Superficies cuádricas

En lo que sigue, nuestro universo será el espacio cartesiano y las ecuaciones que trabajemos podrán incluir no sólo dos sino tres variables que denotaremos $(x, y, z)$. Más aún, cuando falte en una ecuación una o dos de estas variables, deberá entenderse que es libre, que puede tomar cualquier valor porque no está sujeta a condición alguna.

Como se vio en el libro [Ram06], en el espacio cartesiano ${\mathbb{R}^3}$ necesitamos tres ejes, que ubicamos en rectas concurrentes y perpendiculares dos a dos, como las tres aristas de una habitación que concurren en una esquina del piso: la arista vertical, frente a la cual nos colocamos, determina el semieje $Z$ positivo (el de la variable que estamos añadiendo), la arista abajo a la izquierda corresponde al semieje $X$ positivo, y la arista abajo a la derecha corresponde al semieje $Y$ positivo. Las puntas de las flechas distinguen a los semiejes positivos.

El punto correspondiente a la esquina se denomina origen del sistema coordenado y se denota por $O$. Es importante mencionar que este sistema coordenado es derecho porque cuando el eje positivo $X$ gira $90^\circ$ para alcanzar el semieje positivo $Y$, un tornillo de cuerda derecha sube.

Así como en el plano cartesiano hay 4 cuadrantes, cada uno asociado a un juego distinto de signos de las coordenadas $x$ y $y$, en ${\mathbb{R}^3}$ hay 8 octantes asociados a juegos distintos de signos de las tres variables. El que suele mencionarse más es el llamado primer octante,\index{Octante, primer} correspondiente a los signos $(+,+,+)$ y que está ilustrado en la Figura 2.1.

Para obtener las coordenadas de un punto $P$, medimos su altura orientada $z$ respecto al plano $XY$ trazando el segmento de perpendicular desde $P$ a dicho plano; el pie de dicha perpendicular, $H$, permite obtener las coordenadas $x$ y $y$ como de costumbre. El orden en que se escriben las coordenadas es precisamente $(x,y,z)$ (vea la Figura 2.1).

Recíprocamente, si tenemos una terna como $(-1, 2, -2)$, para localizar el punto $P$ correspondiente podemos seguir una línea quebrada, así: ubicamos el punto correspondiente a $-1$ en el eje $X$, a partir de él recorremos un segmento paralelo al eje $Y$ correspondiente a $+2$, y a partir del punto alcanzado en el plano $XY$ recorremos un segmento paralelo al eje $Z$ correspondiente a $-2$ (vea la Figura 2.2).

Otra forma de obtener el punto $P$ es observar que, en ${\mathbb{R}^3}$, a la ecuación $x=-1$ le corresponde ahora el plano paralelo al plano $YZ$ que pasa por el punto del eje $X$ correspondiente a $-1$, pues todos los puntos de ese plano tienen como primera coordenada $-1$; análogamente, la ecuación $y=2$ determina el plano paralelo al plano $XZ$ que corta al eje $Y$ en el punto correspondiente a $2$ porque todos los puntos de ese plano tienen como segunda coordenada $2$. Y la ecuación $z=-2$ determina el plano paralelo al plano $YZ$ que corta al eje $Z$ en el punto correspondiente a $-2$.

La intersección de esos planos es el punto de coordenadas $(-1,2,-2)$.

Cilindros. Un grado de libertad

Cuando extendemos el universo en que trabajamos, del plano cartesiano al espacio cartesiano, una pregunta natural es, ¿cuáles son los lugares geométricos asociados a las ecuaciones que acabamos de estudiar? En respuesta a esta pregunta obtendremos un tipo especial de superficies cuádricas, puesto que hay un grado de libertad.

Vimos antes que la ecuación $x=2$, por ejemplo, tiene en ${\mathbb{R}^3}$ dos grados de libertad (las variables $y$ y $z$ no figuran en la ecuación) y en consecuencia representa el plano paralelo al $YZ$

\begin{equation*} \mathcal{P}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}^3}\mid x=2;\; y, z\in \mathbb{R}\}. \end{equation*}

Entonces, cada una de las ecuaciones que en ${\mathbb{R}^2}$ dan lugar a una cónica, singular o no, en ${\mathbb{R}^3}$ tienen al menos un grado de libertad porque $z$ no está restringida en ellas. Es decir, si consideramos la ecuación de una elipse $\mathcal E$ en posición canónica, \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \end{equation*} cuando la interpretamos en ${\mathbb{R}^3}$ vemos que $z$ no está restringida por la ecuación y, en consecuencia, por cada punto $P_0$ de la elipse dibujada en el plano $XY$ pasa toda una recta paralela al eje $Z$ cuyos puntos satisfacen la ecuación porque sus dos primeras coordenadas lo hacen.

