ,\left\vert b\right\vert \right\})^{p}\!=\!2^{p}\max \left\{\left\vert a\right\vert^{p},\left\vert b\right\vert^{p}\right\}\leq 2^{p}(\left\vert a\right\vert^{p}+\left\vert b\right\vert^{p}), \end{equation*} como afirma el enunciado.

[Desigualdad de Minkowski] Sea $p\in [1,\infty ]$. Si $f,g\in L^{p}(\Omega )$, entonces $f+g\in L^{p}(\Omega )$ y se cumple que \begin{equation} \left\Vert f+g\right\Vert_{p}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}+\left\Vert g\right\Vert_{p}.\label{desmin} \end{equation}

Observa primero que, si $f$ y $g$ son medibles, entonces $\left\vert f+g\right\vert^{r}$ es medible para todo $r\in (0,\infty )$ (ver Proposiciones 14.11 y 14.13). Consideramos tres casos.

Caso 1:\quad $p=1$.

Si $f,g\in L^{1}(\Omega )$, como $\left\vert f+g\right\vert \leq \left\vert f\right\vert +\left\vert g\right\vert $, el Teorema 14.15 asegura que $f+g\in L^{1}(\Omega )$. Integrando ambos lados de la desigualdad obtenemos \begin{equation*} \left\Vert f+g\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}+\left\Vert g\right\Vert_{1}. \end{equation*}

Caso 2:\quad $p=\infty $.

Si $f,g\in L^{\infty }(\Omega )$, como $\left\vert f+g\right\vert \leq \left\vert f\right\vert +\left\vert g\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }+\left\Vert g\right\Vert_{\infty }$ c.d. en $\Omega $, se tiene que $f+g\in L^{\infty }(\Omega )$ y \begin{equation*} \left\Vert f+g\right\Vert_{\infty }\leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }+\left\Vert g\right\Vert_{\infty }. \end{equation*}

Caso 3:\quad $p\in (1,\infty )$.

Si $f,g\in L^{p}(\Omega )$, el Lema 14.23 asegura que $\left\vert f(x)+g(x)\right\vert^{p}\leq 2^{p}(\left\vert f(x)\right\vert^{p}+\left\vert g(x)\right\vert^{p})$ para toda $x\in \Omega $ y del Teorema 14.15 se sigue que $f+g\in L^{p}(\Omega )$.

Sea $q:=\frac{p}{p-1}$. Entonces $\left\vert f+g\right\vert ^{p-1}\in L^{q}(\Omega )$ y \begin{align*} \left\Vert \left\vert f+g\right\vert^{p-1}\right\Vert_{q} &=\left( \int_{\Omega }(\left\vert f+g\right\vert^{p-1})^{q}\right)^{1/q}\\ &=\left( \int_{\Omega }\left\vert f+g\right\vert^{p}\right)^{(p-1)/p}=\left\Vert f+g\right\Vert_{p}^{p-1}. \end{align*} Como \begin{equation*} \left\vert f+g\right\vert^{p}=\left\vert f+g\right\vert \left\vert f+g\right\vert^{p-1}\leq \left\vert f\right\vert \left\vert f+g\right\vert ^{p-1}+\left\vert g\right\vert \left\vert f+g\right\vert^{p-1}, \end{equation*} aplicando la desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) obtenemos \begin{align*} \left\Vert f+g\right\Vert_{p}^{p} &=\int_{\Omega }\left\vert f+g\right\vert^{p}\leq \int_{\Omega }\left\vert f\right\vert \left\vert f+g\right\vert^{p-1}+\int_{\Omega }\left\vert g\right\vert \left\vert f+g\right\vert^{p-1} \\ &\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert f+g\right\Vert _{p}^{p-1}+\left\Vert g\right\Vert_{p}\left\Vert f+g\right\Vert _{p}^{p-1}\\ &=(\left\Vert f\right\Vert_{p}+\left\Vert g\right\Vert _{p})\left\Vert f+g\right\Vert_{p}^{p-1}. \end{align*} Si $\left\Vert f+g\right\Vert_{p}=0$, la desigualdad (\ref{desmin}) se satisface trivialmente. Si $\left\Vert f+g\right\Vert_{p}\neq 0$, dividiendo la desigualdad anterior entre $\left\Vert f+g\right\Vert_{p}^{p-1}$ obtenemos la desigualdad (\ref{desmin}).

$L^{p}(\Omega )=(L^{p}(\Omega ),\left\Vert \cdot \right\Vert_{p})$ es un espacio normado para todo $p\in [1,\infty ]$.

El Lema 14.20 asegura que $\left\Vert f\right\Vert_{p}=0 $si y sólo si $f=0$ en $L^{p}(\Omega )$. Esta es la condición (N1) de la definición de norma (ver Definición 2.9).

Si $f$ es medible y $\lambda \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda f$ es medible (ver Proposición 14.11). Además, si $p\in [1,\infty )$, entonces $\left\vert \lambda f\right\vert ^{p}=\left\vert \lambda \right\vert^{p}\left\vert f\right\vert ^{p}$ es integrable si $\left\vert f\right\vert^{p}$ lo es. Para $p=\infty $ observa que $\left\vert \lambda f\right\vert \leq \left\vert \lambda \right\vert c$ c.d. en $\Omega $ si $\left\vert f\right\vert \leq c$ c.d. en $\Omega $. Por tanto, para cualquier $p\in [1,\infty ]$, $ \lambda f\in L^{p}(\Omega )$ y $\left\Vert \lambda f\right\Vert_{p}=\left\vert \lambda \right\vert \left\Vert f\right\Vert_{p}$.

Esta última afirmación, junto con la Proposición 14.24, asegura que $L^{p}(\Omega )$ es un espacio vectorial y que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{p}$ satisface las condiciones (N2) y (N3) de la Definición 2.9.

Probaremos a continuación que $L^{p}(\Omega )$ es un espacio de Banach. Para ello requerimos la siguiente generalización del Teorema 13.26.

[de convergencia dominada en $L^{p}$] Sean $p\in [1,\infty )$ y $(f_{k})$ una sucesión en $M(\Omega )$ tal que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \Omega $. Si existe $g\in L^{p}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq g(x)\quad\text{p.c.t. }x\in \Omega \qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{,} \end{equation*} entonces $f_{k},f\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{p}=0. \end{equation*}

Como cada $f_{k}$ es medible, las Proposiciones 14.14 y 14.9 implican que $f$ es medible. Más aún, como $\left\vert f_{k}\right\vert^{p}$ es medible y $\left\vert f_{k}(x)\right\vert^{p}\leq \left\vert g(x)\right\vert^{p}$ p.c.t. $x\in \Omega $, el Teorema 14.15 asegura que $\left\vert f_{k}\right\vert^{p}$ es integrable. Dado que $\left\vert f_{k}(x)\right\vert^{p}\rightarrow \left\vert f(x)\right\vert^{p}$ p.c.t. $x\in \Omega $, el teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) asegura que $\left\vert f\right\vert^{p}$ es integrable. En consecuencia, $f_{k},f\in L^{p}(\Omega )$, y de la Proposición 14.24 se sigue que $\left\vert f-f_{k}\right\vert^{p}$ es integrable. Usando el Lema 14.23 obtenemos que \begin{equation*} \left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert^{p}\leq 2^{p}(\left\vert f(x)\right\vert^{p}+\left\vert f_{k}(x)\right\vert^{p})\leq 2^{p}(\left\vert f(x)\right\vert^{p}+\left\vert g(x)\right\vert^{p})\quad\text{p.c.t. $x\in \Omega$.} \end{equation*} El teorema de convergencia dominada asegura entonces que $\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{p}=0$.

$L^{p}(\Omega )$ es un espacio de Banach para todo $p\in [1,\infty ]$.

Supongamos primero que $p\in [1,\infty )$. Sea $(f_{k})$ una sucesión de Cauchy en $L^{p}(\Omega )$. Escogemos $k_{1}\menorque\cdots \menorque k_{j}\menorque k_{j+1}\menorque\cdots $ tales que \begin{equation*} \left\Vert f_{i}-f_{k}\right\Vert_{p}\leq \frac{1}{2^{j}}\qquad\text{si } i,k\geq k_{j}. \end{equation*} Entonces, \begin{equation*} \sum_{j=1}^{\infty }\left\Vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\Vert _{p}\leq \sum_{j=1}^{\infty }\frac{1}{2^{j}}=1. \end{equation*} Definimos $f_{k_{0}}:=0$, \begin{equation*} g_{m}:=\sum_{j=0}^{m-1}\left\vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\vert \qquad\text{y}\qquad g:=\sum_{j=0}^{\infty }\left\vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\vert =\sup_{m\in \mathbb{N}}g_{m}. \end{equation*} La Proposición 14.24 asegura que $\left\Vert g_{m}\right\Vert_{p}\leq \sum_{j=0}^{m}\left\Vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\Vert_{p}$. En consecuencia, \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert g_{m}\right\vert^{p}=\left\Vert g_{m}\right\Vert _{p}^{p}\leq \Biggl( \sum_{j=0}^{m-1}\left\Vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\Vert_{p}\Biggr)^{p}\leq \Biggl( \sum_{j=0}^{\infty }\left\Vert f_{k_{j+1}}-f_{k_{j}}\right\Vert _{p}\Biggr)^{p}\menorque\infty \end{equation*} y, por el teorema de convergencia monótona (ver Teorema 13.20), la función $\left\vert g\right\vert ^{p}=\sup_{m\in \mathbb{N}}\left\vert g_{m}\right\vert^{p}$ es integrable. La Proposición 13.11 asegura entonces que existe un subconjunto nulo $Z$ de $\Omega $ tal que \begin{equation*} g(x):=\sum_{j=0}^{\infty }\left\vert f_{k_{j+1}}(x)-f_{k_{j}}(x)\right\vert \menorque\infty \qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus Z. \end{equation*} Esto implica que la serie \begin{equation*} \sum_{j=0}^{\infty }\left( f_{k_{j+1}}(x)-f_{k_{j}}(x)\right) \end{equation*} converge para cada $x\in \Omega \smallsetminus Z$. Definimos $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \sum_{j=0}^{\infty }\left( f_{k_{j+1}}(x)-f_{k_{j}}(x)\right) & \text{si $x\in \Omega \smallsetminus Z$,} \\ 0 & \text{si $x\in Z$.} \end{cases} \end{equation*} Dado que \begin{equation*} \sum_{j=0}^{m-1}\left( f_{k_{j+1}}(x)-f_{k_{j}}(x)\right) =f_{k_{m}}(x), \end{equation*} se tiene que \begin{equation*} f_{k_{m}}(x)\rightarrow f(x)\qquad\text{y}\qquad \left\vert f_{k_{m}}(x)\right\vert \leq g_{m}(x)\leq g(x)\qquad\text{p.c.t. }x\in \Omega . \end{equation*} Del Teorema 14.26, se sigue que $f\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \lim_{j\rightarrow \infty }\left\Vert f-f_{k_{j}}\right\Vert_{p}=0, \end{equation*} es decir, la subsucesión $(f_{k_{j}})$ converge a $f$ en $L^{p}(\Omega )$. Como $(f_{k})$ es de Cauchy, concluimos que $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$ (ver Ejercicio 5.30).

