Aplicaciones

Aunque el nombre del capítulo sea Aplicaciones (de cónicas y cuádricas), después de mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola, abordaremos el caso de la curva llamada catenaria\index{catenaria} que no satisface una ecuación polinomial. Y terminaremos con el llamado Teorema del Hexágono Místico,\index{Teorema del Hexágono Místico} que verdaderamente parece un milagro.

Actualmente, la confusión entre catenaria y parábola está provocada porque la catenaria se menciona poco a nivel preuniversitario, pese a ser la curva más frecuente en nuestro entorno, formada por las sogas del tendedero y los cables de luz. Tratándola aquí esperamos contribuir a aclarar la confusión y a fomentar el interés por un área muy importante en matemáticas, el Cálculo de Variaciones\index{Cálculo de variaciones} entre cuyos fundadores encontramos a Euler, John y James Bernoulli e Isaac Newton (vea~\cite{G-F},~\cite{I} y~\cite{L}).

El resto del capítulo sí trata de las aplicaciones más conocidas de las curvas y superficies que hemos estudiado.

Algunas aplicaciones requerirán conceptos del Cálculo Diferencial e Integral; sobre ese tema, una muy buena referencia es el libro de Morris Kline~\cite{K-1}.

Tiro parabólico

Si desde el suelo lanzamos un proyectil al aire, después de cierto tiempo cae a tierra.

Eso se debe a la fuerza de gravedad, $g$, que disminuye la velocidad inicial hacia arriba hasta que, después de alcanzar cierta altura, el proyectil comienza a descender cada vez más rápido (depende del tiempo $t$) hasta estrellarse en el piso.

Los cálculos siguientes muestran que la trayectoria del proyectil es una parábola (despreciamos la resistencia del aire y suponemos que no le imprimimos efecto).

Llamemos $\bar v$ a la velocidad con que lanzamos el proyectil y $\theta$ al ángulo que $\bar v$ forma con la horizontal (vea la Figura~\ref{fig:47}). De acuerdo con la trigonometría, las componentes de $\bar v=(v_x, v_y)$ se expresan así: \begin{equation*} v_x=v \cos \theta, \qquad v_y=v \sen\theta, \end{equation*} donde $v$ es la magnitud de la velocidad inicial.

\setcounter{figure}{0} \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig47.pdf} % \input{figuras/fig47.pdf_tex} \caption{Componentes de la velocidad inicial del proyectil.} \label{fig:47} \end{figure}

La fuerza de gravedad actúa únicamente en dirección vertical, hacia abajo, modificando la velocidad vertical así: \begin{equation} v_y(t)=-gt+v\sen\theta.\label{eq:3-1} \end{equation}

Si denotamos por $P(t)=(x(t),y(t))$ la posición del proyectil en el tiempo $t$, $x(t)$ dice cuánto ha avanzado horizontalmente el proyectil y se calcula con la fórmula usual, velocidad por el tiempo, porque la velocidad horizontal es constante: \begin{equation} x(t)= tv_x= tv\cos \theta.\label{eq:3-2} \end{equation}

En cambio, como la velocidad vertical se modifica con el tiempo por la acción de la gravedad, para obtener la componente vertical $y(t)$ debemos integrar la velocidad $v_y(t)$ (vea~\cite{K-1}) de $0$ a $t$ de lo cual resulta \begin{equation} y(t)=\frac{-gt^2}{2}+tv\sen\theta.\label{eq:3-3} \end{equation}

Si de~\eqref{eq:3-2} despejamos $t$, obtenemos \begin{equation*} t=\frac{x(t)}{v\cos \theta}, \end{equation*} que sustituido en~\eqref{eq:3-3} da la expresión siguiente para $y(t)$: \begin{equation*} y(t)= \frac{-g(x(t))^2}{v^2(\cos\theta)^2}+\left(\frac{x(t)}{v\cos\theta}\right)v\sen\theta, \end{equation*} la cual puede escribirse así: \begin{equation} y(t)=\frac{-g}{v^2 (\cos \theta)^2}(x(t))^2+x(t)\tan \theta.\label{eq:3-4} \end{equation}

Note que esta ecuación muestra ya que las coordenadas $(x(t), y(t))$ de la posición del proyectil en el tiempo $t$ satisfacen la ecuación de una parábola, donde el signo menos implica que se abre hacia abajo. Su vértice es el punto donde el proyectil alcanza su altura máxima, correspondiente al tiempo en que $v_y(t)=0$. Eso ocurre para \begin{equation*} t^*=\frac{v\sen\theta}{g}, \end{equation*} y la altura alcanzada es \begin{equation*} y(t^*)=\frac{-g(\frac{v\sen\theta}{g})^2}{2}+\frac{v\sen \theta}{g} v\sen\theta = \frac{v^2\sen^2\theta}{2g}. \end{equation*}

Para el doble de $t^*$ el proyectil cae a tierra, es decir alcanza la distancia \begin{equation*} x(2t^*)=2t^*v\cos \theta= 2\frac{v\sen\theta}{g}v\cos\theta = \frac{2v^2}{g}\sen\theta \cos\theta, \end{equation*} que tiene un máximo cuando $\theta = 45^\circ$.

En resumen, sin importar qué valores tengan $v$ y $\theta$, la trayectoria del proyectil es una parábola y un caso degenerado ocurre cuando $\theta= 90^\circ$.

Pero falta algo por decir: si fijamos la magnitud de la velocidad, $v$, al variar el ángulo $\theta$ todas las parábolas posibles son tangentes a otra parábola, la que tiene vértice en el punto de mayor altura (cuando $\theta = 90^\circ$) y lado recto de extremos en los puntos de mayor recorrido horizontal ($\theta=45^\circ$ ó $\theta=135^\circ$ respecto a la horizontal en el piso). Esta parábola que es tangente a todas las parábolas que puede recorrer un proyectil lanzado desde un punto fijo en tierra para un velocidad fija $v$ se llama parábola de seguridad porque el proyectil no puede alcanzar nigún punto fuera de ella.

Una curva que tiene la propiedad de ser tangente a todos los miembros de una familia de curvas se llama envolvente de la familia; el tema tiene una exposición excelente en el libro del mismo nombre de V. G. Boltianski~\cite{Bol}.

