Papirhos --- TUL-Análisis Matemático

La integral de una función continua con soporte compacto

La teoría de integración moderna fue iniciada por Henri Lebesgue en 1902. La integral de Lebesgue es una de las piedras angulares del análisis matemático y tiene aplicaciones muy importantes en ecuaciones diferenciales, probabilidad y muchas otras ramas de las matemáticas.

La noción de integrabilidad de Lebesgue es más general que la de Riemann en el sentido de que abarca a muchas más funciones. Pero su principal virtud es que permite intercambiar el límite por la integral bajo condiciones mucho menos restrictivas que las que requiere la integral de Riemann.

Hay muchas maneras de introducir la integral de Lebesgue. La que daremos aquí tiene como punto de partida a la integral de Riemann de una función real continua en un intervalo cerrado, tal y como se define en los primeros cursos de cálculo. Supondremos que el lector está familiarizado con ella y con sus propiedades.

En este capítulo definiremos la integral de funciones continuas $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ que se anulan fuera de algún subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$. Para este tipo de funciones, la integral que aquí introduciremos coincide con la de Riemann. Pero no hace falta usar sumas de Riemann: basta definir la integral mediante un proceso iterativo, integrando respecto a cada una de las variables. Esto no sólo tiene la ventaja de reducir el cálculo de la integral de una función de varias variables al de integrales de funciones de una sola variable, sino que permite además obtener las propiedades básicas de la integral de manera sencilla a partir de las propiedades correspondientes para funciones de una sola variable.

Probaremos que la integral es una medida de Haar, es decir, que es lineal, monótona e invariante bajo traslaciones, y que cualquier medida de Haar es un múltiplo de la integral. Este hecho permite establecer fácilmente la invariancia de la integral bajo isometrías lineales y obtener una fórmula de transformación de la integral de una función bajo un cambio de variable dado por un isomorfismo lineal. Partiendo de este resultado, obtendremos una fórmula análoga cuando el cambio de variable está dado por un difeomorfismo.

En el próximo capítulo extenderemos esta integral a una familia mucho más amplia de funciones, y en el capítulo subsecuente demostraremos los teoremas fundamentales de la teoría de integración de Lebesgue.

Definición y propiedades básicas

Definiremos la integral de funciones cada vez más generales partiendo de la integral de Riemann de una función continua $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$. Supondremos que el lector está familiarizado con dicha integral y con sus propiedades.

Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) nació en Breselenz, en el Reino de Hanover, actualmente Alemania. Estudió en la Universidad de Göttingen, donde fue alumno de Gauss. Más tarde fue profesor en esa universidad. Entre sus muchas aportaciones fundó el campo de la geometría riemanniana.

Un rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$ es un producto $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ de $n$ intervalos cerrados en $\mathbb{R}$, es decir, \begin{equation*} Q=\left\{ (x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}:a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\text{ }\forall i=1,\dots,n\right\} , \end{equation*} con $-\infty

Primero definiremos la integral de una función continua en un rectángulo mediante un proceso de iteración. Para ello requerimos comprobar que la función que se obtiene integrando respecto a la primera variable es continua respecto a las variables restantes.

Sea $f\colon Q\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua en un rectángulo $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$. Entonces la función $f_{1}\colon [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\rightarrow \mathbb{R}$, dada por \begin{equation*} f_{1}(x_{2},\dots,x_{n}):=\int_{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}, \end{equation*} es continua.

El Teorema 4.31 asegura que $f$ es uniformemente continua en $Q$. Por tanto, dada $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\frac{\varepsilon }{b_{1}-a_{1}+1}\text{\qquad si }\bigl\Vert x-y\bigr\Vert <\delta . \end{equation*} Sean $\tilde{x}=(x_{2},\dots,x_{n}),\tilde{y}=(y_{2},\dots,y_{n})\in [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$. Si $\bigl\Vert \tilde{x}-\tilde{y}\bigr\Vert <\delta $, entonces, \begin{equation*} \left\vert f_{1}(\tilde{x})-f_{1}(\tilde{y})\right\vert \leq \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left\vert f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})-f(x_{1},y_{2},\dots,y_{n})\right\vert dx_{1}<\varepsilon . \end{equation*} Esto prueba que $f_{1}$ es continua.

Si integramos ahora $f_{1}$ respecto a la variable $x_{2}$, obtendremos una función continua de las $n-2$ variables restantes. Repitiendo este proceso para cada variable obtenemos un número real.

La integral de una función continua $f\colon Q\rightarrow \mathbb{R}$ en un rectángulo $Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ se define como \begin{equation*} \int_{Q}f:=\int_{a_{n}}^{b_{n}}\cdots \biggl( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\biggl( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\biggr) dx_{2}\biggr) \cdots dx_{n}. \end{equation*}

Usaremos ahora esta integral para definir la integral de funciones continuas $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ que se anulan fuera de algún rectángulo.

El soporte de una función continua $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es la cerradura en $\mathbb{R}^{n}$ del conjunto $\left\{x\in \mathbb{R}^n :f(x)\neq 0\right\}$. Lo denotamos \begin{equation*} \sop(f):=\overline{\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:f(x)\neq 0\right\}}. \end{equation*} Denotaremos por \begin{equation*} \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}):=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n}):\sop(f)\text{ es compacto}\right\}, \end{equation*} donde $\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ es el conjunto de todas las funciones continuas $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$.

Observa que $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ es un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ (ver Ejercicio 11.33).

Sea $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Definimos la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ como \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f:=\int_{Q}f, \end{equation*} donde $Q$ es algún rectángulo que contiene a $\sop(f)$.

Es sencillo comprobar que la definición anterior no depende del rectángulo elegido. Lo proponemos como ejercicio [Ejercicio 11.30].

Denotaremos a la integral de $f$ en $\mathbb{R}^{n}$ de cualquiera de las siguientes formas: \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}. \end{equation*} La última notación pone en evidencia el orden en el que consideramos a las variables de integración en la Definición 11.3. Más adelante veremos que el orden es irrelevante (ver Corolario 11.18).

Dados $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, denotamos por $\mathrm{T}_{\xi }f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ a la función \begin{equation} \left( \mathrm{T}_{\xi }f\right) (x):=f(x-\xi ).\label{tralacion} \end{equation} $\mathrm{T}_{\xi }f$ se llama la traslación de $f$ por $\xi $.

La integral tiene las siguientes propiedades:

[font=\normalfont] \item[(Linealidad)] Si $f,g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, entonces $\lambda f+\mu g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( \lambda f+\mu g\right) =\lambda \int_{\mathbb{R}^{n}}f+\mu \int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}

\item[(Monotonía)] Si $f,g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $f\leq g$ (es decir, $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$), entonces \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}g. \end{equation*}

\item[(Invariancia bajo traslaciones)] Si $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $\mathrm{T}_{\xi }f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\mathrm{T}_{\xi }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*}

Las primeras dos propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades correspondientes para funciones de variable real [Ejercicios 11.33 y 11.31]. Probaremos la invariancia bajo traslaciones. Sean $\xi \in \mathbb{R}^{n}$, $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$.

Si $n=1$ y $\sop(f)\subset [a,b]$, entonces $\sop(\mathrm{T}_{\xi }f)\subset [a+\xi ,b+\xi ]$ y usando el teorema de cambio de variable para funciones de variable real [Ejercicio 11.32] obtenemos que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}f=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a+\xi }^{b+\xi }f(x-\xi )dx=\int_{a+\xi }^{b+\xi }(\mathrm{T}_{\xi }f)(x)dx=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{T}_{\xi }f. \end{equation*} Si $n>1$ y $\sop(f)\subset [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$, entonces $\sop(\mathrm{T}_{\xi }f)\subset [a_{1}+\xi_{1},b_{1}+\xi_{1}]\times \cdots \times [a_{n}+\xi_{n},b_{n}+\xi_{n}]$. Aplicando el caso $n=1$ y argumentando por inducción obtenemos \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f &=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\biggr) dx_{2}\cdots dx_{n} \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x_{1}-\xi _{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\biggr) dx_{2}\cdots dx_{n} \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\biggl( \int_{\mathbb{R}}f(x_{1}-\xi_{1},x_{2}-\xi _{2},\dots,x_{n}-\xi_{n})dx_{1}\biggr) dx_{2}\cdots dx_{n} \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\mathrm{T}_{\xi }f, \end{align*} como afirma el enunciado.