Consideremos ahora el caso $p=\infty $. Si $(f_{k})$ es una sucesión de Cauchy en $L^{\infty }(\Omega )$, entonces existe $k_{m}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert f_{i}-f_{k}\right\Vert_{\infty }\leq \frac{1}{m}\qquad \forall i,k\geq k_{m}. \end{equation*} Sea $Z_{i,k}$ un subconjunto nulo de $\Omega $ tal que \begin{equation*} \left\vert f_{i}(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f_{i}-f_{k}\right\Vert_{\infty }\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus Z_{i,k}. \end{equation*} Entonces, $Z:=\bigcup_{i,k=1}^{\infty }Z_{i,k}$ es nulo y, para cada $x\in \Omega \smallsetminus Z$, \begin{equation} \left\vert f_{i}(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq \frac{1}{m}\qquad \forall i,k\geq k_{m}.\label{baninf} \end{equation} Es decir, $(f_{k}(x))$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}$. En consecuencia, para cada $x\in \Omega \smallsetminus Z$, existe $f(x)\in \mathbb{R}$ tal que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ en $\mathbb{R}$. Extendemos $f $ como $f(x):=0$ si $x\in Z$. Las Proposiciones 14.14 y 14.9 aseguran que la función $f$ es medible. Fijando $k$ y haciendo tender $i$ a infinito en la desigualdad (\ref{baninf}), obtenemos que \begin{equation*} \left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq \frac{1}{m}\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus Z,\text{ }\forall k\geq k_{m}. \end{equation*} Por tanto, $f-f_{k}\in L^{\infty }(\Omega )$ y \begin{equation} \left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }\leq \frac{1}{m}\qquad \forall k\geq k_{m}.\label{baninf2} \end{equation} Como $f=(f-f_{k_{1}})+f_{k_{1}}$, concluimos que $f\in L^{\infty }(\Omega )$, y se sigue de (\ref{baninf2}) que $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{\infty }(\Omega )$.

Si $p\in [1,\infty )$ la convergencia de una sucesión de funciones en $L^{p}(\Omega )$ no implica que ésta converge puntualmente c.d. en $\Omega $. Sin embargo, repasando la demostración del Teorema 14.27, vemos que hemos probado lo siguiente.

Sea $(f_{k})$ una sucesión en $L^{p}(\Omega )$ tal que $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$.

Si $p\in [1,\infty )$, existen una subsucesión $(f_{k_{j}})$ de $(f_{k})$ y una función $g\in L^{p}(\Omega )$ tales que \begin{alignat*}{2} &f_{k_{j}}(x)\rightarrow f(x) && \text{p.c.t. $x\in \Omega$,} \\ &\left\vert f_{k_{j}}(x)\right\vert \leq g(x)&\quad& \text{p.c.t. $x\in \Omega ,\quad \forall j\in \mathbb{N}$.} \end{alignat*}
Si $p=\infty $, entonces $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \Omega $ y existe $c\in \mathbb{R}$ tal que $\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq c$ p.c.t. $x\in \Omega $ y para todo $k\in \mathbb{N}$.

(a): Supongamos primero que $p\in [1,\infty )$. Como $(f_{k}) $ es de Cauchy en $L^{p}(\Omega )$, siguiendo la demostración del Teorema 14.27 concluimos que existen una subsucesión $(f_{k_{j}})$ de $(f_{k})$ y funciones $\tilde{f},g\in L^{p}(\Omega )$ tales que \begin{equation*} f_{k_{j}}(x)\rightarrow \tilde{f}(x)\quad \text{p.c.t. }x\in \Omega \text{,\qquad }\left\vert f_{k_{j}}(x)\right\vert \leq g(x)\quad \text{p.c.t. }x\in \Omega ,\quad \forall j\in \mathbb{N}\text{,} \end{equation*} y $f_{k}\rightarrow \tilde{f}\quad $en $L^{p}(\Omega )$. Como $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$ se tiene que $f=\tilde{f}$.

(b): Supongamos ahora que $p=\infty $. Para cada $k\in \mathbb{N}$ existe un conjunto nulo $Z_{k}$ tal que \begin{equation*} \left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }\quad\text{y}\quad \left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus Z_{k}. \end{equation*} Tomando $Z:=\bigcup_{k=1}^{\infty }Z_{k}$ obtenemos que \begin{equation*} \left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }\quad\text{y}\quad \left\vert f(x)-f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }\qquad \forall x\in \Omega \smallsetminus Z,\text{ }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Como $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{\infty }(\Omega )$ concluimos que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \Omega \smallsetminus Z$. Además, $(f_{k})$ está acotada en $L^{\infty }(\Omega )$, por lo que $\left\vert f_{k}(x)\right\vert \leq \left\Vert f_{k}\right\Vert_{\infty }\leq c$ para cualesquiera $x\in \Omega \smallsetminus Z$ y $k\in \mathbb{N}$.

Veamos un ejemplo importante.

Sean $f(x):=\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }$ con $\gamma \in \mathbb{R}$, y $r>0$.

Si $p\in [1,\infty )$ entonces $f\in L^{p}(B^{n}(0,r))$ si y sólo si $p\gamma +n>0$ y, en ese caso, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(B^{n}(0,r))}=\left\vert \frac{n\omega_{n}}{n+p\gamma }\right\vert^{1/p}r^{(n/p)+\gamma }. \end{equation*}
$f\in L^{\infty }(B^{n}(0,r))$ si y sólo si $\gamma \geq 0$ y, en ese caso, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{\infty }(B^{n}(0,r))}=r^{\gamma }. \end{equation*}
Si $p\in [1,\infty )$ entonces $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r))$ si y sólo si $p\gamma +n\menorque 0$ y, en ese caso, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r))}=\left\vert \frac{n\omega_{n}}{n+p\gamma }\right\vert ^{1/p}r^{(n/p)+\gamma }. \end{equation*}
$f\in L^{\infty }(\mathbb{R}^{n}\smallsetminus B^{n}(0,r))$ si y sólo si $\gamma \leq 0$ y, en ese caso, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{\infty }(\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,r))}=r^{\gamma }. \end{equation*}

Es sencillo comprobar que $f$ es una función medible [Ejercicio 14.60]. Las afirmaciones (a) y (c) son consecuencia inmediata de la Proposición 13.31.

(b): Si $\gamma \geq 0$, entonces $f$ es continua en $\mathbb{R}^{n} $ y creciente en la dirección radial. Por tanto, $f\in L^{\infty }(B^{n}(0,r))$ y \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{\infty }(\bar{B}^{n}(0,r))}=r^{\gamma }. \end{equation*} Si $\gamma \menorque 0$ entonces, para cualquier $c>0$, se cumple que $\left\Vert x\right\Vert^{\gamma }\leq c$ si y sólo si $\left\Vert x\right\Vert \geq c^{1/\gamma }$. Como $B^{n}(0,c^{1/\gamma })\cap B^{n}(0,r)$ no es un conjunto nulo, concluimos que $f\notin L^{\infty }(B^{n}(0,r))$.

(d): Esta afirmación se demuestra de manera análoga.

Queremos ahora comparar a los espacios $L^{s}(\Omega )$ y $L^{p}(\Omega )$. Una consecuencia de la proposición anterior es la siguiente.

Si $1\leq p\menorque s\leq \infty $, entonces $L^{p}(\Omega ) $no está contenido en $L^{s}(\Omega )$ para ningún abierto $\Omega $.

Sea $\xi \in \Omega $. Escogemos $r>0$ tal que $B^{n}(\xi ,r)\subset \Omega $. Si $q\in (p,s)$, la Proposición 14.29 asegura que la función \begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \left\Vert x-\xi \right\Vert^{-n/q} & \text{si $x\in B^{n}(\xi ,r)$,} \\ 0 & \text{si $\xi \in \Omega \smallsetminus B^{n}(\xi ,r)$,} \end{cases} \end{equation*} satisface $f\in L^{p}(\Omega )$ y $f\notin L^{s}(\Omega )$.

La inclusión opuesta se tiene cuando la medida de $\Omega $ es finita.