La figura resultante es un cilindro sobre la elipse $\mathcal E$, ilustrada en la figura 2.3 junto con los cilindros parabólico\index{cilindro!parabólico} e hiperbólico,\index{cilindro!hiperbólico} dados por una de las ecuaciones canónicas estudiadas en el capítulo anterior.

En geometría llamamos cilindro\index{cilindro} a una figura formada por rectas paralelas que recorren una curva. Las rectas paralelas se llaman reglas\index{cilindro!reglas de un} o generatrices del cilindro y la curva recorrida se llama directriz.\index{cilindro!directriz}

Un cilindro no necesariamente tiene sus reglas paralelas a algún eje coordenado (observe la Figura 2.4), pero para empezar nos interesa que sea fácil imaginar estos objetos nuevos: las reglas surgirán paralelas a un eje coordenado, el de la variable que falta.

En el caso de las cónicas singulares, el ejercicio de considerar su ecuación para obtener el lugar geométrico correspondiente en ${\mathbb{R}^3}$ también da lugar a cilindros porque la ecuación omite una variable y eso permite rectas completas paralelas entre sí sobre los puntos de la cónica singular.

Los cilindros posibles en este caso son: una sola recta cuando la cónica singular es un punto, un plano doble\index{plano!doble} cuando la cónica singular es una recta doble y un par de planos que se cortan cuando la cónica singular es un par de rectas que se cortan.

A ellos añadimos el cilindro correspondiente a un par de planos paralelos, provenientes de dos rectas paralelas, resultado de cortar un cilindro recto circular con un plano paralelo al eje del cilindro.

La Figura 2.5 muestra, con sus ecuaciones, todos estos casos de cilindros.

Cuádricas de revolución

Otra forma de obtener, a partir de las cónicas, superficies cuya ecuación sea de segundo grado, es rotarlas en torno a uno de sus ejes de simetría.

Tomaremos cónicas en el plano $XZ$ por ser donde más fácilmente se visualiza el proceso (sugerimos ejecutar el software [RR]) e imaginaremos que el semiplano con $x\geq 0$ es una hoja de vidrio que rota en torno al eje $Z$ (ver la Figura 2.6).

Empecemos por una elipse $\mathcal E$; cuando la hoja de vidrio rote en torno al eje $Z$, cada punto $P\in \mathcal E$ del semiplano describirá una circunferencia de radio $r$ igual a su coordenada $x_0\geq 0$.

Note que un punto $P\in XZ$ tiene coordenadas $(x_0,0,z)$, pero al salir la hoja de vidrio de su posición original, el punto $P'$ en la hoja de vidrio tiene coordenadas $(x',y',z)$. La coordenada $z$ se conserva y las coordenadas $x'$ y $y'$ deben cumplir $\sqrt {x'^2+y'^2}=r$.

Entonces, si partimos de una curva del plano $XZ$ cuya ecuación conocemos y la rotamos en torno al eje $Z$, una forma de obtener la ecuación de la superficie de revolución generada por la curva es sustituir en la ecuación a la variable $x$ por $\sqrt {x'^2+y'^2}$, dejando sin alterar a la variable $z$ puesto que el punto $P'$ conserva esa coordenada. Para la elipse propuesta, en la ecuación \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \end{equation*} debemos sustituir $x$ por $\sqrt {x'^2+y'^2}$, y como $x$ está elevada al cuadrado, la ecuación del elipsoide de revolución\index{elipsoide!de revolución} (cuya forma es semejante a una hamburguesa) es \begin{equation*} \frac{x'^2+y'^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \end{equation*} que mejor escribimos, omitiendo las primas, como

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.\label{eq:2-1} \end{equation}

Note que cuando sustituimos $y=0$ en esta ecuación, resulta la ecuación de la elipse original (que es la intersección del elipsoide con el plano $XZ$), y que al girar la hoja de vidrio $90^\circ$ alcanza al semiplano $YZ$; la intersección del elipsoide con el plano $YZ$ es una elipse congruente con la original pero de ecuación \begin{equation*} \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \end{equation*} que resulta al sustituir $x=0$.