Una consecuencia de la invariancia bajo traslaciones es que la integral del límite puntual de una sucesión de funciones no coincide, en general, con el límite de las integrales de dichas funciones, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Existe una sucesión $(f_{k})$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ que converge puntualmente a $0$, tal que $\bigl( \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\bigr) $ no converge a $0$. En consecuencia, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}\neq \int_{\mathbb{R}^{n}}\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)dx. \end{equation*}

Sea $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $\int_{\mathbb{R}^{n}}g\neq 0$ y $\sop(g)\subset [0,1]^{n}$. Definimos $f_{k}:=\mathrm{T}_{\xi_{k}}g$, donde $\xi _{k}=(k,0,\dots,0)\in \mathbb{R}^{n}$. Entonces $\sop(f_{k})\subset [k,k+1]\times [0,1]^{n-1}$ y, por tanto, $\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x)=0$ para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$.

Por otra parte, de la invariancia de la integral bajo traslaciones se sigue que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}g\qquad \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R}^{n}}f_{k}=\int_{\mathbb{R}^{n}}g\neq 0=\int_{\mathbb{R}^{n}}\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}(x), \end{equation*} como afirma el enunciado.

Más adelante daremos condiciones razonables que permiten intercambiar la integral con el límite puntual de funciones (ver Teorema 13.26).

Unicidad de la integral

En esta sección veremos que las propiedades de linealidad, monotonía e invariancia bajo traslaciones determinan a la integral, salvo por una constante. Este hecho será de utilidad para probar la invariancia de la integral bajo isometrías lineales y el teorema de cambio de variable.

Una medida de Haar en $\mathbb{R}^{n}$ es una función $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ con las siguientes tres propiedades:

[font=\normalfont] \item[(Linealidad)] $J\left( \lambda f+\mu g\right) =\lambda J(f)+\mu J(g)$ para cualesquiera $f,g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$,

\item[(Monotonía)] $J(f)\leq J(g)$ para cualesquiera $f,g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ con $f\leq g$,

\item[(Invariancia bajo traslaciones)] $J(\mathrm{T}_{\xi }f)=J(f)$ para cualesquiera $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$.

El Teorema 11.7 afirma que la integral es una medida de Haar. El siguiente resultado afirma que ésta es esencialmente la única medida de Haar en $\mathbb{R}^{n}$.

Alfréd Haar

Alfréd Haar (1885-1933) nació en Budapest, Hungría. Estudió el doctorado en la Universidad de Göttingen donde fue alumno de Hilbert. Fue profesor de la Universidad de Szeged. Junto con Riesz, contribuyó a formar en ella un centro importante de matemáticas.

[Comparación de medidas de Haar] Si $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ es una medida de Haar, entonces existe una constante $c\geq 0$ tal que \begin{equation*} J(f)=c\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*}

Para demostrar este teorema veremos primero que, bajo hipótesis adecuadas, una medida de Haar conmuta con el límite uniforme de funciones en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Observa que toda función $f$ en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ está acotada, así que su norma uniforme en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, \begin{equation*} \left\Vert f\right\Vert_{\infty }:=\sup_{x\in \mathbb{R}^{n}}\left\vert f(x)\right\vert , \end{equation*} está bien definida.

Sea $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ una función lineal y monótona. Si $(f_{k})$ es una sucesión en $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que existe un compacto $K $ en $\mathbb{R}^{n}$ que contiene a $\sop(f_{k})$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y $f_{k}\rightarrow f$ uniformemente en $\mathbb{R}^{n}$, entonces $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }J(f_{k})=J(f). \end{equation*}

Del Teorema 5.14 se sigue que $f$ es continua y, como $f_{k}(x)\rightarrow f(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, se tiene que $\sop(f)\subset K$. En consecuencia, $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$.

Sea $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g(x)=1$ para todo $x\in K$ y $g(x)\geq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ [Ejercicio 11.38]. Como $\sop(f-f_{k})\subset K$, se tiene que \begin{equation*} -\left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }g\leq f-f_{k}\leq \left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }g \end{equation*} y, como $J$ es lineal y monótona, concluimos que \begin{equation*} -\left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }J(g)\leq J(f)-J(f_{k})\leq \left\Vert f-f_{k}\right\Vert_{\infty }J(g). \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \left\vert J(f)-J(f_{k})\right\vert \leq c\left\Vert f-f_{k}\right\Vert _{\infty } \end{equation*} con $c:=J(g)$. La Proposición 5.15 asegura que $\Vert f-f_k\Vert_\infty\to0$. En consecuencia, $\left\vert J(f)-J(f_{k})\right\vert \rightarrow 0$.

Vale la pena observar que la afirmación del Lema 11.11 no es cierta si sustituimos convergencia uniforme por convergencia puntual, como lo muestra el siguiente ejemplo.

La sucesión de funciones $f_{k}\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dadas por \begin{equation*} f_{k}(x):=\max \left\{ k^{2}-k^{3}\left\vert x-\tfrac{1}{k}\right\vert ,0\right\} \end{equation*} converge puntualmente a $0$ en $\mathbb{R}$ y $\sop(f_{k})\subset [0,2]$ para todo $k\in \mathbb{N}$, pero $\int_{\mathbb{R}}f_{k}=k\rightarrow \infty $.

Veremos ahora que toda función $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ se puede expresar como el límite uniforme de combinaciones lineales de traslaciones y dilataciones de una única función $\Theta $ que definiremos a continuación.

Sea $\theta \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por \begin{equation*} \theta (t):= \begin{cases} 1-\left\vert t\right\vert & \text{si $\left\vert t\right\vert \leq 1$,} \\ 0 & \text{si $\left\vert t\right\vert \geq 1$.} \end{cases} \end{equation*} Definimos $\Theta \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation} \Theta (x_{1},\dots,x_{n}):=\theta (x_{1})\cdots \theta (x_{n}) \label{defTheta} \end{equation} y, para cada $\delta >0$, definimos \begin{equation} \Theta_{\delta }(x):=\Theta \left( \frac{x}{\delta }\right) . \label{Thetasubdelta} \end{equation}

Esta función es continua y tiene las siguientes propiedades.

$\sop(\Theta_{\delta })=[-\delta ,\delta ]^{n}$.
$(\mathrm{T}_{\delta \xi }\Theta_{\delta })(x)=\left( \mathrm{T}_{\xi }\Theta \right) (\frac{x}{\delta })$\quad para cualesquiera $x\in \mathbb{R}^{n}$, $\xi \in \mathbb{R}^{n}$.
$\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}\mathrm{T}_{\delta m}\Theta _{\delta }=1$,\quad donde $\mathbb{Z}^{n}$ denota a los puntos de $\mathbb{R}^{n}$ de coordenadas enteras.

La afirmación (a) es inmediata, pues $\sop(\Theta )=[-1,1]^{n}$. La afirmación (b) también es clara, ya que\ \begin{equation*} (\mathrm{T}_{\delta \xi }\Theta_{\delta })(x)=\Theta_{\delta }(x-\delta \xi )=\Theta (\tfrac{x}{\delta }-\xi )=(\mathrm{T}_{\xi }\Theta )(\tfrac{x}{\delta }). \end{equation*} Para probar (c) observa primero que, si $t\in [j-1,j]$ con $j\in \mathbb{Z}$, entonces \begin{equation*} \sum_{k\in \mathbb{Z}}\theta (t-k)=\theta (t-(j-1))+\theta (t-j)=1-(t-j+1)+1-(j-t)=1. \end{equation*}

Por tanto, \begin{equation*} \sum_{k\in \mathbb{Z}}\mathrm{T}_{k}\theta =1. \end{equation*} En consecuencia, si $m=(m_{1},\dots,m_{n})\in \mathbb{Z}^{n}$, dado que \begin{equation*} \left( \mathrm{T}_{m}\Theta \right) (x_{1},\dots,x_{n})=\left( \mathrm{T}_{m_{1}}\theta \right) (x_{1})\cdots \left( \mathrm{T}_{m_{n}}\theta \right) (x_{n}), \end{equation*} se cumple que \begin{equation*} \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}\left( \mathrm{T}_{m}\Theta \right) (x_{1},\dots,x_{n})=\biggl( \sum_{m_{1}\in \mathbb{Z}}\left( \mathrm{T}_{m_{1}}\theta \right) (x_{1})\biggr) \cdots \biggl( \sum_{m_{n}\in \mathbb{Z}}\left( \mathrm{T}_{m_{n}}\theta \right) (x_{n})\biggr) =1, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}\mathrm{T}_{m}\Theta =1. \end{equation*} De esta identidad y la identidad (b) se sigue inmediatamente (c).