Si $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $ y $1\leq p\menorque s\leq \infty $, entonces $L^{s}(\Omega )\subset L^{p}(\Omega )$ y esta inclusión es continua. Más aún, para todo $f\in L^{s}(\Omega )$, \begin{alignat*}{2} &\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left\vert \Omega \right\vert ^{(s-p)/sp}\left\Vert f\right\Vert_{s} &\quad& \text{si }s\in [1,\infty ), \\ &\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left\vert \Omega \right\vert ^{1/p}\left\Vert f\right\Vert_{\infty } && \text{si }s=\infty . \end{alignat*}

Nota que, si $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $, entonces $1_{\Omega }\in L^{q}(\Omega )$ para todo $q\in [1,\infty ]$ y \begin{equation*} \left\Vert 1_{\Omega }\right\Vert_{q}=\biggl( \int_{\Omega }1_{\Omega }\biggr)^{1/q}=\left\vert \Omega \right\vert^{1/q}. \end{equation*}

Si $1\leq p\menorque s\menorque\infty $ y $f\in L^{s}(\Omega )$, entonces $\left\vert f\right\vert^{p}\in L^{s/p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \left\Vert \left\vert f\right\vert^{p}\right\Vert_{s/p}=\left( \int_{\Omega }\left\vert f\right\vert^{s}\right)^{p/s}=\left\Vert f\right\Vert_{s}^{p}. \end{equation*} De la desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) se sigue que $\left\vert f\right\vert^{p}=1_{\Omega }\left\vert f\right\vert^{p}$ es integrable y que \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}=\int_{\Omega }1_{\Omega }\left\vert f\right\vert^{p}\leq \left\Vert 1_{\Omega }\right\Vert_{s/(s-p)}\left\Vert \left\vert f\right\vert^{p}\right\Vert_{s/p}=\left\vert \Omega \right\vert ^{(s-p)/s}\left\Vert f\right\Vert_{s}^{p}. \end{equation*} En consecuencia, $f\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation} \left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left\vert \Omega \right\vert ^{(s-p)/sp}\left\Vert f\right\Vert_{s}.\label{comLp1} \end{equation}

Si $1\leq p\menorque\infty $ y $f\in L^{\infty }(\Omega )$, entonces $\left\vert f\right\vert^{p}\leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }^{p}1_{\Omega }$ c.d. en $\Omega $. Como $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $, la función $\left\Vert f\right\Vert _{\infty }^{p}1_{\Omega }$ es integrable. Por tanto, $f\in L^{p}(\Omega )$ (ver Teorema 14.15). Integrando la desigualdad anterior obtenemos $\left\Vert f\right\Vert_{p}^{p}\leq \left\vert \Omega \right\vert \left\Vert f\right\Vert_{\infty }^{p}$, es decir, \begin{equation} \left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left\vert \Omega \right\vert ^{1/p}\left\Vert f\right\Vert_{\infty }.\label{comLp2} \end{equation}

Finalmente, si $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{s}(\Omega )$, como las desigualdades (\ref{comLp1}) y (\ref{comLp2}) aseguran la existencia de una constante $c$ tal que \begin{equation*} \left\Vert f_{k}-f\right\Vert_{p}\leq c\left\Vert f_{k}-f\right\Vert_{s}, \end{equation*} concluimos que $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$. Esto prueba que la inclusión $L^{s}(\Omega )\hookrightarrow L^{p}(\Omega )$ es continua.

Si $\left\vert \Omega \right\vert =\infty $ las afirmaciones de la Proposición 14.31 no son ciertas en general, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Si $\Omega :=\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \bar{B}^{n}(0,1)$, $1\leq p\menorque s\leq \infty $ y $f(x):=\left\Vert x\right\Vert^{-n/q}$ con $q\in (p,s)$, entonces $f\in L^{s}(\Omega )$ pero $f\notin L^{p}(\Omega )$ (ver Proposición 14.29).

Aproximación mediante funciones suaves

Para $k\in \mathbb{N}\cup \left\{\infty \right\}$ denotamos por \begin{equation} \mathcal{C}_{c}^{k}(\Omega ):=\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{k}(\Omega ),\label{Cksopcomp} \end{equation} al espacio de las funciones $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ con soporte compacto en $\Omega $. El objetivo de esta sección es probar que $\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ es denso en $L^{p}(\Omega )$ para todo $p\in [1,\infty )$. Empezaremos demostrando la siguiente afirmación.

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ es denso en $L^{p}(\Omega )$ para todo $p\in [1,\infty )$. Es decir, dadas $f\in L^{p}(\Omega )$ y $\varepsilon >0$, existe $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \left\Vert f-g\right\Vert_{p}\menorque\varepsilon . \end{equation*}

Sean $f\in L^{p}(\Omega )$ y $\varepsilon >0$. Las funciones \begin{equation*} f_{[k]}=\min \left\{\max \left\{-k,f\right\},k\right\}1_{\bar{B}^{n}(0,k)}, \end{equation*} definidas en (\ref{fsubk}), cumplen que $f_{[k]}(x)\rightarrow f(x)$ y que $\left\vert f_{[k]}(x)\right\vert \leq \left\vert f(x)\right\vert $ para todo $x\in \Omega $. Del Teorema 14.26 se sigue que $f_{[k]}\in L^{p}(\Omega )$ y \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert f-f_{[k]}\right\Vert_{p}=0. \end{equation*} Fijemos $k\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation} \left\Vert f-f_{[k]}\right\Vert_{p}\menorque\frac{\varepsilon }{2}.\label{apr1} \end{equation} Como $f_{[k]}$ es integrable, la Proposición 13.37 asegura que existe $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert f_{[k]}-\varphi \right\vert \menorque\frac{\varepsilon^{p}}{2^{p}(2k)^{p-1}}. \end{equation*} Sea $g:=\min \left\{\max \left\{-k,\varphi \right\},k\right\}$. Entonces $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y $\left\vert f_{[k]}-g\right\vert \leq 2k$. Además se cumple que$ \left\vert f_{[k]}-g\right\vert \leq \left\vert f_{[k]}-\varphi \right\vert $, ya que si $\left\vert \varphi (x)\right\vert >k$ entonces $\left\vert y-g(x)\right\vert \menorque\left\vert y-\varphi (x)\right\vert $ para todo $y\in [-k,k]$. Por tanto, \begin{equation*} \left\vert f_{[k]}-g\right\vert^{p} \leq \left\vert f_{[k]}-g\right\vert^{p-1}\left\vert f_{[k]}-\varphi\right\vert \leq (2k)^{p-1}\left\vert f_{[k]}-\varphi \right\vert . \end{equation*} Esta desigualdad implica que $\left\vert f_{[k]}-g\right\vert^{p}$ es integrable y que \begin{equation} \left\Vert f_{[k]}-g\right\Vert_{p}^{p}=\int_{\Omega }\left\vert f_{[k]}-g\right\vert^{p}\leq \left( 2k\right)^{p-1}\int_{\Omega }\left\vert f_{[k]}-\varphi \right\vert \menorque\frac{\varepsilon^{p}}{2^{p}}. \label{apr2} \end{equation} De las desigualdades (\ref{apr1}) y (\ref{apr2}) y la desigualdad de Minkowski se sigue que $\left\Vert f-g\right\Vert_{p}\menorque\varepsilon $.

$\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ no es denso en $L^{\infty }(\Omega )$.

Si $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$, entonces $\Omega \smallsetminus \sop(g)$ es abierto y no vacío. Por tanto, existen $x_{0}\in \Omega $ y $\delta >0$ tales que $g(x)=0$ para todo $x\in B^{n}(x_{0},\delta )$. En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert 1_{\Omega }-g\right\Vert_{\infty }\geq 1\qquad \forall g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega ). \end{equation*} Esto prueba que $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ no es denso en $L^{\infty }(\Omega )$.

Un subconjunto abierto $\omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ está compactamente contenido en $\Omega $ si su cerradura $\overline{\omega }$ es compacta y $\overline{\omega }\subset \Omega $. Escribimos $\omega \subset \subset \Omega $ para denotar que $\omega $ está compactamente contenido en $\Omega $. Definimos \begin{equation*} L_{\loc}^{1}(\Omega ):=\left\{f\in M(\Omega ):f1_{\omega }\text{es integrable para todo abierto }\omega \subset \subset \Omega \right\}. \end{equation*}

Nota que $L_{\loc}^{1}(\Omega )$ es el conjunto de clases de equivalencia de funciones en el espacio $\mathfrak{L}_{\loc}(\Omega )$, definido en (13.11), bajo la relación (\ref{relequi}).

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $g\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y $\sop(f)\subset B^{n}(0,r)$, entonces \begin{equation*} f(x-y)g(y)=f(x-y)g(y)1_{B^{n}(x,r)}(y)\qquad \forall x,y\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Como $g1_{B^{n}(x,r)}\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y la función $y\mapsto f(x-y)$ pertenece a $L^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$, la función $y\mapsto f(x-y)g(y)$ es integrable en $\mathbb{R}^{n}$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$ (ver Proposición 14.21). Esta observación nos permite definir la siguiente función.

Sean $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$. La convolución de $f$ y $g$ es la función $f\ast g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} (f\ast g)(x):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)dy. \end{equation*}

Veremos a continuación que $f\ast g$ hereda las propiedades de regularidad de $f$.

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f\ast g\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. En particular, $f\ast g$ es medible.

Sea $(x_{k})$ una sucesión en $\mathbb{R}^{n}$ tal que $x_{k}\rightarrow x$. Definimos $h_{k}(y):=f(x_{k}-y)g(y)$ y $h(y):=f(x-y)g(y)$. Puesto que $f$ es continua, se cumple que $h_{k}(y)\rightarrow h(y)$ para cada $y\in \mathbb{R}^{n}$. Elegimos $r>0$ tal que $\sop(f)\subset B^{n}(0,r)$ y $x_{k}\in B^{n}(0,r)$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Nota que, si $x_{k}-y\in $ $\sop(f)$, entonces $y\in B^{n}(0,2r)$. En consecuencia, $h_{k}=h_{k}1_{B^{n}(0,2r)}$ y \begin{equation*} \left\vert h_{k}(y)\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left\vert \left( g1_{B^{n}(0,2r)}\right) (y)\right\vert \qquad \forall y\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} Dado que $g1_{B^{n}(0,2r)}$ es integrable, el teorema de convergencia dominada (Teorema 13.26) asegura que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }(f\ast g)(x_{k})=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}h_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}h=(f\ast g)(x). \end{equation*} Esto demuestra que $f\ast g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es continua.

Nota que el soporte de $f\ast g$ no es necesariamente compacto. Por ejemplo, si $g=1_{\mathbb{R}^{n}}$ entonces $f\ast g$ es la función constante con valor $c:=\int_{\mathbb{R}^{n}}f$, cuyo soporte es $\mathbb{R}^{n}$ si $c\neq 0$.