El lector pensará que pudimos haber rotado la elipse ${\mathcal E}\subset XZ$ en torno al eje $X$. En tal caso, cada punto $P$ en la hoja de vidrio describe una circunferencia de radio $r$ igual al valor absoluto de su coordenada $z$. Cuando la hoja de vidrio sale de su posición original, el punto $P'$ tiene coordenadas $(x,y',z')$ puesto que la coordenada $x$ se mantiene mientras que las coordenadas $y'$ y $z'$ deben cumplir $\sqrt {y'^2+z'^2}=r$, donde $r$ es el radio de la circunferencia que el punto $P$ describe en torno al eje $X$.

Esta vez la forma de obtener la ecuación del elipsoide de revolución (cuya forma recuerda la de una sandía) es sustituir en la ecuación de la elipse a $z$ por $\sqrt {y'^2+z'^2}$ mientras conservamos $x$.

Después de hacer la sustitución y omitiendo las primas, escribimos

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.\label{eq:2-2} \end{equation}

Esta vez, la rotación por $90^\circ$ de la hoja de vidrio en torno al eje $X$ lleva a la elipse original en una elipse del plano $XY$ congruente con la elipse original.

La diferencia entre las ecuaciones de los dos elipsoides de revolución\index{elipsoide!de revolución} es que el denominador que no se repite indica cuál es el eje de revolución (Figura 2.7).

Note que en el caso especial de elipse que es la circunferencia, cuando $a=b$, la superficie de revolución que se genera es una esfera de radio $a$:

\begin{equation} x^2+y^2+z^2=a^2.\label{eq:2-3} \end{equation}

Algunas propiedades de la esfera pueden consultarse en [HC52], Eleven Properties of the Sphere, y en [Ram13].

Rotamos ya una elipse en torno a sus dos ejes de simetría, el eje focal y el eje conjugado. Si hacemos lo análogo con la hipérbola, que tiene también dos ejes de simetría, nos llevamos la sorpresa de que en un caso obtenemos una superficie con sólo un pedazo, llamada por ello hiperboloide de un manto (o una hoja),\index{hiperboloide de revolución!de un manto} mientras que en el otro caso obtenemos dos pedazos separados, por lo que en ese caso el nombre es hiperboloide de dos mantos\index{hiperboloide de revolución!de dos mantos (o dos hojas)}.

De acuerdo al procedimiento utilizado antes, cuando la hipérbola del plano $XZ$ (ver Figura 2.8) con ecuación \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \end{equation*} rota en torno al eje $Z$, que es su eje conjugado, para obtener la ecuación de la superficie de revolución generado por la hipérbola debemos sustituir en la ecuación anterior $x$ por $\sqrt {x'^2+y'^2}$ sin alterar $z$ puesto que la coordenada $z$ de $P'$ cuando la hoja de vidrio sale de su posición original es la misma que en el caso de $P$.

Resulta así la ecuación de un hiperboloide de un manto (ya distribuimos el denominador y omitimos las primas)

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1.\label{eq:2-4} \end{equation}

En cambio, cuando la rotación es en torno al eje focal, cada una de las ramas de la hipérbola da lugar a un manto separado del otro, como lo muestra la Figura 2.9.

Esta vez la sustitución que debemos realizar en la ecuación de la hipérbola original es reemplazar a $z$ por $\sqrt {y'^2+z'^2}$ mientras conservamos $x$. Si distribuimos los denominadores y omitimos las primas resulta la ecuación siguiente, donde, a diferencia de la ecuación del hiperboloide de un manto, aparecen dos términos precedidos por un signo $-$.

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{b^2}=1,\label{eq:2-5} \end{equation}

De las cónicas no singulares sólo nos falta rotar la parábola, que sólo tiene un eje de simetría.

Tomaremos una parábola cuyo eje focal sea el eje $Z$; su ecuación es

\begin{equation*} x^2=4pz. \end{equation*}

Según el procedimiento que hemos seguido, para obtener la ecuación del paraboloide de revolución\index{paraboloide!de revolución} cuando rotamos en torno al eje $Z$, debemos sustituir en la ecuación anterior la variable $x$ por $\sqrt {x'^2+y'^2}$ respetando la variable $z$ del eje de rotación; como la variable $x$ aparece al cuadrado, la ecuación del paraboloide de revolución es (omitimos las primas)

\begin{equation} x^2+y^2=4pz.\label{eq:2-6} \end{equation}

La figura que lo ilustra es la Figura 2.10.