Observa que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f(\delta m)\neq 0$ únicamente para un número finito de $m\in \mathbb{Z}^{n}$. Por tanto, la función \begin{equation*} \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta } \end{equation*} es una suma finita de funciones continuas con soporte compacto y, en consecuencia, pertenece a $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$.

Para cada $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, \begin{equation*} \lim_{\delta \rightarrow 0}\left\Vert f-\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta }\right\Vert_{\infty }=0. \end{equation*}

Sea $\varepsilon >0$. Como $f$ tiene soporte compacto, $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}^{n}$ [Ejercicio 11.39]. Por tanto, existe $\rho >0$ tal que \begin{equation*} \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon \text{\qquad si }\left\Vert x-y\right\Vert <\rho . \end{equation*} Sea $\delta <\frac{\rho }{\sqrt{n}}$. Usando la afirmación (c) del Lema 11.13, para cada $x\in \mathbb{R}^{n}$ obtenemos \begin{align} f(x)-\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta _{\delta })(x) &=\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}\left( f(x)-f(\delta m)\right) (\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(x) \notag \\ &=\sum_{m\in S(x)}\left( f(x)-f(\delta m)\right) (\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(x),\label{suma} \end{align} donde $S(x):=\left\{m\in \mathbb{Z}^{n}:x\in\sop(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })\right\}$. Nota que $S(x)$ es un conjunto finito. Ahora bien, como \begin{equation*} \sop(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })=\left\{x\in \mathbb{R}^{n}:x-\delta m\in [-\delta ,\delta ]^{n}\right\}, \end{equation*} se tiene que \begin{equation*} \left\Vert x-\delta m\right\Vert \leq \sqrt{n}\delta <\rho \qquad \forall m\in S(x). \end{equation*} Aplicando la desigualdad del triángulo a (\ref{suma}) concluimos que \begin{align*} \left\vert f(x)-\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(x)\right\vert &\leq \sum_{m\in S(x)}\left\vert f(x)-f(\delta m)\right\vert (\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(x) \\ &<\varepsilon \sum_{m\in S(x)}(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(x)\leq \varepsilon \text{\qquad si }\delta <\frac{\rho }{\sqrt{n}}. \end{align*} En consecuencia, \begin{equation*} \left\Vert f-\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta }\right\Vert_{\infty }\leq \varepsilon \text{\qquad si }\delta <\frac{\rho }{\sqrt{n}}. \end{equation*} Esto concluye la demostración.

Finalmente, calcularemos $J(\Theta_{2^{-k}})$ en términos de $J(\Theta )$.

Sea $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ una función lineal e invariante bajo traslaciones. Entonces, para cada $\delta >0$, se cumple que \begin{equation*} 2^{n}J(\Theta_{\delta })=J(\Theta_{2\delta }). \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} 2^{nk}J(\Theta_{2^{-k}})=J(\Theta )\qquad \forall k\in \mathbb{N}\text{.} \end{equation*}

Un cálculo directo, que proponemos como ejercicio [Ejercicio 11.40] y aquí ilustramos con una figura, muestra que \begin{equation*} \tfrac{1}{2}\,\theta (2t+1)+\theta (2t)+\tfrac{1}{2}\,\theta (2t-1)=\theta (t)\qquad \forall t\in \mathbb{R}\text{.} \end{equation*}

Reemplazando $t$ por $\frac{t}{2\delta }$ en la identidad anterior obtenemos \begin{align*} \theta_{2\delta }(t) =\theta \left( \tfrac{t}{2\delta }\right) &=\tfrac{1}{2}\,\theta \left( \tfrac{t+\delta }{\delta }\right) +\theta \left( \tfrac{t}{\delta }\right) +\tfrac{1}{2}\,\theta \left( \tfrac{t-\delta }{\delta }\right) \\ &=\tfrac{1}{2}(\mathrm{T}_{-\delta }\theta_{\delta })(t)+\theta_{\delta }(t)+\tfrac{1}{2}(\mathrm{T}_{\delta }\theta_{\delta })(t)\qquad \forall t\in \mathbb{R}. \end{align*} Es decir, \begin{equation*} \theta_{2\delta }=\sum_{\nu \in \Gamma }\left( \tfrac{1}{2}\right) ^{\left\vert \nu \right\vert }\mathrm{T}_{\nu \delta }\theta_{\delta },\qquad \text{con }\Gamma :=\left\{-1,0,1\right\}. \end{equation*} Por tanto, \begin{align} \Theta_{2\delta }(x_{1},\dots,x_{n}) &=\theta_{2\delta }(x_{1})\cdots \theta_{2\delta }(x_{n}) \notag \\ &=\sum_{\gamma \in \Gamma^{n}}c_{\gamma }(\mathrm{T}_{\gamma \delta }\Theta_{\delta })(x_{1},\dots,x_{n}),\label{dil} \end{align} donde \begin{equation*} c_{\gamma }=\prod_{i=1}^{n}\left( \tfrac{1}{2}\right)^{\left\vert \gamma _{i}\right\vert }\text{\qquad con }\gamma =(\gamma_{1},\dots,\gamma_{n})\in \Gamma^{n}. \end{equation*} Observa que \begin{equation*} \sum_{\gamma \in \Gamma^{n}}c_{\gamma }=\left( \tfrac{1}{2}+1+\tfrac{1}{2}\right) \sum_{\gamma \in \Gamma^{n-1}}c_{\gamma }=\left( \tfrac{1}{2}+1+\tfrac{1}{2}\right)^{n}=2^{n}. \end{equation*}

Como $J$ es lineal e invariante bajo traslaciones, aplicando $J$ a la identidad (\ref{dil}) concluimos que \begin{equation*} J(\Theta_{2\delta })=\sum_{\gamma \in \Gamma^{n}}c_{\gamma }J(\Theta _{\delta })=2^{n}J(\Theta_{\delta }). \end{equation*} Esta es la primera identidad del enunciado.

Para probar la segunda aplicamos ésta $k$ veces, con $\delta =2^{-1},2^{-2},\dots,2^{-k}$ respectivamente, para obtener \begin{equation*} J(\Theta )=2^{n}J(\Theta_{2^{-1}})=2^{2n}J(\Theta_{2^{-2}})=\cdots =2^{kn}J(\Theta_{2^{-k}}). \end{equation*} Esto concluye la demostración.

[Demostración del Teorema 11.10.] Sea $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ una medida de Haar y sea $c:=J(\Theta )$, donde $\Theta $ es la función definida en (\ref{defTheta}). Denotemos por $I\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R} $ a la función \begin{equation*} I(f):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f. \end{equation*} Probaremos que \begin{equation*} J(f)=cI(f)\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*}

Usando el Ejercicio 11.37 obtenemos \begin{equation*} I(\Theta )=\biggl( \int_{\mathbb{R}}\theta \biggr)^{n}=1. \end{equation*} Aplicando el Lema 11.15 tanto a $I$ como a $J$ concluimos que \begin{equation*} J(\Theta_{2^{-k}})=2^{-kn}J(\Theta )=2^{-kn}cI(\Theta )=cI(\Theta _{2^{-k}}). \end{equation*} Sea $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. De los Lemas 11.11 y 11.14 se sigue que \begin{align*} J(f) &=\lim_{k\rightarrow \infty }J\biggl( \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(2^{-k}m)\mathrm{T}_{2^{-k}m}\Theta_{2^{-k}}\biggr) \\ &=\lim_{k\rightarrow \infty }\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(2^{-k}m)J(\Theta _{2^{-k}}) \\ &=c\lim_{k\rightarrow \infty }\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(2^{-k}m)I(\Theta _{2^{-k}}) \\ &=c\lim_{k\rightarrow \infty }I\biggl( \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(2^{-k}m)\mathrm{T}_{2^{-k}m}\Theta_{2^{-k}}\biggr) =cI(f). \end{align*} Esto concluye la demostración.