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f\ast g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ y \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(f\ast g)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\ast g\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}

Fijemos $i\in \left\{1,\dots,n\right\}$, $ x\in \mathbb{R}^{n}$ y $\varepsilon >0$. Como $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, se tiene que $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ es uniformemente continua (ver Ejercicio 11.39). Por tanto, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation} \left\vert \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(y)-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(z)\right\vert \menorque\varepsilon \qquad\text{si } \left\Vert y-z\right\Vert \menorque\delta .\label{difcon1} \end{equation} Sea $r>0$ tal que $\sop\left( \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right) \subset B^{n}(0,r)$ y $x+te_{i}\in B^{n}(0,r)$ para todo $t\in [-\delta ,\delta ]$, donde $e_{i}$ es el $i$-ésimo vector de la base canónica de $\mathbb{R}^{n}$. Entonces \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x+te_{i}-y)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x+te_{i}-y)1_{B^{n}(0,2r)}(y)\qquad \forall t\in [-\delta ,\delta ],\text{ }y\in \mathbb{R}^{n}.\label{difcon2} \end{equation} Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio a la función $s\mapsto f(x+ste_{i}-y)$ para cada $t\in [-\delta ,\delta ]$ y cada $y\in \mathbb{R}^{n}$, concluimos que existe $s\in (0,1)$ tal que \begin{equation} f(x+te_{i}-y)-f(x-y)=t\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x+ste_{i}-y). \label{difcon3} \end{equation} De (\ref{difcon1}), (\ref{difcon2}) y (\ref{difcon3}) se sigue que \begin{align*} &\left\vert \frac{f(x+te_{i}-y)-f(x-y)}{t}-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x-y)\right\vert \left\vert g(y)\right\vert \\ &\qquad{}=\left\vert \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x+ste_{i}-y)-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x-y)\right\vert \left\vert \left( g1_{B^{n}(0,2r)}\right) (y)\right\vert \menorque\varepsilon \left\vert \left( g1_{B^{n}(0,2r)}\right) (y)\right\vert \end{align*} para cualesquiera $0\menorque\left\vert t\right\vert \menorque\delta $, $y\in \mathbb{R}^{n}$. En consecuencia, \begin{align*} &\left\vert \frac{(f\ast g)(x+te_{i})-(f\ast g)(x)}{t}-\left( \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\ast g\right) (x)\right\vert \\ &\qquad{}=\left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \frac{f(x+te_{i}-y)-f(x-y)}{t}-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x-y)\right) g(y)dy\right\vert \\ &\qquad{}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \frac{f(x+te_{i}-y)-f(x-y)}{t}-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x-y)\right\vert \left\vert g(y)\right\vert dy \\ &\qquad{}\menorque\varepsilon \int_{B^{n}(0,2r)}\left\vert g\right\vert . \end{align*} para todo $0\menorque\left\vert t\right\vert \menorque\delta $. Esto prueba que \begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{(f\ast g)(x+te_{i})-(f\ast g)(x)}{t}=\left( \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\ast g\right) (x), \end{equation*} es decir, que existe la derivada parcial de $f\ast g$ respecto a $x_{i}$ en $x$ y que \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial x_{i}}(f\ast g)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\ast g. \end{equation*} Por la proposición anterior, $\frac{\partial }{\partial x_{i}}(f\ast g)$ es continua.

Sea $k\in \mathbb{N}\cup \left\{\infty \right\}$. Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{k}(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f\ast g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es de clase $\mathcal{C}^{k}$.

Para cada $k\in \mathbb{N}$, la afirmación se obtiene inductivamente aplicando la proposición anterior a las derivadas parciales de orden $k-1 $ de $f$.

Observa que \begin{equation*} L^{p}(\Omega )\subset L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})\qquad \forall p\in [1,\infty ]. \end{equation*} En efecto: si $g\in L^{p}(\Omega )$, entonces $g1_{\omega }\in L^{p}(\omega ) $ para todo subconjunto abierto y acotado $\omega $ de $\mathbb{R}^{n}$ y la Proposición 14.31 asegura que $g1_{\omega }\in L^{1}(\omega ). $

Ahora veremos que $f\ast g$ hereda también las propiedades de integrabilidad de $g$.

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $g\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ con $p\in [1,\infty ]$, entonces $f\ast g\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \left\Vert f\ast g\right\Vert_{p}\leq \left\Vert f\right\Vert _{1}\left\Vert g\right\Vert_{p}. \end{equation*}

Consideramos tres casos.

Caso 1: $p=\infty $.

En este caso la afirmación es evidente.

Caso 2: $p=1$.

La función $h\colon \mathbb{R}^{2n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x,y):=\left\vert f(x-y)g(y)\right\vert $ es medible ya que es el producto de la función continua $(x,y)\mapsto \left\vert f(x-y)\right\vert $ con la función $1\odot \left\vert g\right\vert \in L_{\loc}^{1}(\mathbb{R}^{2n})$ (ver Ejercicio 13.72) y ambas son funciones medibles (ver Ejemplo 14.8 y Proposición 14.13). Para cada $y\in \mathbb{R}^{n}$, $h$ es integrable respecto a $x$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}h(x,y)dx=\left\vert g(y)\right\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x-y)\right\vert dx=\left\Vert f\right\Vert_{1}\left\vert g(y)\right\vert \qquad \forall y\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Más aún, $\left\Vert f\right\Vert_{1}\left\vert g\right\vert \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}h(x,y)dx\,dy=\left\Vert f\right\Vert_{1}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert g(y)\right\vert dy=\left\Vert f\right\Vert_{1}\left\Vert g\right\Vert_{1}.\label{ton} \end{equation} El teorema de Tonelli (Teorema 14.17) asegura entonces que $h$ es integrable en $\mathbb{R}^{2n}$. Observa que \begin{equation*} \left\vert \left( f\ast g\right) (x)\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x-y)g(y)\right\vert dy=\int_{\mathbb{R}^{n}}h(x,y)dy. \end{equation*} Como $h$ es integrable en $\mathbb{R}^{2n}$, el teorema de Fubini (13.17) garantiza que el lado derecho de esta desigualdad es integrable respecto a $x$ y, dado que $f\ast g$ es medible (ver Proposición 14.37), ello implica que $f\ast g$ es integrable (ver Teorema 14.15). Más aún, usando (\ref{ton}) obtenemos que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \left( f\ast g\right) (x)\right\vert dx &\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}h(x,y)dy\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}h(x,y)dx\,dy=\left\Vert f\right\Vert_{1}\left\Vert g\right\Vert_{1}. \end{align*} En consecuencia, $f\ast g\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y $\left\Vert f\ast g\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}\left\Vert g\right\Vert_{1}$, como afirma el enunciado.

Caso 3: $p\in (1,\infty )$.

Sea $q:=\frac{p}{p-1}$. De la desigualdad de Hölder (ver Proposición 14.21) se sigue que \begin{align*} \left\vert (f\ast g)(x)\right\vert &\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x-y)\right\vert \left\vert g(y)\right\vert dy\\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x-y)\right\vert^{1/q}\left\vert f(x-y)\right\vert ^{1/p}\left\vert g(y)\right\vert dy \\ &\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}^{1/q}\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x-y)\right\vert \left\vert g(y)\right\vert^{p}dy\biggr) ^{1/p} \\ &=\left\Vert f\right\Vert_{1}^{1/q}\left[ \left( \left\vert f\right\vert \ast \left\vert g\right\vert^{p}\right) (x)\right]^{1/p}\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}. \end{align*} Por tanto, \begin{equation*} \left\vert (f\ast g)(x)\right\vert^{p}\leq \left\Vert f\right\Vert _{1}^{p/q}\left( \left\vert f\right\vert \ast \left\vert g\right\vert ^{p}\right) (x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Aplicando el caso $p=1$ a las funciones $\left\vert f\right\vert $ y $\left\vert g\right\vert^{p}$ y el Teorema 14.15 concluimos que $f\ast g\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert (f\ast g)(x)\right\vert^{p}dx\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}^{p/q}\int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \left\vert f\right\vert \ast \left\vert g\right\vert^{p}\right) (x)dx\leq \left\Vert f\right\Vert_{1}^{p/q}\left\Vert f\right\Vert_{1}\left\Vert g\right\Vert _{p}^{p}, \end{equation*}

es decir, \begin{equation*} \left\Vert f\ast g\right\Vert_{p}\leq \left\Vert f\right\Vert _{1}\left\Vert g\right\Vert_{p}, \end{equation*} como afirma el enunciado.

Usaremos la convolución para aproximar a una función $f\in L^{p}(\Omega )$ mediante funciones suaves. Empezaremos eligiendo funciones $\rho_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ cuyo soporte se hace cada vez más pequeño conforme $k$ crece.

Una sucesión de funciones $(\rho_{k})$ se llama una sucesión regularizante si, para todo $k\in \mathbb{N}$, se cumple que \begin{equation*} \rho_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n}),\qquad \rho_{k}\geq 0,\qquad \sop(\rho_{k})\subset \bar{B}^{n}(0,1/k),\qquad \int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}=1. \end{equation*}

Sea \begin{equation*} \rho (x):= \begin{cases} \exp \left( \frac{1}{\left\Vert x\right\Vert^{2}-1}\right) & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \menorque 1$,} \\ 0 & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \geq 1$,} \end{cases} \end{equation*} y sea $c:=\bigl( \int_{\mathbb{R}^{n}}\rho \bigr)^{-1}$. Definimos \begin{equation*} \rho_{k}(x):=ck^{n}\rho (kx). \end{equation*} Es sencillo comprobar que $(\rho_{k})$ es una sucesión regularizante [Ejercicio 14.76]. Se le llama la sucesión regularizante estándar.

Si $f\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ y $(\rho_{k})$ es una sucesión regularizante, entonces \begin{equation*} \sop(\rho_{k}\ast f)\subset \left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,\Omega )\leq \tfrac{1}{k}\right\} , \end{equation*} pero $\sop(\rho_{k}\ast f)$ no está necesariamente contenido en $\Omega$. Por ejemplo, si $f=1_{\Omega }$ y $(\rho_{k})$ es la sucesión regularizante estándar, entonces \begin{equation*} (\rho_{k}\ast 1_{\Omega })(x)=\int_{\Omega }\rho_{k}(x-y)dy\, \begin{cases} >0 & \text{si dist}(x,\Omega )\menorque\frac{1}{k}, =0 & \text{si dist}(x,\Omega )\geq \frac{1}{k}. \end{cases} \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \sop(\rho_{k}\ast 1_{\Omega })=\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,\Omega )\leq \tfrac{1}{k}\right\} . \end{equation*} Nota sin embargo que, si $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$, entonces $\sop(\rho_{k}\ast g)\subset \Omega $ para $k$ suficientemente grande. Más aún, se cumple lo siguiente.