La catenaria no es una parábola

Tome usted una cadena y suspéndala entre sus manos. Está usted observando una catenaria.

Si ata la cadena entre dos postes y cuando quede en reposo, le toma una fotografía, obtendrá siempre la misma curva porque su forma se debe al equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza que la mantiene fija a los postes. Y aunque se parezca a una parábola que se abre hacia arriba, basta considerar sus rectas tangentes para demostrar que no lo es.

\begin{figure}[htb] \centering \hfill\begin{subfigure}[t]{.4\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=\textwidth]{fotos/cadenas2.jpg} \end{subfigure}\hfill \begin{subfigure}[t]{.4\linewidth} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{fotos/telarania.pdf} \end{subfigure}\hfill\hbox{\null} \caption{Catenarias en nuestro entorno.} \label{fig:48} \end{figure}

La Figura~\ref{fig:48} muestra una cadena y una telaraña cubierta de rocío, que son (casi) ejemplos de catenarias si, en ambos casos, suponemos que la materia colgante es homogénea, flexible pero no elástica y está sujeta a la fuerza que la fija en dos puntos y a la fuerza de gravedad que actúa en el centro de masa. Las figuras esquemáticas útiles para nuestro estudio aparecen en la Figura~\ref{fig:49} (son partes de la gráfica de la función coseno hipérbolico de $x$, $\cosh x$. Vea~\cite{K-1}).

Las fuerzas que actúan en cada punto del cable están en equilibrio; es decir, si en las figuras esquemáticas recorremos los postes y tomamos el trozo de cable que corresponde a la nueva altura del poste, las fuerzas siguen equilibradas. El análisis se facilita si consideramos que uno de los puntos de sujeción es el más bajo, llamado vértice de la catenaria.\index{catenaria!vértice de la} Como lo muestra la parte derecha de la Figura~\ref{fig:49}, denotaremos por $V$ al vértice, por $R$ al centro de masa y por $A$ al otro punto de sujeción.

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig49.pdf} % \input{figuras/fig49.pdf_tex} \caption{(Izq.) Una catenaria y las fuerzas que actúan en ella; el centro de masa de la cadena queda fuera de la curva. (Der.) La mitad de la gráfica anterior.} \label{fig:49} \end{figure}

En $R$ actúa la fuerza de gravedad, con dirección vertical y hacia abajo, denotada por $\bar R$, en $V$ actúa una fuerza horizontal hacia la izquierda $\bar F_0$, y en $A$ actúa una fuerza $\bar F$ en dirección de la recta tangente $\mathcal T$ a la catenaria en $A$ que es la suma de una componente vertical y otra horizontal.

Si llamamos $\alpha$ al ángulo que forma la tangente $\mathcal T$ en el punto $A$ con la dirección horizontal, entonces la componente vertical de $\bar F$ es $F\sen\alpha$ y la componente horizontal es $F\cos\alpha$. El equilibrio que da forma a la catenaria implica que las fuerzas horizontales se anulan entre sí, lo mismo que las verticales; es decir, en valor absoluto, \begin{equation} F_0=F \cos\alpha \qquad\text{y}\qquad R=F\sen\alpha.\label{eq:3-5} \end{equation}

Sabemos que la fuerza es igual a la masa por la aceleración, así que si la masa de la porción $VA$ del cable es $m$ y denotamos por $g$ la aceleración debida a la gravedad, obtenemos \begin{equation*} R=mg. \end{equation*}

Como el cable es homogéneo, si su densidad es $d$ y la longitud de la porción $VA$ del cable es $s$, la masa total del trozo de cable es \begin{equation*} m=ds. \end{equation*}

Al sustituir las dos últimas expresiones en la segunda ecuación de \eqref{eq:3-1} obtenemos \begin{equation*} dsg=F\sen\alpha. \end{equation*}

Supongamos ahora que el trozo de cable $VA$ es parte de una catenaria más grande con punto de apoyo $A'$ (vea la Figura~\ref{fig:50}); ¿qué trabajo se realiza para llevar el trozo $VA$ a la posición $V'A'$ de la misma longitud $s$?

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig50.pdf} % \input{figuras/fig50.pdf_tex} \caption{Trabajo realizado al desplazar un trozo de cable a lo largo de la catenaria.} \label{fig:50} \end{figure}

Sabemos que el trabajo $T$ es igual a fuerza por distancia, así que el trabajo realizado para llevar $A$ hasta $A'$ es $Fs$, y en el punto $V$, donde $\bar F_0$ apunta la izquierda, el trabajo para llevar $V$ a la posición $V'$ es $-F_0 s$. En consecuencia el trabajo total es \begin{equation} T=(F-F_0)s.\label{eq:3-6} \end{equation}

El trabajo $T$ realizado para desplazar $VA$ a la posición $V'A'$ puede medirse también pensando que sólo desplazamos el arco $VV'$ hasta $AA'$; ambos tramos tienen la misma masa $ds$, pero alturas diferentes. Si las alturas de los puntos iniciales son $y_0$ para $V$ y $y$ para $A$, el trabajo realizado para desplazar $VV'$ hasta $AA'$ es, tomando la fuerza como $dsg$ \begin{equation} T=dsg(y-y_0).\label{eq:3-7} \end{equation}

De las dos últimas ecuaciones resulta, cancelando $s$ en los dos miembros, \begin{equation} F-F_0=dg(y-y_0).\label{eq:3-8} \end{equation}

La ecuación se simplifica si la altura de $V$ es \begin{equation*} y_0=\frac{F_0}{dg}, \end{equation*} pues en tal caso, llamado posición canónica de la catenaria,\index{catenaria!posición canónica de la}~\eqref{eq:3-4} se reduce a \begin{equation} F=dgy.\label{eq:3-9} \end{equation}

La posición canónica de la catenaria permite leer que:

La tensión en cada punto de la catenaria es proporcional a su ordenada y el factor de proporcionalidad depende sólo de la densidad del material del cable, puesto que $g$ es la constante gravitacional.