Invariancia bajo isometrías

Sea $GL(n,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las matrices invertibles de $n\times n$ con coeficientes reales, es decir, de las matrices cuyo determinante es distinto de cero. Si identificamos a una matriz $A$ con la transformación lineal $A\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ definida por ella, de la manera usual, entonces $GL(n,\mathbb{R})$ es el conjunto de isomorfismos lineales $\mathcal{H}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}) $ definido en la Sección 10.3.

$GL(n,\mathbb{R})$ con el producto de matrices (o la composición de transformaciones lineales) es un grupo, que se llama grupo lineal general.

Observa lo siguiente.

Si $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ es una medida de Haar en $\mathbb{R}^{n}$ y $A\in GL(n,\mathbb{R})$, entonces la función $J_{A}\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} J_{A}(f):=J(f\circ A) \end{equation*} está bien definida y es una medida de Haar en $\mathbb{R}^{n}$.

Sean $A\in GL(n,\mathbb{R})$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Puesto que $\sop(f\circ A)=A^{-1}(\sop(f))$, se tiene que $\sop(f\circ A)$ es compacto (ver Proposición 4.10). Así que $f\circ A\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Esto prueba que $J_{A}$ está bien definida.

La linealidad y la monotonía de $J_{A}$ son consecuencia inmediata de las propiedades correspondientes de $J$. Probemos la invariancia bajo traslaciones.

Sean $\xi \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$ se tiene que \begin{align*} \left( \left( \mathrm{T}_{\xi }f\right) \circ A\right) (x)=\left( \mathrm{T}_{\xi }f\right) (Ax)&=f(Ax-\xi )\\ &=f(A(x-A^{-1}\xi ))=(\mathrm{T}_{A^{-1}\xi }(f\circ A))(x). \end{align*} Como $J$ es invariante bajo traslaciones concluimos que \begin{equation*} J_{A}(\mathrm{T}_{\xi }f)=J(\left( \mathrm{T}_{\xi }f\right) \circ A)=J(\mathrm{T}_{A^{-1}\xi }(f\circ A))=J(f\circ A)=J_{A}(f), \end{equation*} es decir, $J_{A}$ es invariante bajo traslaciones.

Una matriz $A\in GL(n,\mathbb{R})$ se llama ortogonal si es una isometría, es decir, si \begin{equation*} \left\Vert Ax\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert \qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Si $A$ es una matriz ortogonal entonces $\det A=\pm 1$. El conjunto de todas las matrices ortogonales de $n\times n$ es un subgrupo de $GL(n,\mathbb{R})$, llamado el grupo ortogonal, que se denota por $O(n)$.

Usaremos el Teorema 11.10 para probar que la integral es invariante bajo isometrías.

[Invariancia bajo isometrías] Para cualesquiera $A\in O(n)$, $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax+\zeta )dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)dy. \end{equation*}

Sean $I,I_{A}\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ las funciones dadas por \begin{equation*} I(f):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f,\qquad I_{A}(f):=I(f\circ A). \end{equation*} Ambas son medidas de Haar en $\mathbb{R}^{n}$ (ver Lema 11.16). Por el Teorema 11.10, existe una constante $c\geq 0$ tal que \begin{equation} I_{A}(f)=cI(f)\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \label{haarI} \end{equation} Probaremos que $c=1$. Para ello, considera la función \begin{equation*} f_{0}(x):= \begin{cases} 1-\left\Vert x\right\Vert & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$,} \\ 0 & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \geq 1$.} \end{cases} \end{equation*}

Como $\left\Vert Ax\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert $ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, se tiene que $f_{0}=f_{0}\circ A$. En consecuencia, \begin{equation*} cI(f_{0})=I_{A}(f_{0})=I(f_{0}\circ A)=I(f_{0}), \end{equation*} y como $I(f_{0})\neq 0$ [Ejercicio 11.36] concluimos que $c=1$. Sustituyendo este valor en la identidad (\ref{haarI}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\circ A=\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*} Por último, usamos la invariancia de la integral bajo traslaciones para concluir que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}(\mathrm{T}_{-\zeta }f)\circ A=\int_{\mathbb{R}^{n}}\mathrm{T}_{-\zeta }f=\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*} Ésta es la identidad deseada.

Una consecuencia sencilla pero importante del Teorema 11.17 es que la integral no depende del orden de las variables.

Para cualquier permutación $(i_{1},\dots,i_{n})$ de $(1,\dots,n) $ se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{i_{1}}\cdots dx_{i_{n}}. \end{equation*}

Sea $A$ la matriz que permuta coordenadas como sigue: \begin{equation*} A(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}),\text{\qquad donde }y_{k}:=x_{j}\text{ si }i_{j}=k. \end{equation*} Claramente, $\left\Vert Ax\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert $ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$, por tanto $A\in O(n)$. Aplicando el Teorema 11.17 obtenemos \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n} &=\int_{\mathbb{R}^{n}}(f\circ A)(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n} \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})dy_{i_{1}}\cdots dy_{i_{n}}, \end{align*} como afirma el enunciado.

El Teorema 11.17 se extiende como sigue.

Para cualesquiera $A\in GL(n,\mathbb{R})$, $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax+\zeta )\left\vert \det A\right\vert dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)dy. \end{equation*}

Para demostrar este teorema usaremos el siguiente caso particular de él.

Si $A$ es una matriz diagonal de $n\times n$ tal que $\det A\neq 0$, entonces para toda $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ se cumple que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax)\left\vert \det A\right\vert dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)dy. \end{equation*}

Sea \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix}. \end{equation*} tal que $\det A=\lambda_{1}\cdots \lambda_{n}\neq 0$. Consida la medida de Haar $I_{A}\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} I_{A}(f):=\int_{\mathbb{R}^{n}}f\circ A \end{equation*} (ver Lema 11.16). Por el Teorema 11.10 existe $c\geq 0$ tal que \begin{equation} I_{A}(f)=c\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}).\label{diaghaar} \end{equation} Para determinar $c$ basta calcular el valor de $I_{A}$ en la función $\Theta $ definida en (\ref{defTheta}). Nota que, para $\lambda\neq0$, \begin{equation*} \theta (\lambda t)= \begin{cases} 1-\left\vert \lambda t\right\vert & \text{si $\left\vert t\right\vert \leq \frac{1}{\left\vert \lambda \right\vert }$,} \\ 0 & \text{si $\left\vert t\right\vert \geq \frac{1}{\left\vert \lambda \right\vert }$.} \end{cases} \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}\theta (\lambda t)dt=\frac{1}{\left\vert \lambda \right\vert } \end{equation*} y, en consecuencia, \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\Theta \circ A &=\int_{\mathbb{R}^{n}}\theta (\lambda _{1}x_{1})\cdots \theta (\lambda_{n}x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n} \\ &=\frac{1}{\left\vert \lambda_{1}\right\vert }\cdots \frac{1}{\left\vert \lambda_{n}\right\vert }=\frac{1}{\left\vert \det A\right\vert }. \end{align*} Como $\int_{\mathbb{R}^{n}}\Theta =1$ concluimos que \begin{equation*} \frac{1}{\left\vert \det A\right\vert }=I_{A}(\Theta )=c\int_{\mathbb{R}^{n}}\Theta =c. \end{equation*} Sustituyendo este valor en la identidad (\ref{diaghaar}) obtenemos \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f\circ A=\frac{1}{\left\vert \det A\right\vert }\int_{\mathbb{R}^{n}}f\qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}), \end{equation*} como afirma el enunciado.

Usaremos el siguiente resultado de algebra lineal\footnote{Consulta, por ejemplo,~\cite{Friedberg} (Theorem 6.27).} para probar el Teorema 11.19.

[Descomposición en valores singulares] Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con coeficientes reales. Entonces existen $U_{1},U_{2}\in O(n)$ y una matriz diagonal $D$ con coeficientes no negativos tales que $A=U_{1}DU_{2}$. \begin{equation*} A=U_{1}DU_{2}. \end{equation*}

Proponemos la demostración de este resultado como ejercicio [Ejercicio 11.46].

[Demostración del Teorema 11.19.] Sean $A\in GL(n,\mathbb{R})$, $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. Por el Teorema 11.21, existen $U_{1},U_{2}\in O(n)$ y una matriz diagonal $D$ tales que \begin{equation*} A=U_{1}DU_{2}. \end{equation*} En particular, $\left\vert \det D\right\vert =\left\vert \det A\right\vert \neq 0$. Usando el Teorema 11.17, el Lema 11.20 y la invariancia de la integral bajo traslaciones, obtenemos \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)dx &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(U_{1}x)dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(U_{1}Dx)\left\vert \det D\right\vert dx \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(U_{1}DU_{2}x)\left\vert \det D\right\vert dx=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax)\left\vert \det A\right\vert dx \\ &=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(Ax+\zeta )\left\vert \det A\right\vert dx, \end{align*} como afirma el enunciado.