Dadas $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y una sucesión regularizante $(\rho_{k})$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\rho_{k}\ast g\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ para todo $k\geq k_{0}$ y \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert g-\left( \rho_{k}\ast g\right) \right\Vert_{p}=0\qquad \forall p\in [1,\infty ]. \end{equation*}

Escogemos un abierto $\omega $ tal que $\sop(g)\subset \omega \subset \subset \Omega $. Como \begin{equation*} \sop(\rho_{k}\ast g)\subset \left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,\sop(g))\leq \tfrac{1}{k}\right\} , \end{equation*} existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\sop(\rho_{k}\ast g)\subset \omega $ para todo $k\geq k_{0}$, y del Corolario 14.39 se sigue que $\rho_{k}\ast g\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ para todo $k\geq k_{0}$.

Sean $\varepsilon >0$ y $p\in [1,\infty )$. Como $g$ es uniformemente continua, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\vert g(x-y)-g(x)\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{\left\vert \omega \right\vert^{1/p}}\qquad \forall x,y\in \mathbb{R}^{n}\text{ con }\left\Vert y\right\Vert \menorque\delta . \end{equation*} Para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$, haciendo el cambio de variable $z:=x-y$ obtenemos \begin{align*} (\rho_{k}\ast g)(x)-g(x) &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho _{k}(x-y)g(y)dy-g(x)\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}(y)dy \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}(z)g(x-z)dz-\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho _{k}(y)g(x)dy \\ &=\int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho_{k}(y)\left( g(x-y)-g(x)\right) dy. \end{align*} Por tanto, si $k\geq \frac{1}{\delta }$ se tiene que \begin{equation} \left\vert (\rho_{k}\ast g)(x)-g(x)\right\vert \leq \int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho_{k}(y)\left\vert g(x-y)-g(x)\right\vert dy\menorque\frac{\varepsilon }{\left\vert \omega \right\vert^{1/p}}\qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n},\label{convinf} \end{equation} y para $k\geq \max \left\{k_{0},\frac{1}{\delta }\right\}=:k_{1}$ se cumple que \begin{equation} \int_{\Omega }\left\vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\vert ^{p}=\int_{\omega }\left\vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\vert ^{p}\menorque\frac{\varepsilon^{p}}{\left\vert \omega \right\vert }\left\vert \omega \right\vert =\varepsilon^{p}.\label{convp} \end{equation} De las desigualdades (\ref{convinf}) y (\ref{convp}) se obtienen respectivamente las desigualdades \begin{equation*} \left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\Vert_{\infty }\menorque\frac{\varepsilon }{\left\vert \omega \right\vert^{1/p}}\qquad\text{y}\qquad \left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\Vert_{p}\menorque\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{1}. \end{equation*} Esto demuestra la afirmación.

$\mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ es denso en $L^{p}(\Omega )$ para todo $p\in [1,\infty )$.

Sean $p\in [1,\infty )$, $f\in L^{p}(\Omega )$ y $\varepsilon >0$. Por la Proposición 14.33 existe $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que $\left\Vert f-g\right\Vert _{p}\menorque\frac{\varepsilon }{2}$. Si $(\rho_{k})$ es una sucesión regularizante, el Lema 14.43 asegura que existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $\rho_{k}\ast g\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ y $\left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\Vert_{p}\menorque\frac{\varepsilon }{2}$. Por tanto, $\left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -f\right\Vert_{p}\menorque\varepsilon $.

Si $\Omega =\mathbb{R}^{n}$ se tiene un resultado más preciso.

Si $p\in [1,\infty )$ entonces, para toda $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ y toda sucesión regularizante $(\rho_{k})$, se cumple que \begin{equation*} \rho_{k}\ast f\rightarrow f\qquad\text{en }L^{p}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*}

Sea $\varepsilon >0$. Por la Proposición 14.33 existe $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\left\Vert f-g\right\Vert_{p}\menorque\frac{\varepsilon }{3}$, y por el Lema 14.43 existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\Vert_{p}\menorque\frac{\varepsilon }{3}$ para todo $k\geq k_{0}$. La Proposición 14.40 asegura entonces que \begin{equation*} \left\Vert \left( \rho_{k}\ast f\right) -\left( \rho_{k}\ast g\right) \right\Vert_{p}=\left\Vert \rho_{k}\ast \left( f-g\right) \right\Vert _{p}\leq \left\Vert \rho_{k}\right\Vert_{1}\left\Vert f-g\right\Vert _{p}=\left\Vert f-g\right\Vert_{p}\menorque\frac{\varepsilon }{3}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert \left( \rho_{k}\ast f\right) -f\right\Vert_{p}\leq \left\Vert \left( \rho_{k}\ast f\right) -\left( \rho_{k}\ast g\right) \right\Vert _{p}+\left\Vert \left( \rho_{k}\ast g\right) -g\right\Vert_{p}+\left\Vert g-f\right\Vert_{p}\menorque\varepsilon \end{equation*} para todo $k\geq k_{0}$.

Un criterio de compacidad en $L^{p}(\Omega )$

Sea $p\in [1,\infty )$. A continuación daremos condiciones suficientes para que un subconjunto $\mathcal{K}$ de $L^{p}(\Omega )$ sea compacto.

El siguiente resultado se conoce como el teorema de Fréchet-Kolmogorov. Podemos pensar en él como la versión para espacios $L^{p}$ del teorema de Arzelà-Ascoli, que se usa, por cierto, en su demostración.

Como antes, dados $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, denotamos por $\mathrm{T}_{\xi }f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ a la traslación de $f$ por $\xi $, es decir, \begin{equation*} \mathrm{T}_{\xi }f(x):=f(x-\xi ). \end{equation*}

Andrey Kolmogorov

Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) nació en Tambov, Rusia. Estudió en la Universidad Estatal de Moscú, donde fue alumno de Nikolai Luzin. Fue profesor en dicha universidad.

[Fréchet-Kolmogorov] Sean $p\in [1,\infty )$, $\Omega $ y $\omega $ subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$ con $\omega \subset \subset \Omega $ y $\mathcal{K}$ un subconjunto acotado de $L^{p}(\Omega )$ con la siguiente propiedad: para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta \in (0,\,$dist$(\omega ,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega ))$ tal que \begin{equation} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }f-f\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\menorque\varepsilon \qquad \forall \xi \in \mathbb{R}^{n}\text{ con }\left\Vert \xi \right\Vert \menorque\delta \quad\text{y}\quad \forall f\in \mathcal{K}\text{.} \label{shift} \end{equation} Entonces el conjunto $\mathcal{K}_{\omega }:=\left\{f1_{\omega }:f\in \mathcal{K}\right\}$ es relativamente compacto en $L^{p}(\omega )$.

Sin perder generalidad podemos suponer que $\Omega $ es acotado. Entonces $\mathcal{K}$ es un subconjunto acotado de $L^{q}(\Omega )$ para todo $q\in [1,p]$. Demostraremos el resultado en tres pasos.

Afirmación 1: Sea $\rho \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$. Entonces el conjunto $\mathcal{K}_{\rho ,\omega }:=\left\{\left( \rho \ast f\right) 1_{\overline{\omega }}:f\in \mathcal{K}\right\}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(\overline{\omega })$.

En efecto: como $\mathcal{K}$ es un subconjunto acotado de $L^{1}(\Omega )$, existe $C_{0}>0$ tal que \begin{equation*} \left\vert (\rho \ast f)(x)\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \rho (x-y)\right\vert \left\vert f(y)\right\vert dy\leq \left\Vert \rho \right\Vert_{\infty }\left\Vert f\right\Vert_{1}\leq C_{0}\quad\text{$\forall x\in \mathbb{R}^{n}, \forall f\in \mathcal{K}$.} \end{equation*} Además, como $\rho $ es Lipschitz continua, existen $C_{1},C_{2}>0$ tales que para cualesquiera $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{K}$ se cumple que \begin{align*} \left\vert (\rho \ast f)(x_{1})-(\rho \ast f)(x_{2})\right\vert &\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert \rho (x_{1}-y)-\rho (x_{2}-y)\right\vert \left\vert f(y)\right\vert dy \\ &\leq C_{1}\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \left\Vert f\right\Vert _{1}\leq C_{2}\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert . \end{align*} En consecuencia, $\mathcal{K}_{\rho ,\omega }$ es un subconjunto acotado y equicontinuo de $\mathcal{C}^{0}(\overline{\omega })$. Como $\overline{\omega }$ es compacto, el teorema de Arzelà-Ascoli (ver Corolario 7.10) asegura que $\mathcal{K}_{\rho ,\omega }$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^{0}(\overline{\omega })$.