La rotación de una parábola respecto a la perpendicular al eje focal por el vértice lleva a una ecuación que no es cuadrática, sino de cuarto grado (compruébelo); la superficie obtenida tiene un punto «especial», el vértice de la parábola original, que es vértice de todas las parábolas en las distintas posiciones de la hoja de vidrio (intente dibujar varias de ellas, la figura resultante semeja un cojín infinito con un botón en el centro). En ese punto la superficie no es suave y por eso se le llama una singularidad\index{Singularidad} de la superficie.

Tomemos ahora cónicas singulares en el plano $XZ$: un punto, una recta doble y dos rectas que se cortan, a las que deberemos agregar dos rectas paralelas para completar la lista de curvas cuadráticas. Las ecuaciones correspondientes son

\begin{equation*} x^2+z^2=0; \qquad x^2=0; \qquad x^2-z^2=0; \qquad z^2=9. \end{equation*}

Le pedimos al lector que, en cada caso, haga el ejercicio de imaginar la rotación de las curvas en torno al eje de revolución propuesto.

Como el punto correspondiente a la primera ecuación es el origen, no podremos salir de él y la ecuación que resulta del procedimiento planteado es, en cualquiera de los dos casos,

\begin{equation} x^2+y^2+z^2=0\label{eq:2-7} \end{equation}

que puede leerse como la ecuación de una esfera de radio $0$ con centro en $(0,0,0)$.

La recta (doble) del plano $XZ$ cuya ecuación es $x^2=0$, que corresponde al eje $Z$, tiene tanto al eje $X$ como al eje $Z$ como ejes de simetría.

Cuando la variable que debe sustituirse es $z$, la ecuación de la superficie generada queda tal cual, $x^2=0$, mostrando que tanto $y$ como $z$ son libres, lo cual corresponde al plano $YZ$.

Pero si debemos sustituir $x$ por $\sqrt {x'^2+y'^2}$, la ecuación que resulta es (omitiendo las primas) \begin{equation} x^2+y^2=0,\label{eq:2-8} \end{equation} que sólo deja libre a $z$. Los puntos de este lugar geométrico tienen coordenadas $(0,0,z)$ y recorren el eje $Z$, mismo que puede verse como un cilindro circular degenerado de radio $0$.

La cónica singular de la tercera ecuación, un par de rectas que se cortan, admite tanto al eje $X$ como al eje $Z$ como ejes de simetría. La rotación respecto a cualquiera de esos ejes da lugar a un cono circular,\index{cono!circular} uno con eje de revolución (y de simetría) $X$ y el otro con eje de revolución (y de simetría) $Y$. El vértice de un cono es una singularidad del cono; en ese punto el cono no puede aproximarse por un plano.

Las ecuaciones respectivas aparecen enseguida y los correspondientes conos se ilustran en la Figura 2.11,

\begin{equation} x^2-y^2-z^2=0,\qquad\text{y}\qquad x^2+y^2-z^2=0.\label{eq:2-9} \end{equation}

Para terminar con los casos singulares de cónicas, tomamos el caso propuesto de dos rectas paralelas, $z^2=9$, las rectas del plano $XZ$ con $z=3$ una y $z=-3$ la otra.

Los dos ejes coordenados, $X$ y $Z$, son ejes de simetría de este par de rectas.

Cuando imaginamos que rotan en torno al eje $Z$, «vemos» que describen dos planos paralelos al plano $XY$.

Y cuando aplicamos a la ecuación $z^2=9$ el algoritmo para obtener la ecuación de la superficie cuádrica correspondiente, que es respetar la variable del eje de rotación y sustituir la otra, inexistente en este caso, resulta que la ecuación se conserva, sólo que ahora debemos leer de ella que las variables $x$ y $y$ son libres, dando lugar a los planos $z=3$ y $z=-3$.

Cuando el eje de rotación sea el eje $X$, después de girar $180^\circ$ cada una de las rectas alcanza la posición de la otra y obtenemos un cilindro circular.