El teorema de cambio de variable

Ahora nuestro objetivo es extender el Teorema 11.19, reemplazando a la transformación $x\mapsto Ax+\zeta $por una función $\varphi $ que localmente se parece a ella. Empezaremos precisando lo que esto significa.

A lo largo de esta sección $\Omega $ denotará a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$.

Sea $f\in \mathcal{C}^{0}(\Omega )$. El soporte de $f$ es la cerradura en $\mathbb{R}^{n}$ del conjunto $\left\{x\in \Omega :f(x)\neq 0\right\}$. Lo denotamos $\sop(f)$.

Nota que el soporte de una función $f\in \mathcal{C}^{0}(\Omega )$ no necesariamente está contenido en $\Omega $. Por ejemplo, si $f(x)=1$ para todo $x\in \Omega $ entonces $\sop(f)=\overline{\Omega }$, que no está contenido en $\Omega $ si $\Omega \neq \mathbb{R}^{n}$.

Definimos \begin{equation*} \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega ):=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}(\Omega ) : \sop(f)\text{ es compacto y }\sop(f)\subset \Omega \right\}. \end{equation*} Nota que $\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ es un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}(\Omega )$ (ver Ejercicio 11.33). Si $\Omega =\mathbb{R}^{n}$ este espacio coincide con el de la Definición 11.4.

Dada una función $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, denotamos por $\bar{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ a la función \begin{equation*} \bar{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{si $x\in \Omega$,} \\ 0 & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega$.} \end{cases} \end{equation*} Es sencillo comprobar que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$, entonces $\bar{f}$ es continua en todo $\mathbb{R}^{n}$ y pertenece a $\mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ [Ejercicio 11.48].

Si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ definimos la integral de $f$ en $\Omega $ como \begin{equation*} \int_{\Omega }f:=\int_{\mathbb{R}^{n}}\bar{f}. \end{equation*}

Sean $\Omega $ y $\Omega^{\prime }$ subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$. Una función $\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ es un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{1}$ si $\varphi $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega $, $\varphi $ es biyectiva y su inverso $\varphi ^{-1}\colon \Omega^{\prime }\rightarrow \Omega $ es de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $\Omega^{\prime }$.

Si $\varphi $ es un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{1}$, la regla de la cadena asegura que \begin{equation*} (\varphi^{-1})^{\prime }(\varphi (\xi ))\circ \varphi^{\prime }(\xi )=\id\qquad\text{y}\qquad \varphi^{\prime }(\xi )\circ (\varphi^{-1})^{\prime }(\varphi (\xi ))=\id\qquad \forall \xi \in \Omega , \end{equation*} donde $\id\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es la identidad. Por tanto, $\varphi^{\prime }(\xi )\in GL(n,\mathbb{R})$ para todo $\xi \in \Omega $. En una vecindad pequeña de $\xi $, la función $\varphi $ es muy cercana a la función \begin{equation*} \alpha_{\xi }(x):=\varphi (\xi )+\varphi^{\prime }(\xi )[x-\xi]=\varphi ^{\prime }(\xi )x+\left[ \varphi (\xi )-\varphi^{\prime }(\xi )\xi \right] , \end{equation*} para la cual vale el Teorema 11.19. Probaremos la siguiente extensión de ese resultado.

[de cambio de variable] Sean $\Omega $ y $\Omega^{\prime }$ subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^{n}$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{1}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$. Entonces $(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert \in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y \begin{equation*} \int_{\Omega }f(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx=\int_{\Omega^{\prime }}f(y)dy. \end{equation*}

La idea de la demostración es aproximar localmente a $\varphi $ por la función $\alpha_{\xi }$ y aplicar el Teorema 11.19. Dedicaremos el resto de esta sección a la demostracion de este resultado. Usaremos el siguiente lema.

Sean $K=(K,d_{K})$ un espacio métrico compacto, $X=(X,d_{X}) $ un espacio métrico y $\varphi \colon K\rightarrow X$ una función continua. Entonces existe una función no decreciente $\omega \colon [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ tal que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega (t)=0$ y \begin{equation*} d_{X}(\varphi (x),\varphi (y))\leq \omega (d_{K}(x,y))\qquad \forall x,y\in K. \end{equation*}

Para cada $t\in [0,\infty )$ definimos \begin{equation} \omega (t):=\sup \left\{d_{X}(\varphi (x),\varphi (y)):x,y\in K,\text{ }d_{K}(x,y)\leq t\right\}.\label{mod} \end{equation} Como la función $h\colon K\times K\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x,y):=d_{X}(\varphi (x),\varphi (y))$ es continua (ver Ejercicio 3.49) y $K\times K$ es compacto (ver Ejercicio 7.28), se tiene que $h$ es acotada. Por tanto, $\omega (t)\in [0,\infty )$ para todo $t\in [0,\infty )$. Claramente, $\omega (t)\leq \omega (s)$ si $t\leq s$. Además, como $\varphi $ es uniformemente continua en $K$, dada $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que \begin{equation*} d_{X}(\varphi (x),\varphi (y))<\varepsilon \text{\qquad si }d_{K}(x,y)<\delta . \end{equation*} En consecuencia, $\omega (t)\in [0,\varepsilon ]$ si $t\in [0,\delta )$, es decir, $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega (t)=0$. Por último, si $x,y\in K$ y $t:=d_{K}(x,y)$, de la definición de $\omega $ se sigue que \begin{equation*} d_{X}(\varphi (x),\varphi (y))\leq \omega (t)=\omega (d_{K}(x,y)). \end{equation*} Esto concluye la demostración.

La función $\omega $ definida en (\ref{mod}) es la función óptima para la cual se cumple la desigualdad del lema. Se le llama el módulo de continuidad uniforme de $\varphi $.

Para $x=(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$ denotamos por \begin{align*} \left\Vert x\right\Vert_{\infty } &:=\max_{i=1,\dots,n}\left\vert x_{i}\right\vert , \\ Q(x,\delta ) &:=\left\{y\in \mathbb{R}^{n}:\left\Vert y-x\right\Vert_{\infty }\leq \delta \right\}. \end{align*} Recuerda que $\left\Vert \cdot \right\Vert_{\infty }$ es una norma en $\mathbb{R}^{n}$ que cumple \begin{equation} \tfrac{1}{\sqrt{n}}\left\Vert x\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert _{\infty }\leq \left\Vert x\right\Vert \qquad \forall x\in \mathbb{R}^{n}\label{compnormas} \end{equation} (ver Ejercicio 2.42). A continuación introduciremos los conjuntos y las constantes que usaremos en los siguientes lemas y en la demostración del Teorema 11.25.

Sean $\Omega $ y $\Omega^{\prime }$ abiertos en $\mathbb{R}^{n}$, $\varphi \colon \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ un difeomorfismo de clase $\mathcal{C}^{1}$ y $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime })$. Definimos \begin{equation*} K^{\prime }:=\sop(f)\qquad\text{y}\qquad K:=\varphi^{-1}(K^{\prime }). \end{equation*} Como $K$ y $K^{\prime }$ son subconjuntos compactos de $\Omega $ y $\Omega^{\prime }$ respectivamente, las distancias de $K$ a $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega $ y de $K^{\prime }$ a $\mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega^{\prime }$ son positivas (ver Ejercicio 4.41). Por tanto, existe $\delta _{1}>0$ tal que \begin{alignat*}{2} Q(\xi ,\delta_{1}) &\subset \Omega &\qquad&\forall \xi \in K, \\ Q(\zeta ,\delta_{1}) &\subset \Omega^{\prime }&&\forall \zeta \in K^{\prime }. \end{alignat*}

Sean \begin{equation*} K_{1}:=\bigcup_{\xi \in K}Q(\xi ,\delta_{1})\qquad\text{y}\qquad K_{1}^{\prime }:=\bigcup_{\zeta \in K^{\prime }}Q(\zeta ,\delta_{1}). \end{equation*}

$K_{1}$ y $K_{1}^{\prime }$ son subconjuntos compactos de $\Omega $ y $\Omega^{\prime }$ respectivamente (ver Ejercicio 4.33). Por tanto, como $\varphi^{\prime }$ es continua en $K_{1}$ y $(\varphi^{-1})^{\prime }$ es continua en $K_{1}^{\prime }$, existe $M\in \mathbb{R}$ tal que \begin{equation*} \sup_{x\in K_{1}}\left\Vert \varphi^{\prime }(x)\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\leq M\qquad\text{y}\qquad \sup_{y\in K_{1}^{\prime }}\left\Vert (\varphi^{-1})^{\prime }(y)\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\leq M. \end{equation*} Definimos $c_{0}:=M\sqrt{n}$ y $\delta_{2}:=\min \left\{\delta _{1},\frac{\delta_{1}}{c_{0}}\right\}$.