Afirmación 2: Dados $\varepsilon >0$ y una sucesión regularizante $(\rho _{k}),$ existe $k_{0}\in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \rho _{k}\ast f-f\right\Vert _{L^{p}(\omega )}\menorque\varepsilon \qquad \forall k\geq k_{0}\quad\text{y}\quad \forall f\in \mathcal{K}. \end{equation*}

En efecto: tomemos $\delta \in (0,\,$dist$(\omega ,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega ))$ tal que se cumple (\ref{shift}) y $k_{0}>\frac{ 1}{\delta }.$ Para cada $x\in \mathbb{R}^{n},$ haciendo el cambio de variable $z:=x-y$ y aplicando la desigualdad de Hölder obtenemos \begin{align*} \left\vert (\rho _{k}\ast f)(x)-f(x)\right\vert &=\left\vert \int_{\mathbb{R }^{n}}\rho _{k}(x-y)f(y)\,dy-f(x)\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho _{k}(z)\,dz\right\vert \\[4pt] &=\int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho _{k}(z)\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert dz \\[4pt] &=\int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho _{k}(z)^{\frac{p-1}{p}}(\rho _{k}(z)^{ \frac{1}{p}}\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert )\,dz \\[4pt] &\leq\biggl( \int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho _{k}(z)\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}dz\biggr) ^{\frac{1}{p}}. \end{align*} Por tanto, \begin{equation} \left\vert (\rho _{k}\ast f)(x)-f(x)\right\vert ^{p}\leq \int_{B^{n}(0,\frac{ 1}{k})}\rho _{k}(z)\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}dz.\label{fk1} \end{equation} A continuación usaremos los teoremas de Tonelli y Fubini (Teoremas \ref {teoton} y 13.17) para probar que el lado derecho de esta desigualdad es integrable respecto a $x$. Observa que la función $h(x,z):=\rho _{k}(z)\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}1_{\omega }(x)$ es medible en $ \mathbb{R}^{2n}.$ Además, es integrable respecto a $x$ y la integral está dada por \begin{equation*} H(z)=\rho _{k}(z)\int_{\omega }\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}dx=\rho _{k}(z)\left\Vert \mathrm{T}_{z}f-f\right\Vert _{L^{p}(\omega )}^{p}. \end{equation*} Como $H\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ [Ejercicio 14.77], el teorema de Tonelli asegura que $h$ es integrable en $\mathbb{R}^{2n}$ y, de la desigualdad (\ref{fk1}), el teorema de Fubini y la hipótesis (\ref{shift}) inferimos que, para todo $k\geq k_{0}$ y toda $f\in \mathcal{K}$, \begin{align*} \int_{\omega }\left\vert (\rho _{k}\ast f)(x)-f(x)\right\vert ^{p}dx &\leq\int_{\omega }\int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho _{k}(z)\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}dz\,dx \\[4pt] &=\int_{B^{n}(0,\frac{1}{k})}\rho _{k}(z)\int_{\omega }\left\vert f(x-z)-f(x)\right\vert ^{p}dx\,dz\menorque\varepsilon ^{p}. \end{align*} Afirmación 3: $\mathcal{K}_{\omega }$ es relativamente compacto en $L^{p}(\omega ).$ Por el Corolario 7.6 basta probar que $\mathcal{K}_{\omega }$ es totalmente acotado. Sea $\varepsilon >0.$ Elegimos una sucesión regularizante $(\rho _{k})$, fijamos $k_{0}\in \mathbb{N}$ como en la Afirmación 2 y denotamos por $\rho :=\rho _{k_{0}}.$ Como $\omega $ es acotado, la inclusión $\mathcal{C}^{0}(\overline{\omega })\hookrightarrow L^{p}(\omega )$ es continua. De la Afirmación 1 se sigue que $\mathcal{K}_{\rho ,\omega }$ es relativamente compacto en $L^{p}(\omega )$. Por tanto, existen $g_{1},\ldots ,g_{m}\in \mathcal{K}$ tales que \begin{equation*} \mathcal{K}_{\rho ,\omega }\subset B_{L^{p}(\omega )}(\left( \rho \ast g_{1}\right) 1_{\overline{\omega }},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{L^{p}(\omega )}(\left( \rho \ast g_{m}\right) 1_{\overline{\omega }},\varepsilon ). \end{equation*} Es decir, para cada $f\in \mathcal{K}$ existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $\left\Vert \rho \ast f-\rho \ast g_{i}\right\Vert _{L^{p}(\omega )}\menorque\varepsilon $. Usando la Afirmación 2 obtenemos \begin{align*} \left\Vert f-g_{i}\right\Vert_{L^{p}(\omega )} &\leq \left\Vert f-\rho \ast f\right\Vert_{L^{p}(\omega )}+\left\Vert \rho \ast f-\rho \ast g_{i}\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\\ &\qquad{}+\left\Vert \rho \ast g_{i}-g_{i}\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\menorque 3\varepsilon \text{.} \end{align*} En consecuencia, \begin{equation*} \mathcal{K}_{\omega }\subset B_{L^{p}(\omega )}(g_{1}1_{\omega },3\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{L^{p}(\omega )}(g_{m}1_{\omega },3\varepsilon ). \end{equation*} Esto prueba que $\mathcal{K}_{\omega }$ es totalmente acotado en $L^{p}(\omega )$.

Sean $p\in [1,\infty )$, $\Omega $ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ y $\mathcal{K}$ un subconjunto acotado de $L^{p}(\Omega )$, con las siguientes propiedades:

Para cada $\varepsilon >0$ y cada abierto $\omega \subset \subset \Omega $ existe $\delta \in (0,\,$dist$(\omega ,\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega ))$ tal que \begin{equation*} \left\Vert \mathrm{T}_{\xi }f-f\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\menorque\varepsilon \qquad \forall \xi \in \mathbb{R}^{n}\text{ con }\left\Vert \xi \right\Vert \menorque\delta \quad\text{y}\quad \forall f\in \mathcal{K}\text{.} \end{equation*}
Para cada $\varepsilon >0$ existe un abierto $\omega \subset \subset \Omega $ tal que \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\Omega \smallsetminus \omega )}\menorque\varepsilon \qquad \forall f\in \mathcal{K}\text{.} \end{equation*}

Entonces $\mathcal{K}$ es relativamente compacto en $L^{p}(\Omega )$.

Probaremos que $\mathcal{K}$ es totalmente acotado. Dado $\varepsilon >0$ escogemos un abierto $\omega \subset \subset \Omega $ tal que \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\Omega \smallsetminus \omega )}\menorque\tfrac{\varepsilon }{3}\qquad \forall f\in \mathcal{K}\text{.} \end{equation*} Por el Teorema 14.46, $\mathcal{K}_{\omega }:=\left\{f1_{\omega }:f\in \mathcal{K}\right\}$ es relativamente compacto en $L^{p}(\omega )$. De modo que existen $g_{1},\ldots ,g_{m}\in \mathcal{K}$ tales que \begin{equation*} \mathcal{K}_{\omega }\subset B_{L^{p}(\omega )}(g_{1}1_{\omega },\tfrac{\varepsilon }{3})\cup \cdots \cup B_{L^{p}(\omega )}(g_{m}1_{\omega },\tfrac{\varepsilon }{3}). \end{equation*} Es decir, para cada $f\in \mathcal{K}$ existe $i\in \left\{1,\dots,m\right\}$ tal que $\left\Vert f-g_{i}\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\menorque\frac{\varepsilon }{3}$. Por tanto, \begin{align*} \left\Vert f-g_i\right\Vert_{L^p(\Omega)} &\leq \left\Vert f-f1_\omega\right\Vert_{L^p(\Omega)} + \left\Vert f1_\omega-g_i1_\omega\right\Vert_{L^p(\Omega)} + \left\Vert g_i1_\omega-g_i\right\Vert_{L^p(\Omega)}\\ &=\left\Vert f\right\Vert_{L^p(\Omega\smallsetminus\omega)} +\left\Vert f-g_i\right\Vert_{L^p(\omega)} +\left\Vert g_i\right\Vert_{L^p(\Omega\smallsetminus\omega)} < \varepsilon . \end{align*} Esto prueba que \begin{equation*} \mathcal{K}\subset B_{L^{p}(\Omega )}(g_{1},\varepsilon )\cup \cdots \cup B_{L^{p}(\Omega )}(g_{m},\varepsilon ), \end{equation*} así que $\mathcal{K}$ es totalmente acotado. Por el Corolario 7.6, $\mathcal{K}$ es relativamente compacto en $L^{p}(\Omega )$.

Un criterio de nulidad

Concluimos este capítulo dando un criterio de nulidad para funciones en $L_{\loc}^{1}(\Omega )$ que usaremos más adelante. Requerimos el siguente lema.

Sean $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y $\delta >0$. Entonces existe $\zeta \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $0\leq \zeta (x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta (x)=1 $ para todo $x\in K$ y $\zeta (x)=0$ si dist$(x,K)\geq \delta $.

Sean \begin{equation*} X:=\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,K)\leq \tfrac{\delta }{3}\right\} ,\qquad Y:=\left\{ x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,K)\geq \tfrac{2\delta }{3}\right\} . \end{equation*} La función \begin{equation*} f(x):=\frac{\text{dist}(x,Y)}{\text{dist}(x,Y)+\text{dist}(x,X)} \end{equation*} está bien definida, es continua (ver Ejercicio 3.52) y satisface que $0\leq f(x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $ f(x)=1$ si $x\in X$ y $f(x)=0$ si $x\in Y$.

Tomemos $k\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{k}\menorque\frac{\delta }{3}$ y $\rho_{k}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\rho_{k}\geq 0, $ $\sop(\rho_{k})\subset B^{n}(0,\frac{1}{k})$ y $\int_{\mathbb{R}^{n}}\rho_{k}=1$. Es sencillo comprobar que la función $\zeta :=\rho_{k}\ast f\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tiene las propiedades deseadas.

Si $f\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ cumple que \begin{equation*} \int_{\Omega }f\varphi =0\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ), \end{equation*} entonces $f=0$ c.d. en $\Omega $.

Consideramos dos casos.

Caso 1: $f\in L^{1}(\Omega )$ y $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $.