Y también nos permite obtener una condición que debe satisfacer la ordenada $y$ de un punto de la catenaria en posición canónica, pues si en la primera ecuación de~\eqref{eq:3-1} dividimos ambos miembros entre $dg$ resulta \begin{equation*} \frac{F_0}{dg}=\frac{F}{dg}\cos\alpha, \end{equation*} cuyo lado izquierdo es simplemente $y_0$ y cuyo lado derecho es $y\cos\alpha$, por lo que la condición sobre la ordenada $y$ es \begin{equation} y_0=y\cos\alpha.\label{eq:3-10} \end{equation}

Si nuestra curva fuera una parábola que se abre hacia arriba con vértice en $(0,y_0)$, la ecuación sería \begin{equation*} x^2=4p(y-y_0), \end{equation*} así que $y$ satisfaría \begin{equation*} y=\frac{x^2}{4p}+y_0. \end{equation*}

La pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto de ordenada $y$ se obtiene derivando la ecuación anterior respecto a $x$: \begin{equation*} \frac{dy}{dx}=\frac{x}{2p}. \end{equation*}

Desde el inicio denotamos por $\alpha$ el ángulo que la recta tangente $\mathcal T$ a la catenaria en el punto de altura $y$ forma con la dirección horizontal; en consecuencia \begin{equation} \tan\alpha=\frac{x}{2p}.\label{eq:3-11} \end{equation}

De la identidad trigonométrica clásica $\cos^2\alpha+ \sen^2\alpha=1$ resulta, dividiendo entre $\cos^2\alpha\neq 0$, \begin{equation*} 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \end{equation*} y los dos miembros de esta ecuación pueden reescribirse en términos de las ecuaciones~\eqref{eq:3-6} y~\eqref{eq:3-7} como \begin{equation*} 1+\frac{x^2}{4p^2}=\frac{y^2}{y_0^2}, \end{equation*} que es la ecuación de una hipérbola: \begin{equation*} \frac{y^2}{y_0^2}-\frac{x^2}{4p^2}=1. \end{equation*}

Como vemos, el suponer que los puntos de nuestra curva satisfacen la ecuación de una parábola y tomar en cuenta la condición~\eqref{eq:3-6} sobre la ordenada de un punto de la catenaria, nos llevó a obtener que los puntos satisfacen también la ecuación de una hipérbola. Pero eso es imposible porque la parábola y la hipérbola son curvas muy distintas, como lo vimos en el Capítulo~\ref{Cap_1}.

Por tanto, es absurdo suponer que los puntos de una catenaria satisfagan la ecuación de la parábola.

Las órbitas de los planetas

La historia del establecimiento de lo que hoy en día llamamos Leyes de Kepler\index{Leyes de Kepler} y que rigen el movimiento de los planetas, arranca desde los tiempos de Platón\index{Platón} (427--347 a.C.). Este resumen se basa en~\cite{K-2},~\cite{G-F} y~\cite{K-1}.

En la Academia que Platón fundó en Atenas hacia 485 a.C., el maestro encargó a uno de sus discípulos, Eudoxio\index{Eudoxio} (408--347 a.C.), encontrar alguna regularidad en los datos que egipcios y babilonios habían recabado observando los planetas. Platón pensaba que el propósito de todo estudio es descubrir la estructura de la naturaleza.

El análisis de datos se llama hoy en día Análisis numérico; \index{Análisis numérico} gracias al desarrollo de computadoras poderosas y programas cada vez más eficientes de computación, quien está bien preparado en matemáticas puede, basándose en datos obtenidos en cuidadosos experimentos o mediciones, proponer modelos del comportamiento de fenómenos de naturaleza muy diversa; después, debe comprobar su teoría.

Pero en la antigüedad el análisis de datos debía hacerse con cálculos largos y poca teoría matemática como apoyo.

Se creía que los planetas describían órbitas circulares porque el círculo es una curva perfecta, pero Eudoxio constató que los datos no concordaban con órbitas circulares. Trató de explicar la desviación utilizando 27 esferas (como las esferas son superficies perfectas, pensó que en ellas podía inscribirse la trayectoria de un planeta), pero los datos tampoco se ajustaron a su teoría.

Otro alumno de Platón, Aristóteles\index{Aristóteles} (384--322 a.C.), afirmó, basado en la forma de la sombra que la Tierra proyecta en la Luna y en argumentos de simetría y equilibrio, que la Tierra debía de ser esférica.

Posteriormente, Aristarco\index{Aristarco} (310--230 a.C.) utilizó 56 esferas para tratar de describir las órbitas de los planetas, pero su explicación tampoco se ajustó a los datos observados. En cambio, tiene el mérito de ser el primero en afirmar que es la Tierra quien gira en torno al Sol, y no al revés.

A la Academia como centro del conocimiento le sucedió Alejandría, en Egipto. Ahí Alejandro Magno ubicó la capital de su imperio en 332 a.C. y trasladó a los sabios de la Academia.

Dos grandes aportaciones del periodo alejandrino a la astronomía fueron: el descubrimiento y estudio de las cónicas y la creación de la trigonometría.

Euclides\index{Euclides} (nacido hacia 300 a.C.) y Apolonio\index{Apolonio} (262--190 a.C.) descubrieron y estudiaron las cónicas. Apolonio fue el primero en reconocer que los tres tipos de cónicas pueden obtenerse de un mismo cono. Su tratado Cónicas sólo es comparable con los Elementos de Euclides; las cónicas juegan un papel muy importante en el asunto que nos ocupa.

A la creación de la trigonometría contribuyeron Hiparco\index{Hiparco} (muerto hacia 125 a.C.), Menelao\index{Menelao} (nacido hacia 98 d.C.) y Claudio Ptolomeo\index{Ptolomeo, C.} (muerto en 168 d.C.), pues hicieron mediciones y estudios para predecir el tiempo, ajustar el calendario, guiar la navegación y realizar mapas más precisos. El último estaba decidido a \enquote{conducir la astronomía por los caminos incontrovertibles de la aritmética y la geometría}.

Hiparco registró 1080 estrellas en un catálogo que se utiliza aún ahora. Con sus observaciones cuidadosas apoyó la teoría de que las órbitas de los planetas no son circulares.

Menelao probó, entre otros resultados, uno sorprendente para esa época: los ángulos de un triángulo esférico lo determinan, i.e., en la esfera no existe semejanza sin congruencia.