Para cada $\delta \in (0,\delta_{1})$, $\xi \in K$ y $x\in \Omega $ se cumple lo siguiente:

Si $\left\Vert \varphi (x)-\varphi (\xi )\right\Vert _{\infty }\leq \delta $, entonces $\left\Vert x-\xi \right\Vert _{\infty }\leq c_{0}\delta $.
Si $\left\Vert \varphi^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] \right\Vert_{\infty }\leq \delta $, entonces $\left\Vert x-\xi \right\Vert_{\infty }\leq c_{0}\delta $.

(a): Si $\left\Vert \varphi (x)-\varphi (\xi )\right\Vert _{\infty }\leq \delta $, entonces $y_{t}:=(1-t)\varphi (\xi )+t\varphi (x)\in Q(\varphi (\xi ),\delta )\subset K_{1}^{\prime }$ para cada $t\in [0,1]$. Usando las desigualdades (\ref{compnormas}) y el teorema del valor medio (ver Corolario 9.17) obtenemos \begin{align*} \left\Vert x-\xi \right\Vert_{\infty } &\leq \left\Vert x-\xi \right\Vert =\left\Vert \varphi^{-1}(\varphi (x))-\varphi^{-1}(\varphi (\xi ))\right\Vert \\ &\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert (\varphi^{-1})^{\prime }(y_{t})\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\left\Vert \varphi (x)-\varphi (\xi )\right\Vert \\ &\leq M\sqrt{n}\left\Vert \varphi (x)-\varphi (\xi )\right\Vert_{\infty } \\ &\leq c_{0}\delta . \end{align*}

(b): Si $\left\Vert \varphi^{\prime }(\xi )(x-\xi )\right\Vert_{\infty }\leq \delta $, usando las desigualdades (\ref{compnormas}) y (\ref{opernorm}) obtenemos \begin{align*} \left\Vert x-\xi \right\Vert_{\infty } &\leq \left\Vert x-\xi \right\Vert =\left\Vert (\varphi^{-1})^{\prime }(\varphi (\xi ))\left[ \varphi^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] \right] \right\Vert \\ &\leq \left\Vert (\varphi^{-1})^{\prime }\left[ \varphi (\xi )\right] \right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\left\Vert \varphi ^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] \right\Vert \\ &\leq M\sqrt{n}\left\Vert \varphi^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] \right\Vert_{\infty } \\ &\leq c_{0}\delta . \end{align*} Esto concluye la demostración.

Considera la función $\Theta_{\delta }\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ definida en (\ref{Thetasubdelta}). Es sencillo comprobar que \begin{equation} \left\vert (\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(x)-(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(y)\right\vert \leq \frac{n}{\delta }\left\Vert x-y\right\Vert_{\infty }\qquad \forall x,y\in \mathbb{R}^{n}. \label{TTheta} \end{equation} Proponemos esta desigualdad como ejercicio [Ejercicio 11.47].

Si $\zeta \in K^{\prime }$ y $\delta \in (0,\delta _{2})$, entonces \begin{equation*} \sop(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })\subset K_{1}^{\prime }\qquad \text{y}\qquad \sop((\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })\circ \varphi )\subset K_{1}. \end{equation*} Además, existe una función $\omega \colon [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ tal que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega (t)=0$ y \begin{equation*} \left\vert \int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx-\int_{\Omega ^{\prime }}(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(y)dy\right\vert \leq \omega (\delta )\delta^{n} \end{equation*} para cualesquiera $\zeta \in K^{\prime }$, $\delta \in (0,\delta_{2})$.

Sean $\zeta \in K^{\prime }$, $\xi :=\varphi^{-1}(\zeta )\in K$ y $\delta \in (0,\delta_{2})$. Denotemos por $\alpha_{\xi }\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ a la función $\alpha _{\xi }(x):=\varphi (\xi )+\varphi^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] $. Como $\sop(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })=Q(\zeta ,\delta )$ y $c_{0}\delta <\delta_{1}$, del Lema 11.28 se sigue que \begin{align} \sop((\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })\circ \varphi ) &\subset Q(\xi ,c_{0}\delta )\subset K_{1},\label{sop1} \\ \sop((\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })\circ \alpha_{\xi }) &\subset Q(\xi ,c_{0}\delta )\subset K_{1}.\label{sop2} \end{align} Por otra parte, como $\varphi^{\prime }(\xi )\in GL(n,\mathbb{R})$, aplicando el Teorema 11.19 obtenemos \begin{equation*} \int_{\Omega }\left( \mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta }\right) (\alpha _{\xi }(x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert dx=\int_{\Omega^{\prime }}\left( \mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta }\right) (y)dy. \end{equation*} En consecuencia, bastará probar que existe una función $\omega \colon [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ tal que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega (t)=0$ y \begin{equation} \left\vert \int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx-\int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert dx\right\vert \leq \omega (\delta )\delta^{n}.\label{zz} \end{equation}

Sea $x\in Q(\xi ,c_{0}\delta )$. Como $x_{t}:=(1-t)\xi +tx\in Q(\xi ,c_{0}\delta )\subset K_{1}$ para cualquier $t\in [0,1]$, el teorema del valor medio (ver Corolario 9.18) asegura que \begin{align*} \left\Vert \varphi (x)-\alpha_{\xi }(x)\right\Vert &=\left\Vert \varphi (x)-\varphi (\xi )-\varphi^{\prime }(\xi )\left[ x-\xi \right] \right\Vert \\ &\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \varphi^{\prime }(x_{t})-\varphi ^{\prime }(\xi )\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\left\Vert x-\xi \right\Vert \\ &\leq \sup_{t\in [0,1]}\left\Vert \sqrt{n}\varphi^{\prime }(x_{t})-\sqrt{n}\varphi^{\prime }(\xi )\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\left\Vert x-\xi \right\Vert_{\infty }. \end{align*} Aplicando el Lema 11.26 a la función $\sqrt{n}\varphi ^{\prime }\colon K_{1}\rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})$ obtenemos una función no decreciente $\omega_{1}\colon [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ tal que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega _{1}(t)=0$ y \begin{equation*} \left\Vert \sqrt{n}\varphi^{\prime }(y)-\sqrt{n}\varphi^{\prime }(z)\right\Vert_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n})}\leq \omega _{1}(\left\Vert y-z\right\Vert_{\infty })\qquad \forall y,z\in K_{1}. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation} \left\Vert \varphi (x)-\alpha_{\xi }(x)\right\Vert_{\infty }\leq \sup_{t\in [0,1]}\omega_{1}(\left\Vert x_{t}-\xi \right\Vert _{\infty })\left\Vert x-\xi \right\Vert_{\infty }\leq \omega _{1}(c_{0}\delta )c_{0}\delta .\label{afin} \end{equation} De las desigualdades (\ref{TTheta}) y (\ref{afin}) se sigue que \begin{equation} \left\vert (\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))-(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\right\vert \leq \frac{n}{\delta }\left\Vert \varphi (x)-\alpha_{\xi }(x)\right\Vert_{\infty }\leq c_{0}n\omega_{1}(c_{0}\delta ).\label{omega1} \end{equation} Por otra parte, aplicando el Lema 11.26 a la función $\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert \colon K_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ obtenemos una función no decreciente $\omega _{2}\colon [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ tal que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\omega_{2}(t)=0$ y \begin{equation} \left\vert \,\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert -\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert \,\right\vert \leq \omega_{2}(\left\Vert x-\xi \right\Vert _{\infty })\leq \omega_{2}(c_{0}\delta ).\label{det} \end{equation} Usando la desigualdad del triángulo y las desigualdades (\ref{omega1}) y (\ref{det}) concluimos que \begin{align} &\left\vert \,(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert -(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\left\vert \det \varphi ^{\prime }(\xi )\right\vert \,\right\vert \notag \\ &\qquad{}\leq \left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert \,\left\vert (\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))-(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\right\vert \notag \\ &\qquad\qquad{}+\left\vert \,\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert -\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert \,\right\vert \,(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x)) \notag \\ &\qquad{}\leq M_{1}c_{0}n\omega_{1}(c_{0}\delta )+\omega_{2}(c_{0}\delta )=:\omega_{3}(\delta )\label{w3} \end{align} para toda $x\in Q(\xi ,c_{0}\delta )$, donde $M_{1}:=\sup_{x\in K_{1}}\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert $.