Dada $\varepsilon >0$ escogemos $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ tal que $\left\Vert f-g\right\Vert_{1}\menorque\varepsilon $ (ver Proposición 14.33). Entonces, para toda $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$, \begin{equation*} \int_{\Omega }g\varphi =\int_{\Omega }g\varphi -\int_{\Omega }f\varphi \leq \int_{\Omega }\left\vert g-f\right\vert \left\vert \varphi \right\vert \leq \left\Vert f-g\right\Vert_{1}\left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }\menorque\varepsilon \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }. \end{equation*} Sean $K_{1}:=\left\{x\in \Omega :g(x)\geq \varepsilon \right\}$ y $K_{2}:=\left\{x\in \Omega :g(x)\leq -\varepsilon \right\}$. Como $g$ es continua, $K_{1}$ y $K_{2}$ son cerrados. Dado que $K_{1}\cup K_{2}\subset $ $\sop(g)$, se tiene que $K_{1}$ y $K_{2}$ son compactos. Por tanto, dist$(K_{1},K_{2})>0$. Sea $\delta >0$ tal que $\delta \leq $ dist$(K_{1},K_{2})$ y \begin{equation*} \left\{x\in \mathbb{R}^{n}:\text{ dist}(x,K_{1}\cup K_{2})\leq \delta \right\}\subset \Omega . \end{equation*} Por el Lema 14.48 existen $\zeta_{i}\in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\mathbb{R}^{n})$ tales que $0\leq \zeta_{i}(x)\leq 1$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\zeta_{i}(x)=1$ si $x\in K_{i}$ y $\zeta _{i}(x)=0$ si dist$(x,K_{i})\geq \delta $, $i=1,2$. Definimos $\varphi :=\zeta_{1}-\zeta_{2}$. Entonces $\varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega )$ y satisface \begin{equation*} -1\leq \varphi (x)\leq 1\text{ }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\qquad \varphi (x)=1\text{ }\forall x\in K_{1},\qquad \varphi (x)=-1\text{ }\forall x\in K_{2}. \end{equation*} Para esta función $\varphi $ y $K:=K_{1}\cup K_{2}$ se cumple que \begin{equation*} \int_{K}\left\vert g\right\vert =\int_{K}g\varphi =\int_{\Omega }g\varphi -\int_{\Omega \smallsetminus K}g\varphi \leq \varepsilon \left\Vert \varphi \right\Vert_{\infty }+\int_{\Omega \smallsetminus K}\left\vert g\varphi \right\vert \menorque\varepsilon +\int_{\Omega \smallsetminus K}\left\vert g\right\vert . \end{equation*} Dado que $\left\vert g(x)\right\vert \menorque\varepsilon $ para $x\in \Omega \smallsetminus K$, obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert g\right\vert =\int_{K}\left\vert g\right\vert +\int_{\Omega \smallsetminus K}\left\vert g\right\vert \menorque\varepsilon +2\int_{\Omega \smallsetminus K}\left\vert g\right\vert \leq \varepsilon +2\left\vert \Omega \right\vert \varepsilon . \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f-g\right\Vert_{1}+\left\Vert g\right\Vert_{1}\leq 2(1+\left\vert \Omega \right\vert )\varepsilon \qquad \forall \varepsilon >0. \end{equation*} Por tanto, $f=0$ c.d. en $\Omega $.

Caso 2: $f\in L_{\loc}^{1}(\Omega )$ y $\left\vert \Omega \right\vert $ arbitrario.

Sea \begin{equation*} \Omega_{k}:=\left\{x\in \Omega :\left\Vert x\right\Vert \menorque k, \text{ dist}(x,\partial \Omega )>\tfrac{1}{k}\right\}. \end{equation*} Como $\Omega_{k}$ es abierto y acotado y $f1_{\Omega_{k}}\in L^{1}(\Omega_{k})$, aplicando el Caso 1 concluimos que $f=0$ c.d. en $\Omega_{k}$. Por tanto, $f=0$ c.d. en $\Omega =\bigcup_{k=1}^{\infty }\Omega_{k}$.

Ejercicios

Si $\Omega $ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$, prueba que la medida $\left\vert \Omega \right\vert $ de la Definición 14.1 coincide con el volumen $\vol_{n}(\Omega )$ de la Definición 12.19.

Prueba que si $X$ es medible y $\left\vert X\right\vert =0$ entonces $X$ es un conjunto nulo.

Demuestra las siguientes afirmaciones.

Si $X$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ y $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ entonces $X+\xi :=\left\{x+\xi :x\in X\right\}$ es medible y $\left\vert X+\xi \right\vert =\left\vert X\right\vert $.
Si $X$ y $Y$ son subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$ y $Y\subset X$, entonces $\left\vert Y\right\vert \leq \left\vert X\right\vert . $
Si $X_{1}\subset \cdots \subset X_{k}\subset X_{k+1}\subset \cdots $ es una sucesión de subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}$ es medible y \begin{equation*} \Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}\Biggr\vert =\lim_{j\rightarrow \infty }\left\vert X_{j}\right\vert . \end{equation*}
Si $\left\{X_{j}:j\in \mathbb{N}\right\}$ es una familia numerable de subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}$ es medible y \begin{equation*} \Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}\Biggr\vert \leq \sum_{j=1}^{\infty }\left\vert X_{j}\right\vert . \end{equation*} Si además $X_{i}\cap X_{j}=\emptyset $ para $i\neq j$, entonces \begin{equation*} \Biggl\vert \bigcup_{j=1}^{\infty }X_{j}\Biggr\vert =\sum_{j=1}^{\infty }\left\vert X_{j}\right\vert . \end{equation*}
Si $X_{1}\supset \cdots \supset X_{k}\supset X_{k+1}\supset \cdots $ es una sucesión de subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^{n}$ y $\left\vert X_{1}\right\vert \menorque\infty $, entonces $\bigcap_{j=1}^{\infty }X_{j}$ es medible y \begin{equation*} \Biggl\vert \bigcap_{j=1}^{\infty }X_{j}\Biggr\vert =\lim_{j\rightarrow \infty }\left\vert X_{j}\right\vert . \end{equation*}

Prueba que, si $X$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{m}$ y $Y$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $X\times Y$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{m+n}$.

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y demuestra tu afirmación.

Toda función medible pertenece a $\mathfrak{L}_{\loc}(\mathbb{R}^{n})$.
Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es medible, entonces $f(x)\in \mathbb{R}$ p.c.t. $x\in \mathbb{R}^{n}$.

Prueba que, si $f_{k}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es una sucesión de funciones medibles, entonces las funciones \begin{equation*} \sup_{k\in \mathbb{N}}f_{k},\qquad \inf_{k\in \mathbb{N}}f_{k},\qquad \limsup_{k\rightarrow \infty }f_{k},\qquad \liminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}, \end{equation*} son medibles.

Prueba que son equivalentes las siguientes afirmaciones.

$f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\pm \infty \right\}$ es medible.
$f^{\geq a}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\geq a\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ para todo $a\in \mathbb{R}$.
$f^{\menorque a}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\menorque a\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ para todo $a\in \mathbb{R}$.
$f^{\leq a}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\leq a\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ para todo $a\in \mathbb{R}$.
$f^{>a}:=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)>a\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ para todo $a\in \mathbb{R}$.

Si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es medible, demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $U$ es abierto en $\mathbb{R}$, entonces $f^{-1}(U):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\in U\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$.
Si $C$ es cerrado en $\mathbb{R}$, entonces $f^{-1}(C):=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\in C\right\}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$.

Prueba que, si $f_{1},\dots,f_{m}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ son medibles y $\varphi \colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces la función $h\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} h(x):=\varphi (f_{1}(x),\dots,f_{m}(x)) \end{equation*} es medible.

Prueba que, si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es medible, entonces la función \begin{equation*} g(x):= \begin{cases} \frac{1}{f(x)} & \text{si }f(x)\neq 0, \\ 0 & \text{si }f(x)=0, \end{cases} \end{equation*} es medible.

Prueba que, para todo $\gamma \in \mathbb{R}$, la función $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \left\Vert x\right\Vert^{\gamma } & \text{si }x\neq 0, \\ 0 & \text{si }x=0, \end{cases} \end{equation*} es medible.

Prueba que, si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ es medible y $f\geq 0$, entonces \begin{equation*} \int^{\ast }f=\lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{[k]}. \end{equation*}

Prueba que, si $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ es medible, $f\geq 0$ y $1\leq m\menorque n$, entonces

la función $f^{y}\colon \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ es medible p.c.t. $y\in \mathbb{R}^{n-m}$,
la función $F\colon \mathbb{R}^{n-m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{\infty \right\}$ dada por \begin{equation*} F(y):=\int^{\ast }f^{y} \end{equation*} es medible y \begin{equation*} \int^{\ast }f=\int^{\ast }F. \end{equation*}

Para cada $n\in \mathbb{N}$ da un ejemplo de un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ que no sea medible.

[Teorema de Egorov] Sean $X$ un subconjunto medible de $\mathbb{R}^{n}$ tal que $\left\vert X\right\vert \menorque\infty $ y $f_{k},f\colon X\rightarrow \mathbb{R} $ funciones medibles tales que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in X$. Prueba que, para cada $\varepsilon >0$, existe un subconjunto medible $Y\subset X$ tal que

$\left\vert X\smallsetminus Y\right\vert \menorque\varepsilon $,
$(f_{k})$ converge a $f$ uniformemente en $Y$.

(Sugerencia: Considera los conjuntos \begin{equation*} Y_{m,k}:=\bigcup_{j=k}^{\infty }\left\{ x\in X:\left\vert f_{j}(x)-f(x)\right\vert \geq \frac{1}{2^{m}}\right\} . \end{equation*} Usando el Ejercicio 14.52 prueba que, para cada $m\in \mathbb{N}$, existe $k_{m}\in \mathbb{N}$ tal que $\left\vert Y_{m,k_{m}}\right\vert \menorque\frac{\varepsilon }{2^{m}}$. Demuestra que $Y:=X\smallsetminus \bigcup_{m=1}^{\infty }Y_{m,k_{m}}$ tiene las propiedades deseadas.)

Prueba que el espacio \begin{equation*} \mathcal{C}_{b}^{0}(\Omega ):=\left\{f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es continua y acotada}\right\} \end{equation*} está contenido en $L^{\infty }(\Omega )$ y que la norma inducida por $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$ coincide con la definida en (5.5), es decir, \begin{equation*} \inf \left\{c\in \mathbb{R}:\left\vert f(x)\right\vert \leq c\text{ p.c.t. }x\in \Omega \right\}=\sup_{x\in \Omega }\left\vert f(x)\right\vert \qquad \forall f\in \mathcal{C}_{b}^{0}(\Omega ). \end{equation*}

Sea $\omega $ un subconjunto abierto de $\Omega $ y $p\in [1,\infty ]$. Demuestra las siguientes afirmaciones:

Si $f\in L^{p}(\Omega )$, entonces $f1_{\omega }\in L^{p}(\omega ) $ y \begin{equation*} \left\Vert f1_{\omega }\right\Vert_{L^{p}(\omega )}\leq \left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}. \end{equation*}
Si $f\in L^{p}(\Omega )$ y $X$ es un subconjunto medible de $\Omega $ con $\left\vert X\right\vert \menorque\infty $, entonces $f1_{X}\in L^{r}(\Omega )$ para todo $r\in [1,p]$ y \begin{equation*} \left\Vert f1_{X}\right\Vert_{L^{r}(\Omega )}\leq \left\vert X\right\vert^{\frac{p-r}{rp}}\left\Vert f\right\Vert_{L^{p}(\Omega )}. \end{equation*}
Si $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$ y $\left\vert \omega \right\vert \menorque\infty $, entonces $f_{k}1_{\omega }\rightarrow f1_{\omega } $en $L^{r}(\omega )$ para todo $r\in [1,p]$.