Ptolomeo, pese a ser un geómetra excelente, desechó la teoría heliocéntrica y ofreció el sistema llamado ptolomeico que prevaleció varios siglos. Según Ptolomeo, los planetas giraban en torno a un punto que a su vez giraba con velocidad uniforme en torno a otro punto no localizado en la Tierra; esta forma de las trayectorias se denominó epiciclo.

En Europa, al predominio griego sucedió el imperio romano, con una filosofía muy distinta de la griega. Es importante mencionar que el desarrollo de la ciencia fue apoyado por el Islam, cuyo califa al-Mamun fundó, en Bagdad en el año 833, la Casa de la sabiduría. Los musulmanes tradujeron los textos griegos de filosofía, matemáticas y medicina, tomaron también conocimientos de Persia y de la India, y desarrollaron el álgebra y la alquimia.

La filosofía romana fue la de la iglesia, centrada en el cultivo único de valores espirituales y la anatemización del cuerpo. Se impuso el uso del latín en los estudios y hubo necesidad de traducir a esa lengua los Elementos de Euclides y la Aritmética de Nicomedes (personaje de origen árabe que vivió hacia el año 100 d.C), aunque a decir de Morris Kline los traductores no siempre entendieron lo que traducían.

Los cálculos astronómicos sólo fueron de interés para ajustar las fiestas del calendario religioso; la enseñanza se restringió a los monasterios.

Así que para avanzar en el estudio de la astronomía en occidente hubo que esperar a la creación de universidades independientes de la iglesia. Bolonia fue la primera, fundada en 1088.

A Bolonia acude el polaco Nicolás Copérnico\index{Copérnico, N.} (1473--1543); allí conoce las teorías griegas sobre el movimiento de los planetas. Para ajustar los datos de sus propias observaciones, propone ubicar al Sol sólo cerca del centro del círculo y no en el centro mismo y da a todos los planetas el mismo tratamiento, a diferencia de la propuesta de Ptolomeo. Es decir, Copérnico establece plenamente la teoría heliocéntrica, aunque no logra ajustarla a sus datos.

Llegamos por fin a la época de Kepler, quien tiene como contemporáneos a dos excelentes astrónomos observacionales: Tycho Brahe\index{Brahe, T.} (1546--1601, danés) y Galileo\index{Galileo} (1564--1642), nacido y educado en Pisa.

La falta de concordancia entre la teoría copernicana y sus datos, llevó a Tycho Brahe a rechazar esa teoría. Propuso una propia, combinación de las teorías geocéntrica y heliocéntrica, que tampoco funcionó.

Galileo fue el primer astrónomo que, habiendo oído de la invención del telescopio por un sabio holandés, decidió construirse uno para estudiar los cuerpos celestes. Sus observaciones lo hicieron descubrir en 1610 cuatro de las lunas de Júpiter y las fases de Venus, lo cual le convenció de la teoría heliocéntrica. Pero la Inquisición lo obligó a abjurar de ella y además lo condenó a no publicar sus descubrimientos.

Johannes Kepler\index{Kepler, J.} (1571--1630) nació en lo que hoy es Alemania. En la Universidad de Tübingen conoció las teorías griegas sobre el movimiento de los planetas y la teoría heliocéntrica de Copérnico y, desde luego, el trabajo de Apolonio sobre las cónicas.

Kepler creyó siempre que el universo debía estar gobernado por leyes matemáticas, pero a la vez tenía gran respeto por las observaciones; por ello envió una de sus publicaciones, Mysterium Cosmographicum (donde había tratado de no provocar la ira de la Inquisición), a Galileo y Tycho Brahe.

\begin{figure}[htb] \centering \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth} \centering \includegraphics[width=.7\textwidth]{fotos/ill_symbolic_planetary_system} \caption{Relación entre los seis planetas y los cinco sólidos platónicos.}%\label{fig:1.12a} \end{subfigure}\hfill \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth} \centering \includegraphics[width=.7\textwidth]{fotos/ill_kepler_solids} \caption{detalle}%\label{fig:1.12b} \end{subfigure} \caption{}\label{fig:51} \end{figure}

Allí proponía un sistema de 6 esferas concéntricas (correspondientes a los seis planetas entonces conocidos, Saturno, Júpiter, Marte, La Tierra, Venus, Mercurio, con el Sol en el centro) entre las que se inscribían los cinco sólidos platónicos en la forma que lo muestra la Figura~\ref{fig:51}.

Brahe hizo críticas fundadas al trabajo de Kepler, le recomendó \enquote{dejar a un lado especulaciones a priori} e invitó a Kepler a estudiar sus datos para que afinara su teoría del movimiento planetario.

Los datos echaban por tierra suponer órbitas no planas, así que regresó a considerar órbitas circulares, pero donde el apoyo del radio vector del Sol al planeta no era el centro del círculo, porque en una órbita circular, si la velocidad es uniforme, en tiempos iguales se recorren arcos iguales. Y los datos mostraban que eso no ocurría.

Había encontrado que, en tiempos iguales, un planeta no recorría arcos iguales de su trayectoria, pero en cambio las áreas barridas en tiempos iguales por el radio vector (apoyado en el Sol ubicado no en el centro del círculo, sino fuera de él) sí eran (aproximadamente) iguales. Y un buen día, su cerebro, ¡por fin!, le sugirió tomar elipses y no círculos como trayectorias de los planetas, con el Sol ubicado en uno de los focos.

Los datos ajustaron a la perfección con esta nueva teoría. Con ella, en palabras de George Gamow, la astronomía había adquirido el carácter de ciencia física.

Nótese que, en particular, el hecho de que las órbitas sean elipses y se barran áreas iguales en tiempos iguales, implica que el planeta tiene mayor velocidad cuando está cerca del Sol y que disminuye cuando se aleja (haga un diagrama).

La alegría de Kepler por su triunfo en la interpretación de los datos puede constantarse en el título que puso a su trabajo final sobre el movimiento planetario de 1619: La armonía del mundo.

Había necesitado estudiar siete años los datos de Tycho Brahe para obtener sus dos primeras leyes (publicadas en 1609), y hubo de emplear otros diez para llegar a la tercera. A continuación enunciamos las tres leyes, mismas que aparecen ilustradas en la Figura~\ref{fig:52}.

%\newpage \smallskip

\noindentLeyes del movimiento de los planetas.

\begin{enumerate}[label=\arabic*a.]