Por último, usando el Ejercicio 11.35, las afirmaciones (\ref{sop1}) y (\ref{sop2}), la desigualdad (\ref{w3}) y el Ejercicio 11.31 obtenemos \begin{align*} &\left\vert \int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx-\int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert dx\right\vert \\ &\qquad{}\leq \int_{\Omega }\left\vert \text{ }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta _{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert -(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert \text{ }\right\vert dx \\ &\qquad{}=\int_{Q(\xi ,c_{0}\delta )}\left\vert \text{ }(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert -(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(\alpha_{\xi }(x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(\xi )\right\vert \text{ }\right\vert dx \\ &\qquad{}\leq \int_{Q(\xi ,c_{0}\delta )}\omega_{3}(\delta )dx=\omega_{3}(\delta )(2c_{0}\delta )^{n}=\omega (\delta )\delta^{n}, \end{align*} donde $\omega (\delta ):=(2c_{0})^{n}\omega_{3}(\delta )$. Esto demuestra la afirmación (\ref{zz}).

[Demostración del Teorema 11.25.] Sea $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega^{\prime }) $ y sea $\:g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert$. \begin{equation*} g:=(f\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert . \end{equation*} Entonces $\sop(g)=\varphi^{-1}(\sop(f))$. Por tanto, $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$.

Para cada $\delta \in (0,\delta_{2})$, denotemos por \begin{align*} f_{\delta } &:=\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta }, \\ g_{\delta } &:=(f_{\delta }\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert =\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)((\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })\circ \varphi )\left\vert \det \varphi^{\prime }\right\vert . \end{align*} El Lema 11.29 asegura que $\sop(f_{\delta }\circ \varphi )\subset K_{1} $ y $\sop(f_{\delta })\subset K_{1}^{\prime }$. Por otra parte, el Lema 11.14 asegura que \begin{equation*} \lim_{\delta \rightarrow 0}\left\Vert f-f_{\delta }\right\Vert_{\infty }=0. \end{equation*} Como \begin{equation*} \left\Vert g-g_{\delta }\right\Vert_{\infty }=\sup_{x\in K_{1}}\left\vert f(\varphi (x))-f_{\delta }(\varphi (x))\right\vert \left\vert \det \varphi ^{\prime }(x)\right\vert \leq \left\Vert f-f_{\delta }\right\Vert_{\infty }\sup_{x\in K_{1}}\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert , \end{equation*} concluimos que $\:\lim_{\delta \rightarrow 0}\left\Vert g-g_{\delta }\right\Vert_{\infty }=0$. \begin{equation*} \lim_{\delta \rightarrow 0}\left\Vert g-g_{\delta }\right\Vert_{\infty }=0. \end{equation*}

Del Lema 11.11 se sigue entonces que \begin{align*} \int_{\Omega }g(x)dx &=\lim_{\delta \rightarrow 0}\int_{\Omega }g_{\delta }(x)dx\\ &=\lim_{\delta \rightarrow 0}\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx, \\ \int_{\Omega^{\prime }}f(y)dy &=\lim_{\delta \rightarrow 0}\int_{\Omega ^{\prime }}f_{\delta }(y)dy\\ &=\lim_{\delta \rightarrow 0}\sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\int_{\Omega^{\prime }}(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta _{\delta })(y)dy. \end{align*} Sea $r\in \mathbb{N}$ tal que $\sop(f)\subset [-r,r]^{n}$. Aplicando el Lema 11.29 obtenemos que \begin{align*} &\left\vert \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}f(\delta m)\biggl( \int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi ^{\prime }(x)\right\vert dx-\int_{\Omega^{\prime }}(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(y)dy\biggr) \right\vert \\ &\qquad{}\leq \sum_{m\in \mathbb{Z}^{n}}\left\vert f(\delta m)\right\vert \left\vert \int_{\Omega }(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(\varphi (x))\left\vert \det \varphi^{\prime }(x)\right\vert dx-\int_{\Omega ^{\prime }}(\mathrm{T}_{\delta m}\Theta_{\delta })(y)dy\right\vert \\ &\qquad{}\leq \left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left( \frac{2r}{\delta }+1\right) ^{n}\omega (\delta )\delta^{n}=\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left( 2r+\delta \right)^{n}\omega (\delta ), \end{align*} donde $\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\omega (\delta )=0$. En consecuencia, \begin{equation*} \left\vert \int_{\Omega }g(x)dx-\int_{\Omega^{\prime }}f(y)dy\right\vert \leq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\left\Vert f\right\Vert_{\infty }\left( 2r+\delta \right)^{n}\omega (\delta )=0. \end{equation*} Esto concluye la demostración.

Ejercicios

Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $Q_{1}$ y $Q_{2}$ son dos rectángulos que contienen a $\sop(f)$, entonces \begin{equation*} \int_{Q_{1}}f=\int_{Q_{2}}f. \end{equation*}

Sea $Q$ un rectángulo en $\mathbb{R}^{n}$. Demuestra las siguientes afirmaciones:

Para cualesquiera $f,g\in \mathcal{C}^{0}(Q)$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, \begin{equation*} \int_{Q}\lambda f+\mu g=\lambda \int_{Q}f+\mu \int_{Q}g. \end{equation*}
Para cualesquiera $f,g\in \mathcal{C}^{0}(Q)$ con $f\leq g$, \begin{equation*} \int_{Q}f\leq \int_{Q}g. \end{equation*}
Si $c\colon Q\rightarrow \mathbb{R}$ es una función constante, entonces \begin{equation*} \int_{Q}c=c\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}). \end{equation*}

[Cambio de variable para funciones de variable real] Sean $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ una función de clase $\mathcal{C}^{1}$ en $[a,b]$ y $f\colon [\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua. Si $g(t)\in [\alpha ,\beta ]$ para todo $t\in [a,b]$, prueba que \begin{equation*} \int_{a}^{b}f(g(t))g^{\prime }(t)dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx. \end{equation*} (Sugerencia: Usa los teoremas fundamentales del cálculo y la regla de la cadena.)

Prueba que, para cualesquiera $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, $\lambda \in \mathbb{R}\smallsetminus \left\{0\right\}$ y $\xi \in \mathbb{R}^{n}$,

$\sop(f+g)\subset\sop(f)\cup\sop(g)$,
$\sop(\lambda f)=\sop(f)$,
$\sop(\mathrm{T}_{\xi }f)=\sop(f)+\xi :=\left\{x+\xi :x\in \sop(f)\right\}$,
$\sop(fg)\subset \sop(f)$ $\cap \sop(g)$,
$\sop(f)=\sop(\left\vert f\right\vert )$.

¿Es válida, en general, la igualdad en los incisos (a) y (d)?

Dadas $f,g\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ definimos $\min \left\{f,g\right\}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y\\ $\max \left\{f,g\right\}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} \left( \min \left\{f,g\right\}\right) (x):=\min \left\{f(x),g(x)\right\},\qquad \left( \max \left\{f,g\right\}\right) (x):=\max \left\{f(x),g(x)\right\}. \end{equation*} Prueba que, si $f,g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $\min \left\{f,g\right\}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $\max \left\{f,g\right\}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$. (Sugerencia: Usa las identidades (\ref{idmin}) y (\ref{idmax}).)