[Desigualdad de interpolación] \label{interpolacion}Sean $1\leq p\menorque s\menorque r\leq \infty $. Prueba que, si $f\in L^{p}(\Omega )\cap L^{r}(\Omega )$, entonces $f\in L^{s}(\Omega )$ y se cumple que \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{s}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}^{1-\alpha }\left\Vert f\right\Vert_{r}^{\alpha }\text{,} \end{equation*} donde $\alpha \in (0,1)$ satisface que $\frac{1}{s}=\frac{1-\alpha }{p}+\frac{\alpha }{r}$ si $r\menorque\infty $ y $\alpha :=1-\frac{p}{s}$ si $r=\infty $.

[Desigualdad de Hölder generalizada] \label{holdergen}Sean $r,p_{1},\dots,p_{m}\in [1,\infty )$ tales que $\frac{1}{p_{1}}+\cdots +\frac{1}{p_{m}}=\frac{1}{r}$. Prueba que para cualesquiera $f_{j}\in L^{p_{j}}(\Omega )$, $1\leq j\leq m$, se cumple que $\prod_{j=1}^{m}f_{j}\in L^{r}(\Omega )$ y \begin{equation*} \left\Vert \prod_{j=1}^{m}f_{j}\right\Vert_{r}\leq \prod_{j=1}^{m}\left\Vert f_{j}\right\Vert_{p_{j}}. \end{equation*}

Prueba que,si $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $ y $f\in L^{\infty }(\Omega )$, entonces \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{\infty }=\lim_{p\rightarrow \infty }\left\vert \Omega \right\vert^{-1/p}\left\Vert f\right\Vert_{p}. \end{equation*}

Si $f=(f_{1},\dots,f_{m})$ y $f_{1},\dots,f_{m}\in L^{s}(\Omega )$ definimos \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{s}:=\left( \left\Vert f_{1}\right\Vert _{s}^{s}+\cdots +\left\Vert f_{m}\right\Vert_{s}^{s}\right)^{1/s}. \end{equation*} Prueba que, si $\left\vert \Omega \right\vert \menorque\infty $, $1\leq p\menorque s\leq \infty $ y $f_{1},\dots,f_{m}\in L^{s}(\Omega )$, entonces \begin{alignat*}{2} &\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left( m\left\vert \Omega \right\vert \right)^{(s-p)/sp}\left\Vert f\right\Vert_{s} &\qquad& \text{si $s\in [1,\infty )$,} \\ &\left\Vert f\right\Vert_{p}\leq \left( m\left\vert \Omega \right\vert \right)^{1/p}\left\Vert f\right\Vert_{\infty } && \text{si $s=\infty$.} \end{alignat*} (Sugerencia: Usa la Proposición 14.31 y el Ejercicio 2.42.)

Sea $f_{k}\colon (0,1)\rightarrow \mathbb{R}$ la función $f_{k}(x):=\sen^{k}(k\pi x)$.

Prueba que $f_{k}\in L^{p}(0,1)$ para todo $p\in [1,\infty ]$.
Prueba que $f_{k}\rightarrow 0$ en $L^{p}(0,1)$ para todo $p\in [1,\infty )$.
¿Converge la sucesión $(f_{k})$ en $L^{\infty }(0,1)$?

Sea $p\in [1,\infty ]$. ¿Es cierto que para toda sucesión $(f_{k})$ en $L^{p}(\Omega )$ tal que $\lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert f_{k}\right\Vert _{p}=\left\Vert f\right\Vert_{p}$ se cumple que $f_{k}\rightarrow f$ en $L^{p}(\Omega )$?

Sea $p\in \lbrack 1,\infty ).$ Prueba que, dada $\varepsilon >0,$ existe una constante $C>0,$ que depende sólo de $ \varepsilon $ y de $p,$ tal que \begin{equation*} \left\vert \left\vert a+b\right\vert ^{p}-|a|^{p}\right\vert \leqq \varepsilon \left\vert a\right\vert ^{p}+C\left\vert b\right\vert ^{p}\text{ \qquad }\forall a,b\in \mathbb{R}\text{.} \end{equation*}

[Lema de Brezis-Lieb] Sea $p\in \lbrack 1,\infty )$ y sea $(f_{k})$ una sucesión acotada en $ L^{p}(\Omega )$ tal que $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ p.c.t. $x\in \Omega .$ Prueba que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left( \left\vert f_{k}\right\vert _{p}^{p}-\left\vert f_{k}-f\right\vert _{p}^{p}\right) =\left\vert f\right\vert _{p}^{p}, \end{equation*} siguiendo los pasos que se indican a continuación:

Prueba que $f\in L^{p}(\Omega )$.
Dada $\varepsilon >0$ definimos \begin{equation*} g_{k}:=\left\vert \left\vert f_{k}\right\vert ^{p}-\left\vert f_{k}-f\right\vert ^{p}-\left\vert f\right\vert ^{p}\right\vert - \varepsilon\left\vert f_{k}-f\right\vert ^{p}. \end{equation*} Usando el Ejercicio 14.73 prueba que existe $C>0$ tal que \begin{equation*} g_{k}(x)\leq (C+1)|f(x)|^{p}\qquad \forall x\in \Omega \text{ y } \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*}
Sea $g_{k}^{+}:=\max \{g_{k},0\}.$ Prueba que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\Omega }g_{k}^{+}=0. \end{equation*}
Prueba que existe $\widetilde{C}>0$ tal que \begin{equation*} \int_{\Omega }\left\vert \left\vert f_{k}\right\vert ^{p}-\left\vert f_{k}-f\right\vert ^{p}-\left\vert f\right\vert ^{p}\right\vert \leqq \widetilde{C}\varepsilon +\int_{\Omega }g_{k}^{+}\qquad \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*}
Concluye que \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left( \left\vert f_{k}\right\vert _{p}^{p}-\left\vert f_{k}-f\right\vert _{p}^{p}-\left\vert f\right\vert _{p}^{p}\right) =0. \end{equation*}

Sean $p,q\in (1,\infty )$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Dado $g\in L^{q}(\Omega )$ definimos \begin{equation*} \eta_{g}\colon L^{p}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R},\qquad \eta _{g}(f):=\int_{\Omega }fg. \end{equation*}

Prueba que $\eta_{g}$ es lineal y continua.
Considera el espacio \begin{equation*} \mathcal{L}(L^{p}(\Omega ),\mathbb{R}):=\left\{f\colon L^{p}(\Omega )\rightarrow \mathbb{R}:f\text{ es lineal y continua}\right\} \end{equation*} con la norma definida en (9.1). Prueba que la función \begin{equation*} \Phi \colon L^{q}(\Omega )\rightarrow \mathcal{L}(L^{p}(\Omega ),\mathbb{R}),\qquad \Phi (g):=\eta_{g}, \end{equation*} es lineal, y que es una isometría, es decir, \begin{equation*} \left\Vert \eta_{g}\right\Vert_{\mathcal{L}(L^{p}(\Omega ),\mathbb{R})}=\left\Vert g\right\Vert_{q}\qquad \forall g\in L^{q}(\Omega ). \end{equation*} En particular, $\Phi $ es continua e inyectiva *.

Demuestra que la sucesión del Ejemplo 14.42 es una sucesión regularizante.

Prueba que, si $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ con $p\in \lbrack 1,\infty ),$ la función $F\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} F(z):=\left\Vert \mathrm{T}_{z}f-f\right\Vert _{p} \end{equation*} es continua, donde $\mathrm{T}_{z}f$ es la traslación de $f$ por $z.$

Demuestra los siguentes resultados a partir del Teorema 14.44 (sin usar la Proposición 14.49).

Si $f\in L^{2}(\Omega )$ satisface que \begin{equation*} \int_{\Omega }f\varphi =0\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ), \end{equation*} entonces $f=0$ c.d. en $\Omega $.
Si $f\in \mathcal{C}^{0}(\Omega )$ satisface \begin{equation*} \int_{\Omega }f\varphi =0\qquad \forall \varphi \in \mathcal{C}_{c}^{\infty }(\Omega ), \end{equation*} entonces $f=0$ en $\Omega $.

[Convolución de funciones integrables] Sean $f,g\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$.

Prueba que la función $ (x,y)\mapsto f(x-y)g(y)$ pertenece a $L^{1}(\mathbb{R}^{2n})$. (Sugerencia: Usa el Teorema 14.17.)
Prueba que existe un subconjunto nulo $Z$ de $\mathbb{R}^{n}$ tal que la función $y\mapsto f(x-y)g(y)$ es integrable para todo $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$. (Sugerencia: Aplica el Teorema 13.17.)
Definimos la convolución de $f$ y $g$ como \begin{equation*} (f\ast g)(x):= \begin{cases} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)dy & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus Z$,} \\ 0 & \text{si $x\in Z$.} \end{cases} \end{equation*} Prueba que $f\ast g\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ y que \begin{equation*} \left\Vert f\ast g\right\Vert_{1}\leq \left\Vert f\right\Vert _{1}\left\Vert g\right\Vert_{1}. \end{equation*}
Prueba que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\ast g=\int_{\mathbb{R}^{2n}}f(x)g(y)dx\,dy=\biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}f\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n}}g\biggr) . \end{equation*}
Prueba que \begin{equation*} f\ast g=g\ast f. \end{equation*}

planta baja del edificio nuevo ‧ instituto de matemáticas ‧ unam

5622-4496 ‧ 5622-4545

librosdemate@im.unam.mx