\item Los planetas describen órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.

\item El radio vector del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

\item La proporción entre los cuadrados de los periodos (tiempo necesario para recorrer su órbita completa) de dos planetas es igual a la proporción entre los cubos de los respectivos semiejes mayores.

\end{enumerate}

La demostración de las dos primeras leyes requiere utilizar la Ley de gravitación universal, establecida por Isaac Newton (1642--1727) casi un siglo después y puede encontrarse en~\cite{R-1}.

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig52.pdf} % \input{figuras/fig52.pdf_tex} \caption{Las tres leyes del movimiento de los planetas.} \label{fig:52} \end{figure}

Plano tangente a una cuádrica, antenas parabólicas y una leyenda sobre Arquímedes

Decimos que una curva es suave si tiene la característica de que en cada uno de sus puntos $P$ está bien definida la recta tangente a la curva en $P$. En puntos cercanos a $P$, las gráficas de la curva y de la recta tangente son muy parecidas y en eso radica la importancia de la recta tangente.

Análogamente, llamamos suave a una superficie con la propiedad de que para cada uno de sus puntos $P_0$ tiene bien definido el plano tangente en el punto\index{plano!tangente} $P_0$. También en este caso la importancia del plano tangente se debe a que en puntos cercanos a $P_0$, la superficie y el plano tangente se parecen mucho.

Para hacernos una idea de cómo se forma el plano tangente a una superficie en uno de sus puntos $P_0$, podemos pensar en todas las curvas suaves que pueden dibujarse en la superficie y que pasen por el punto $P_0$ (por favor, use su imaginación).

Cada una de esas curvas tiene su propia recta tangente y cuando la superficie es suave, las rectas tangentes a las curvas por un mismo punto forman el que hemos llamado plano tangente a la superficie en el punto $P_0$.

En los faros de los automóviles se usa una aproximación de un paraboloide de revolución formada por pedacitos de planos tangentes al paraboloide en varios de los puntos (Figura~\ref{fig:53}). Los pedacitos reflejantes de plano reflejan la luz emitida por un foquito. Al reflejarse en este conjunto de espejos, la luz emitida por el foquito no se dispersa, se refleja en dirección paralela al eje focal del paraboloide de revolución, según aprendimos de la propiedad focal de la parábola.

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.8]{figuras-pablo/fig53.pdf} % \input{figuras/fig53.pdf_tex} \caption{Planos tangentes a un paraboloide en varios de sus puntos.} \label{fig:53} \end{figure}

Las antenas parabólicas también utilizan la propiedad focal. En este caso, la señal emitida desde un satélite, hacia el cual apunta el eje focal común a todas las parábolas generatrices del paraboloide de revolución, rebota en cada punto del pedazo de paraboloide que forma una antena parabólica.

La parábola generatriz a la que pertenece el punto pertenece al plano determinado por el eje focal y el punto en cuestión y como el eje focal apunta al satélite, la ubicación de éste, bastante lejos de la Tierra, lo hacen jugar el papel del punto al infinito del eje focal. Por eso, los rayos que emite el satélite llegan paralelos al eje focal y después de rebotar en la recta tangente pasan por el foco.

En algunos museos interactivos podemos observar un par de paraboloides de revolución uno frente a otro. Los puntos en que nos piden que se ubique quien va a emitir un mensaje y el acompañante que debe escucharlo, corresponden (aproximadamente) a los focos comunes a todas las parábolas generatrices de cada uno de los paraboloides.

La leyenda dice que el famoso sabio griego Arquímedes de Siracusa (287--212 a.C.) participó en la defensa de su ciudad diseñando un arreglo de espejos parabólicos que incendiarían las velas de naves enemigas. Arquímedes fue asesinado por un soldado romano cuya orden de dejar de trazar figuras geométricas fue desobedecida por el sabio.

El plano tangente a un paraboloide de revolución es muy sencillo de obtener a partir de la ecuación del paraboloide. Lo ilustraremos en el caso del paraboloide de revolución más sencillo, cuya ecuación es

\begin{equation*} z=x^2+y^2. \end{equation*}

Si escribimos esa ecuación en la forma \begin{equation} x^2+y^2-z=0,\label{eq:3-12} \end{equation} estaremos de acuerdo en que el paraboloide de revolución puede considerarse formado por todos los puntos $(x,y,z)$ en donde se anula la función $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$.

Ahora bien, cualquier curva en el espacio puede pensarse como la trayectoria de un punto $P(t)$ que varía con el tiempo $t$. Como los puntos en el espacio tienen tres coordenadas, cada una de ellas varía con $t$, $P(t)=(x(t),y(t),z(t))$, y si la curva está contenida en el paraboloide de revolución~\eqref{eq:3-8} (es una curva dibujada en el paraboloide), al sustituir las coordenadas del punto $P(t)$ en la ecuación anterior obtenemos \begin{equation*} x(t)^2+y(t)^2-z(t)=0. \end{equation*}

El lado izquierdo de la ecuación anterior es función de $t$, y podemos derivarla usando la regla de la cadena; resulta \begin{equation*} 2x(t) x'(t)+2y(t) y'(t)+ (-1) z'(t)=0. \end{equation*}

Para un valor fijo de $t$, $t_0$, el vector $(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$ es el vector tangente a la curva en el punto $P(t_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ y entonces, usando el concepto de producto escalar entre dos vectores (vea~\cite{R-1}), podemos escribir la ecuación anterior en la forma \begin{equation*} (2x, 2y, -1)\cdot (x'(t),y'(t), z'(t))=0. \end{equation*}

Note que el producto escalar entre los dos vectores se formó multiplicando las coordenadas correspondientes de ambos vectores, y sumando esos productos.

La igualdad con cero del producto escalar de dos vectores implica que los vectores son perpendiculares, así que de la última ecuación podemos leer que, para cada valor del parámetro $t$, el vector de velocidad de la curva, $(x'(t),y'(t),z'(t))$ es perpendicular al vector $(2x(t), 2y(t), -1)$.

Es decir, este último vector formado con las derivadas parciales (vea~\cite{K-1}) de la función $F(x,y,z)= x^2+y^2-z$ respecto a (en ese orden) $x$, $y$ y $z$, se llama el gradiente de la función\index{gradiente de una función} $F$ y resulta perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto $(x,y,z)$, puesto que dicho plano está formado por los vectores tangentes a todas las curvas que pasan por el punto.