Prueba que \begin{equation*} \left\vert \int_{\mathbb{R}^{n}}f\right\vert \leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\left\vert f\right\vert \qquad \forall f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n}). \end{equation*}

Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, $f\geq 0$ y $f(x_{0})>0$ para algún $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$, entonces \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f>0. \end{equation*}

Sean $1\leq m\leq n$, $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{m})$ y $h\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n-m})$. Definimos $g\odot h\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ como \begin{equation*} \left( g\odot h\right) (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}):=g(x_{1},\dots,x_{m})h(x_{m+1},\dots,x_{n}). \end{equation*} Prueba que $g\odot h\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left( g\odot h\right) =\biggl( \int_{\mathbb{R}^{m}}g\biggr) \biggl( \int_{\mathbb{R}^{n-m}}h\biggr) . \end{equation*}

Sea $K$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$. Da un ejemplo de una función $g\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $g(x)=1$ para todo $x\in K$ y $ g(x)\geq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$.

Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$, entonces $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}^{n}$. (Sugerencia: Usa el Teorema 4.31.)

Prueba que \begin{equation*} \frac{1}{2}\,\theta (2t+1)+\theta (2t)+\frac{1}{2}\,\theta (2t-1)=\theta (t)\qquad \forall t\in \mathbb{R}\text{.} \end{equation*}

Prueba que, si $J\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ es una medida de Haar, entonces para cualquier $a\geq 0$ la función $aJ\colon \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} (aJ)(f):=aJ(f) \end{equation*} es una medida de Haar.
¿Es cierta la afirmación anterior si $a<0$?

Sea \begin{equation*} \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n}):=\left\{f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n}):f(x+m)=f(x)\text{ }\forall x\in \mathbb{R}^{n},\text{ }\forall m\in \mathbb{Z}^{n}\right\} \end{equation*} el espacio de las funciones continuas de periodo $1$ en cada variable $x_{1},\dots,x_{n}$. Prueba que

$\mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ es un subespacio vectorial de $\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{n})$,
$\mathrm{T}_{\xi }f\in \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ para toda $f\in \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y $\xi \in \mathbb{R}^{n}$,
la función $I_{per}\colon \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} I_{per}(f):=\int_{Q}f, \end{equation*} donde $Q:=[0,1]^{n}$, es lineal, monótona e invariante bajo traslaciones.

Sea $\mathbb{S}^{1}:=\left\{z\in \mathbb{C}:\left\vert z\right\vert =1\right\}$. El producto de números complejos le da a $\mathbb{S}^{1}$ la estructura de grupo abeliano. El $n$-toro \begin{equation*} \mathbb{T}^{n}:=\underset{n\text{ veces}}{\undercbrace{\mathbb{S}^{1}\times \cdots \times \mathbb{S}^{1}}} \end{equation*} es también un grupo abeliano con la multiplicación \begin{equation*} (z_{1},\dots,z_{n})(w_{1},\dots,w_{n}):=(z_{1}w_{1},\dots,z_{n}w_{n}). \end{equation*} La función exponencial $\exp \colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{T}^{n}$, definida como \begin{equation*} \exp (x_{1},\dots,x_{n}):=(e^{2\pi ix_{1}},\dots,e^{2\pi ix_{n}}), \end{equation*} es un homomorfismo de grupos, es decir, $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$.

Dados $\zeta \in \mathbb{T}^{n}$ y $f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{T}^{n})$, la traslación de $f$ por $\zeta $ es la función $\mathrm{T}_{\zeta }f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{T}^{n})$ dada por \begin{equation} \left( \mathrm{T}_{\zeta }f\right) (z):=f\left( \zeta^{-1}z\right) ,\qquad z\in \mathbb{T}^{n}.\label{trastoro} \end{equation} Prueba que

$f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{T}^{n})$ si y sólo si $f\circ \exp \in \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})$,
la función $I_{\mathbb{T}^{n}}\colon \mathcal{C}^{0}(\mathbb{T}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$, dada por \begin{equation*} I_{\mathbb{T}^{n}}(f):=I_{per}(f\circ \exp ), \end{equation*} donde $I_{per}\colon \mathcal{C}_{per}^{0}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathbb{R}$ es la función definida en el ejercicio anterior, es una medida de Haar en $\mathbb{T}^{n}$, es decir, es lineal, monótona e invariante bajo la traslación definida en (\ref{trastoro}) )\footnote{Si quieres aprender más sobre medidas de Haar consulta~\cite{Nachbin}.}.

Sea $f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ la función \begin{equation*} f(x):= \begin{cases} \sqrt{1-\left\Vert x\right\Vert^{2}} & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \leq 1$,} \\ 0 & \text{si $\left\Vert x\right\Vert \geq 1$.} \end{cases} \end{equation*} Prueba que $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$ y que \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{n}}f>0. \end{equation*}

Si $A$ es una matriz de $n\times n$ demuestra que son equivalentes las siguientes cuatro afirmaciones:
1. $A$ es ortogonal, i.e. $\left\Vert Ax\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert $ para todo $x\in \mathbb{R}^{n}$.
2. $A$ preserva el producto escalar, i.e. $Ax\cdot Ay=x\cdot y$ para todos $x,y\in \mathbb{R}^{n}$.
3. Los renglones de $A$ son vectores ortonormales.
4. Las columnas de $A$ son vectores ortonormales.
Prueba que cualquiera de estas afirmaciones implica que $\det A=\pm 1$.
¿Es cierto que si $A$ es una matriz de $n\times n $ y $\det A=\pm 1$ entonces $A$ es ortogonal?

Demuestra el Teorema 11.21.

Prueba que \begin{equation*} \left\vert \Theta (x)-\Theta (y)\right\vert \leq n\left\Vert x-y\right\Vert _{\infty }\qquad \forall x,y\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} (Sugerencia: Usa inducción sobre $n$.)
Prueba que, para todo $\delta >0$ y todo $\zeta \in \mathbb{R}^{n}$, \begin{equation*} \left\vert (\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(x)-(\mathrm{T}_{\zeta }\Theta_{\delta })(y)\right\vert \leq \frac{n}{\delta }\left\Vert x-y\right\Vert_{\infty }\qquad \forall x,y\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*}

Sea $\Omega $ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$. Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y $\bar{f}\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es la función \begin{equation*} \bar{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{si $x\in \Omega$,} \\ 0 & \text{si $x\in \mathbb{R}^{n}\smallsetminus \Omega$,} \end{cases} \end{equation*} entonces $\bar{f}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\mathbb{R}^{n})$.

Sean $\Omega :=\mathbb{R}^{2}\smallsetminus \left\{(x,0):x\geq 0\right\}$ y $\Omega^{\prime }:=(0,\infty )\times (0,2\pi )$. Prueba que, para toda $f\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$, \begin{equation*} \int_{\Omega }f(x,y)dx\,dy=\int_{\Omega^{\prime }}f(r\cos \vartheta ,r\sen \vartheta )r\,dr\,d\vartheta . \end{equation*}

En los ejercicios siguientes denotaremos por \begin{equation*} \mathcal{C}_{c}^{k}(\Omega ):=\mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )\cap \mathcal{C}^{k}(\Omega ) \end{equation*} al conjunto de las funciones $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^{k}$ con soporte compacto en $\Omega $.

[Integración por partes]

Prueba que, si $f\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$, entonces $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*}
Prueba que, si $f\in \mathcal{C}^{1}(\Omega )$, $g\in \mathcal{C}_{c}^{1}(\Omega )$, entonces $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}g$, $f\frac{\partial g}{\partial x_{i}}\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y \begin{equation*} \int_{\Omega }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}g=-\int_{\Omega }f\frac{\partial g}{\partial x_{i}}\qquad \forall i=1,\dots,n. \end{equation*} (Sugerencia: Aplica (a) a la función $fg$.)

[Fórmula de Green] Sea $f\in \mathcal{C}^{2}(\Omega )$. El laplaciano de $f$ es la función \begin{equation*} \Delta f:=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}. \end{equation*} Prueba que, si $f\in \mathcal{C}^{2}(\Omega )$ y $g\in \mathcal{C}_{c}^{2}(\Omega )$, entonces $(\Delta f)g$, $\nabla f\cdot \nabla g$, $f(\Delta g)\in \mathcal{C}_{c}^{0}(\Omega )$ y \begin{equation*} \int_{\Omega }(\Delta f)g=-\int_{\Omega }\nabla f\cdot \nabla g=\int_{\Omega }f(\Delta g). \end{equation*} (Sugerencia: Aplica el Ejercicio 11.50)

planta baja del edificio nuevo ‧ instituto de matemáticas ‧ unam

5622-4496 ‧ 5622-4545

librosdemate@im.unam.mx