Las ecuaciones de estas superficies cuádricas son, respectivamente, \begin{equation} z^2=9\qquad \text{y}\qquad x^2+z^2=9,\label{eq:2-10} \end{equation} ver la Figura 2.12.

La silla de montar

Las dos formas de generar superficies cuádricas partiendo de cónicas: cilindros y superficies de revolución, nos han mostrado cilindros elípticos, cilindros parabólicos, cilindros hiperbólicos, una recta (cilindro circular de radio $0$), un plano doble, dos planos que se cortan y dos planos paralelos; la primera y la segunda elipsoides, hiperboloides de una o de dos hojas, paraboloides, conos y un punto (esfera de radio $0$).

El lector puede constatar que, en todos los casos, las ecuaciones de las cuádricas anteriores tienen la forma de un polinomio de segundo grado sin términos mixtos (términos en $xy$, $xz$ o $yz$),

\begin{equation*} Ax^2+By^2+Cz^2+Gx+Hy+Iz+J=0. \end{equation*}

Pero si, como lo debe haber hecho el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783), analizamos los distintos tipos de polinomios que podemos obtener haciendo cero algunos coeficientes y dando valores positivos o negativos a los otros, notaremos que ninguna de las superficies obtenidas tiene una ecuación como la siguiente

\begin{equation} x^2-y^2-z=0.\label{eq:2-11} \end{equation}

A esta interesante superficie descubierta por Euler y llamada coloquialmente silla de montar, dedicamos este inciso.

\sloppypar Para visualizar el lugar geométrico correspondiente a una ecuación $f(x,y,z)=0$, una estrategia sencilla es analizar las curvas que resultan al cortar ese lugar geométrico con los planos coordenados (llamadas trazas);\index{traza} la intersección se obtiene al suprimir los términos donde aparezca la variable cuya nulidad caracteriza un cierto plano coordenado (ver Figura 2.13):

\begin{equation} \begin{aligned} z &= 0 \quad\text{para el plano $XY$,}\\ x &= 0 \quad\text{para el plano $YZ$,}\\ y &= 0 \quad\text{para el plano $ZX$.} \end{aligned}\label{eq:2-12} \end{equation}

Para la ecuación $x^2-y^2-z=0$, la intersección con el plano $XY$ es $x^2-y^2=0$, corresponde a un par de rectas que se cortan, según aprendimos ya.

En cambio, la intersección con los otros dos planos da una parábola: $-y^2-z=0$ resulta al cortar con el plano $YZ$, y al cortar con el plano $XZ$ la parábola es $x^2-z=0$

Cuando $z$ toma un valor fijo $k\neq 0$ (lo cual equivale a cortar el lugar geométrico con el plano $z=k$), las curvas obtenidas son hipérbolas $x^2-y^2=k$, según se vio en el Ejercicio 1.11 del Capítulo 1. El eje focal será paralelo al eje $X$ si $k>0$, por ejemplo $x^2-y^2=1$ para $k=1$. Y si, por ejemplo $k=-1$, tenemos $x^2-y^2=-1$, i.e., $y^2-x^2=1$, cuyo eje focal es paralelo al eje $Y$.

A medida que el plano $z=k$ se aleja del plano $XY$, los vértices de las hipérbolas en dicho plano se alejan de su centro en lo que constituye una tomografía del paraboloide hiperbólico,\index{paraboloide!hiperbólico} nombre matemático de la superficie descubierta por Euler. El punto $(0,0,0)$ se denomina punto silla,\index{punto!silla} un término que, en el futuro, el lector verá aparecer en ecuaciones diferenciales.

Esta superficie tiene una propiedad muy importante de la cual es un ejemplo su traza en el plano $XY$: por cada uno de sus puntos hay dos rectas distintas contenidas en la superficie, es decir, podemos verla como formada por cualesquiera dos familias de rectas (Figura 2.14). Y la demostración es muy sencilla.

Si escribimos la ecuación en la forma $x^2-y^2=z$ y del lado derecho multiplicamos y dividimos por $c\neq 0$, podemos factorizar el miembro izquierdo para escribir

\begin{equation*} (x+y)(x-y)=(z)\left(\frac{c}{c}\right)= (c)\left(\frac{z}{c}\right). \end{equation*}

Tenemos dos factores del lado izquierdo y dos factores del lado derecho y si, conservando el orden los denotamos por $A=x+y$, $B=x-y$, $C=c$ y $D=(z / c)$, la ecuación puede escribirse así:

\begin{equation*} A\cdot B=C\cdot D \end{equation*}

Es claro que si $A=C$ y simultáneamente $B=D$, la ecuación del paraboloide hiperbólico se cumple; otro tanto ocurre si simultáneamente $A=D$ y $B=C$.