Para nuestro paraboloide, el gradiente de $F$ es $(2x,2y,-1)$, y evaluado en un punto particular, por ejemplo $P_0(1,1,2)$, toma el valor $(2,2,-1)$.

Entonces, la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto $(1,1,2)$ es \begin{equation*} (2,2,-1)\cdot (x-1,y-1,z-2)= 2x+2y-z-2=0. \end{equation*}

Para un punto cualquiera $P_0(x_0,y_0,z_0)$ del paraboloide, la ecuación del plano tangente se obtiene así \begin{equation*} (2x_0, 2y_0, -z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0. \end{equation*}

Si el lector sospecha que esta manera de obtener el plano tangente a un paraboloide de revolución en uno de sus puntos funciona para cada una de las cuádricas suaves que hemos conocido (recuerde que el cono no es suave en su vértice), tiene toda la razón (vea~\cite{K-1} o cualquier libro de Geometría Diferencial).

Elipsoides, hiperboloides y paraguas en la arquitectura

Hemos visto que los paraboloides de revolución tienen aplicaciones importantes. En esta sección veremos que lo mismo ocurre con los elipsoides, los hiperboloides de un manto y los paraboloides hiperbólicos.

En la Iglesia de La Sagrada Familia de Antoni Gaudí\index{Gaudí, A.} (Barcelona, 1852--1926) y en las obras de Félix Candela\index{Candela, F.} (Madrid, 1910-E.U.A., 1997) ubicadas en la Ciudad de México, tenemos ejemplos suficientes e interesantes.

Si bien ambos fueron arquitectos españoles, su filosofía fue muy distinta y los materiales con los que trabajaron también: Gaudí utilizó sobre todo piedra, ladrillo y mosaico, más el hierro forjado como elemento decorativo; Candela trabajó con concreto armado (el llamado hormigón en España), en el cual se ahogan varillas unidas por alambres. Pero ciertamente, ambos produjeron cambios profundos en la arquitectura.

Gaudí estaba interesado en romper con las líneas rectas presentes en la mayoría de las construcciones, así que experimentó con formas sugeridas por la naturaleza: los arcos catenáricos, resultantes de reflejar en un espejo horizontal la catenaria que vimos al principio de este capítulo y que por su condición de equilibrio de fuerzas genera un arco muy estable, y las columnas inclinadas de la Figura~\ref{fig:55} (\enquote{como los árboles que sustentan sus ramas}, véase~\cite{G}), donde la parte de la columna que va del fuste al capitel es parte de un hiperboloide de un manto.

\begin{figure}[H] \centering %\missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.675\textwidth]{fotos/Palacio-Guell} \caption{Arcos catenáricos del Palacio Güell.} \label{fig:54} \end{figure} \begin{figure}[H] \centering \begin{subfigure}[t]{.46\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=\textwidth]{fotos/park-guell-1} \caption{En las columnas de los corredores del Parque Güell, la unión del fuste con el capitel es parte de un hiperboloide de una hoja.} \end{subfigure}\hfill \begin{subfigure}[t]{.46\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=\textwidth]{fotos/park-guell-2} \caption{Los entablamientos de las columnas en los corredores del Parque Güell son partes de hiperboloides de una hoja.} \end{subfigure} \caption{}\label{fig:55} \end{figure} %\begin{figure}[htb] %\centering %\missing{ falta figura} %\caption{Los entablamientos de las columnas en los %corredores del Parque G\~uell son partes de hiperboloides de una % hoja.} % \label{fig:56a} %\end{figure} \begin{figure}[H] \centering \begin{subfigure}[t]{.47\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=\textwidth]{fotos/Sagrada-Familia} \end{subfigure}\hfill \begin{subfigure}[t]{.47\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=\textwidth]{fotos/Sagrada-Familia-3} \end{subfigure}\\[19pt] \begin{subfigure}[t]{\linewidth} \centering \includegraphics[draft=false,width=.9\textwidth]{fotos/Sagrada-Familia-2} \end{subfigure} \caption{La Sagrada Familia.}\label{fig:56} \end{figure}

En las columnas del interior de la Iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona, Gaudí colocó partes de elipsoides de revolución, pues la propiedad focal de un tal elipsoide (que sólo tiene dos focos, los focos comunes a todas las elipses generatrices) es útil para reflejar tanto el sonido como la luz.

\begin{figure}[H] \centering % \missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.783\textwidth]{fotos/Interior-Rodrigo-1} \caption{Elipsoides adheridos a las columnas de La Sagrada Familia.} \label{fig:57} \end{figure}

Las partes de elipsoide adheridos a las columnas reflejan tanto la luz como el sonido. Eso se puede observar en el video~\cite{G}, editado en el aniversario 150 de este importante arquitecto, es muy interesante.

\begin{figure}[H] \centering % \missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.807\textwidth]{fotos/Interior-Rodrigo-2} \caption{Interior de La Sagrada Familia.} \label{fig:57-b} \end{figure}

Y aunque también hay partes de paraboloides hiperbólicos en la arquitectura de Gaudí, es preferible mostrar estos en la obra de Félix Candela, pues esa superficie fue la base de la mayoría de sus diseños (Figura~\ref{fig:58}).

El trabajo de Candela es completamente independiente del de Gaudí (Candela salió exiliado de España en 1939), y se basa en un principio totalmente distinto: la economía en los diversos aspectos del proyecto. Su trabajo se desarrolló en México, Estados Unidos y España, cuando pudo retornar a ella.

Candela pretendió dedicarse al estudio de los \enquote{cascarones} \index{cascarones} con una beca en Alemania, que ya no pudo disfrutar porque se enroló en el ejército republicano. Pero una vez llegado a México como exiliado, al tiempo que trabajaba en diversos proyectos, empiezó a experimentar con el paraboloide hiperbólico (hypar para los arquitectos).

A las estructuras de concreto armado formadas con partes de paraboloides hiperbólicos se les llama cascarones, por su extrema delgadez comparada con la superficie que logran cubrir. Una de las dos familias de rectas, contenidas en un paraboloide hiperbólico, está constituida por varillas y la otra por el alambrón que las une; las duelas de la cimbra en que se vierte el concreto pertenecen a una familia y se apoyan en \enquote{vigas madrinas}, pertenecientes a la otra familia.

Una de las formas en que más se utilizó el hypar fueron los paraguas,\index{paraguas} en los que cuatro segmentos de paraboloide hiperbólico se unen en torno a una columna central (véase~\cite{D}):

\enquote{Son estructuras conformadas por cuatro segmentos de paraboloide hiperbólico sostenidos por un apoyo central; de esta forma cada elemento llega a cubrir hasta 200 $m^2$ con un solo apoyo. Su eficacia y sus ventajas constructivas (la cimbra se utilizaba varias veces), lo convertían en un producto muy económico \dots}

Los cascarones pueden tener bordes rectos o curvos (parábolas); la audacia de las formas en todos los casos provocó que a Candela se le llamara \enquote{el mago de los cascarones}.

Félix Candela cubrió con paraboloides hiperbólicos fábricas, restaurantes, gasolineras e iglesias. Uno de sus primeros cascarones, que le dio fama internacional, es el Pabellón de Rayos Cósmicos ubicado en la parte antigua de la Ciudad Universitaria de la UNAM.

El estudio de los rayos cósmicos (que en realidad son partículas subatómicas cargadas de energía provenientes del exterior), lo inició en México un físico muy importante, Manuel Sandoval Vallarta. Las especificaciones establecidas para un recinto que permitiera el paso de las partículas establecía que la cubierta debía tener sólo 15 mm de espesor, lo cual no podía cumplir la cubierta cilíndrica propuesta originalmente.

Al ser llamado por el arquitecto Jorge González Reyna, encargado del proyecto original para el Instituto de Física Nuclear al que pertenecía el pabellón, Candela propuso reemplazar la bóveda cilíndrica por una formada por dos paraboloides hiperbólicos unidos a lo largo de una de las parábolas verticales. Las virtudes de este tipo de cubierta, se resumen en palabras del arquitecto así:

\enquote{El paraboloide hiperbólico tiene la cualidad de transmitir casi exclusivamente los esfuerzos a compresión minimizando al máximo las flexiones, lo que permite construir láminas muy delgadas de un espesor constante ajustado por lo general a 4~cm. \dots Su aparente superación de las leyes de la gravedad es la esencia de la solución al problema de la cubierta de grandes claros}

Estas palabras son parte de la conferencia \enquote{Los cascarones de concreto armado como una solución al problema de las cubiertas}, pronunciada por Candela en 1950 en la Sociedad de Arquitectos Mexicanos, que fue verdaderamente provocadora por su contenido (véase~\cite{D-1}).

El Pabellón de Rayos Cósmicos (Figura~\ref{fig:58}) fue el primer edificio terminado del proyecto de Ciudad Universitaria gracias al método de construcción, a la sabiduría de Candela y a la pericia de los carpinteros y albañiles mexicanos, a quienes el arquitecto otorgó siempre el debido reconocimiento.

\begin{figure}[H] \centering % \missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.635\textwidth]{fotos/Pabellon-Rayos-Cosmicos} \caption{Pabellón de Rayos Cósmicos en Ciudad Universitaria.} \label{fig:58} \end{figure}

Otro ejemplo de la obra de Candela es el restaurante Los Manantiales ubicado en Xochimilco (Figura~\ref{fig:59}), de cuya cubierta hay también una versión en Valencia.

\begin{figure}[H] \centering % \missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.675\textwidth]{fotos/Los-Manantiales} \caption{Restaurante Los Manantiales.} \label{fig:59} \end{figure}

En las iglesias, utilizar paraboloides hiperbólicos separados o conectados entre sí permitió grandes entradas de luz, muchas veces cubiertas por vitrales, como se ve en la Figura~\ref{fig:59b}.

\begin{figure}[H] \centering % \missing{ falta figura} \includegraphics[draft=false,width=.675\textwidth]{fotos/Medalla-Milagrosa} \caption{Interior de la iglesia La Medalla Milagrosa en la Ciudad de México.} \label{fig:59b} \end{figure}

En~\cite{D-2}, uno de los artículos presenta los cálculos para una de las estructuras más espectaculares diseñada por Candela, la Capilla de Palmira.

El último trabajo de Candela en México, el Palacio de los Deportes ubicado en la Delegación Iztacalco, alcanzó también un gran reconocimiento, pues se convirtió en un edificio emblemático de la Olimpiada de 1968. En ese caso, paraboloides hiperbólicos de estructura de aluminio se apoyan en los arcos de acero que forman la gran cúpula semiesférica; la cubierta es de madera forrada con láminas de cobre.

De Apolonio a Pascal

Mencionamos ya a Apolonio en la Aplicación~\ref{sec3-2}. como autor de un tratado muy completo sobre las cónicas en la antigüedad.

Apolonio no sólo demostró que todos los tipos de cónica pueden obtenerse al cortar un mismo cono con sólo variar el ángulo entre el plano de corte y el eje del cono; sino que dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola a cada uno de esos tipos, dependiendo de que al aplicar un rectángulo asociado a la cónica y sujeto a cierta condición, sobre un segmento dado, sucediera que la base del rectángulo fuera más corta que el segmento (elipse), coincidente con él (parábola), o lo excediera (hipérbola) (vea en~\cite{K-2} la parte referente al Libro VI de Euclides: Figuras similares, y en la parte referente a Apolonio, la Figura 4.20).

En nuestra terminología cartesiana y con respecto a la ecuación en que la cónica tenga eje focal $X$ y vértice en $(0,0)$, los nombres corresponden a que $y^2$ sea menor, igual o mayor que $4px$, donde $p$ es la mitad del lado recto de la cónica.

El resultado sobre las cónicas que nos interesa mostrar en este inciso maravilló a su descubridor, Blaise Pascal\index{Pascal, B.} (1623--1662, Francia), un joven de 16 años quien decidió llamarlo Teorema del hexágono místico, en un tratado llamado Ensayo sobre las cónicas que sorprendió a otro especialista contemporáneo, Gérard Desargues\index{Desargues, G.} (1591--1661), tanto por el nivel de su contenido como por la juventud del autor. El enunciado es el siguiente:

\begin{teoHexaMis} %Teorema del Hexágono Místico. Para todo hexágono inscrito en una cónica, las intersecciones de lados opuestos son colineales. \end{teoHexaMis}

Invitamos al lector a tomar 6 puntos en una cónica cualquiera (cuidadosamente trazada) y comprobar, con una regla, el resultado de Pascal.

Nosotros haremos la demostración en el caso de una circunferencia, pues el correspondiente a una cónica cualquiera sólo requiere del uso de proyecciones (de sus inversas, más bien): una circunferencia se proyecta en una cónica (como lo muestra la Figura~\ref{fig:19a}) y el hexágono inscrito en la circunferencia se proyecta en un hexágono inscrito en la cónica. Es claro que las intersecciones de lados opuestos del hexágono inscrito en la circunferencia se proyectan en intersecciones de lados opuestos del hexágono de la cónica, y la colinealidad de las intersecciones se respeta bajo proyecciones.

La geometría que estudia los invariantes bajo proyecciones y composiciones de ellas se llama Geometría Proyectiva y, como lo ejemplifica este resultado, da lugar a teoremas muy bellos (vea~\cite{Ra-Se}).

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig60.pdf} % \input{figuras/fig60.pdf_tex} \caption{Teorema del Hexágono Místico para una circunferencia.} \label{fig:60} \end{figure}

Los lados deben considerarse como rectas completas, y llamamos lados opuestos a los que resultan de tomar un lado y \enquote{saltar} dos.

Si numeramos los vértices en forma consecutiva (según los tocan los lados) como $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ y $6$, los lados opuestos corresponden a las rectas definidas por los pares $12$ y $45$; $23$ y $56$; $34$ y $61$. A las intersecciones de lados opuestos las denotaremos así (vea la Figura~\ref{fig:60}):

\begin{equation*} P=(12)\cap (45),\quad Q=(23)\cap (56), \quad R= (34)\cap (61). \end{equation*}

La demostración del Teorema del Hexágono Místico para una circunferencia requiere sólo del conocimiento de los resultados siguientes:

\begin{enumerate}

\item El ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo central que comprende el mismo arco (vea la Figura~\ref{fig:61} (1)).

\item La razón doble de cuatro puntos colineales $A$, $B$, $C$, $D$ denotada $(A,C;B,D)$ y que es únicamente el cociente de la razón en que el punto $B$ divide al segmento $AC$ entre la razón en que $D$ divide a ese mismo segmento (vea la Figura~\ref{fig:61} (2)), es invariante bajo proyecciones.

\end{enumerate}

Para demostrar 1) basta considerar el caso especial en que uno de los lados $VW$ del ángulo inscrito, pasa por el centro $O$. El triángulo $UVO$ es isósceles y, por tanto, $2\alpha + \angle UOV=180^\circ$ y como también $\beta + \angle UVO=180^\circ$, hemos terminado.

Una consecuencia inmediata de 1) es que ángulos inscritos que abarquen arcos complementarios (es decir, los dos arcos determinados por dos puntos de la circunferencia), determinan ángulos suplementarios.

Para demostrar 2) basta tomar en cuenta la Ley de los Senos\index{Ley!de los senos} (vea [R]), que en un triángulo cualquiera establece la igualdad entre los tres cocientes formados al dividir el valor del seno de un ángulo entre la longitud del lado opuesto.

\begin{figure}[htb] \centering \includegraphics[scale=0.9]{figuras-pablo/fig61.pdf} % \input{figuras/fig61.pdf_tex} \caption{(1) $\angle \alpha = 1/2 \angle \beta$; (2) $(A,B;C,D) = (A',B';C',D')$.} \label{fig:61} \end{figure}

En la Figura~\ref{fig:61} (2), para los puntos colineales $A, B, C, D$ consideramos los triángulos: $OAC$ cuyo ángulo en $O$ es $\alpha$; $OCB$ cuyo ángulo en $O$ es $\beta$; $OAD$ cuyo ángulo en $O$ es $\gamma$ y $OBD$ cuyo ángulo en $O$ es $\delta$; entonces, si denotamos por $\rho$ al ángulo $CAO$ y por $\sigma$ al ángulo $CBO$, aplicando repetidamente la Ley de los Senos obtenemos

\begin{equation} \begin {aligned} \frac{AC}{\sen \alpha} &= \frac{OC}{\sen\rho}, &&\qquad\frac{BC}{\sen \beta} = \frac{OC}{\sen\sigma},\\ \frac{BD}{\sen \gamma} &= \frac{OD}{\sen(180^\circ-\sigma)}, &&\qquad\frac{AD}{\sen \delta} = \frac{OD}{\sen \rho}. \end{aligned}\label{eq:3.13} \end{equation}

La razón doble $(AC/CB)/(AD/DB)$ es igual a $(AC)(DB)/(CB)(AD)$, que gracias a las relaciones anteriores puede calcularse así:

\begin{equation*} \frac{(AC)(DB)}{(CB)(AD)}=\frac{(\sen \sigma \sen \rho)( OC \sen \alpha)(OD \sen \gamma)}{(\sen \sigma \sen \rho)(OC \sen \beta)(OD \sen \delta)}. \end{equation*}

Al cancelar términos comunes al numerador y al denominador, la razón doble queda expresada únicamente en términos de los senos de los ángulos en el vértice: \begin{equation*} \frac{(AC)/(CB)}{(AD)/(DB)}=\frac{\sen \alpha \sen \gamma}{\sen \beta \sen \delta}, \end{equation*} y como los ángulos en el vértice son los mismos para los triángulos que se forman con los puntos proyectados $A', B', C', D'$, ya tenemos la invariancia de la razón doble bajo proyecciones

\begin{equation*} \frac{(AC)/(CB)}{(AD)/(DB)}=\frac{(A'C')/(C'B')}{(A'D')/(D'B')}. \end{equation*}

Para proceder con la demostración del Teorema del Hexágono Místico, utilizaremos la Figura~\ref{fig:62} y agregaremos a la notación que hemos introducido dos nuevos puntos,

\begin{equation*} X=(12)\cap (56)\quad \text{y} \quad Y=(61)\cap (45). \end{equation*}

Podemos ya cumplir la promesa de demostrar que cinco puntos determinan una cónica si entre ellos no hay cuatro colineales.