En ambos casos tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en tres incógnitas, cada una de las cuales representa un plano; en el primer sistema, $A=C$ y $B=D$, se traduce en \begin{equation} x+y-c=0 \qquad\text{y}\qquad x-y-\left(\frac{1}{c}\right)z=0,\label{eq:2-13} \end{equation} cuya solución corresponde a puntos de una recta, la recta de intersección de los dos planos dados por las ecuaciones lineales anteriores. Los planos no son paralelos pues los vectores normales a los planos, $(1,1,0)$ y $(1,-1,-1/c)$ no son múltiplos uno de otro, vea [Ram13].

Y para el segundo caso, el sistema $A=D$ y $B=C$ se traduce en \begin{equation} x+y-\left(\frac{1}{c}\right)z=0 \qquad\text{y} \qquad x-y-c=0,\label{eq:2-14} \end{equation} que también da lugar a una recta, puesto que los vectores normales a los planos $(1,1,-1/c)$ y $(1,-1,0)$ no son múltiplos uno de otro.

Las direcciones de las rectas correspondientes a cada sistema son, respectivamente, \begin{equation*} \left(\frac{-1}{c},\frac{1}{c},-2\right)\qquad\text{y}\qquad \left(\frac{-1}{c},\frac{-1}{c}, -2\right), \end{equation*} es decir, se trata de dos rectas distintas.

Cuando tomamos un punto específico del paraboloide hiperbólico, como $(1,2,-3)$, al sustituir sus coordenadas en cualquiera de las ecuaciones de uno de los sistemas \eqref{eq:2-13} ó \eqref{eq:2-14}, obtenemos el valor de $c$ que da lugar a la recta concreta contenida en el paraboloide hiperbólico y que pasa por el punto; en nuestro ejemplo, de la primera ecuación del primer sistema resulta

\begin{equation*} 1+2=c \qquad\text{que implica}\qquad c=3. \end{equation*}

En consecuencia, cualquier punto de la recta apoyada en $(1,2,-3)$ con la dirección $((-1/3),(1/3),-2)$ proporcionada por el primer sistema de ecuaciones, tiene la forma \begin{equation*} (x,y,z)= (1+(-1/3)t, 2+(1/3)(t,-3-2t), \end{equation*} donde $t$ puede tomar cualquier valor real. En uno de los ejercicios pedimos al lector verificar que para cualquier valor de $t$, el punto está contenido en el paraboloide hiperbólico.

La otra recta resulta de sustituir las coordenadas del punto en la segunda ecuación del segundo sistema, $x-y-c=0$, cuyo resultado es \begin{equation*} 1-2=-1=c; \end{equation*} en consecuencia, la otra recta por el punto $(1,2,-3)$ tiene la dirección $(1,1,-2)$, y sus puntos tienen la forma \begin{equation*} (x,y,z)=(1+t, 2+t, -3-2t), \end{equation*} con $t$ arbitrario en $R$. También en esta ocasión pedimos al lector verificar que todo punto con esa forma satisface la ecuación del paraboloide hiperbólico propuesto.

Note que cada sistema de ecuaciones dio lugar a un valor distinto de $c$, porque dicho valor distingue al elemento de la familia de rectas definida por cada uno de los sistemas.

El hecho de que por todo punto $P$ del paraboloide hiperbólico haya dos rectas distintas que pasan por ese punto y están contenidas en el paraboloide hiperbólico se expresa diciendo que el paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada.\index{superficie doblemente reglada}

Ahora bien, la silla de montar no es la única superficie cuádrica doblemente reglada, la otra es el hiperboloide de un manto, ${\mathcal H}_1$, cuya ecuación canónica (cuando es de revolución) es \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1, \end{equation*} ver la Figura 2.15. Es fácil observar que podemos escribirla de esta otra forma \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1-\frac{y^2}{a^2},\label{eq:2-15} \end{equation} donde los dos miembros son una diferencia de cuadrados.

En el Ejercicio 9 invitamos al lector a demostrar que, también en este caso, por cada punto $(x_0,y_0,z_0)$ perteneciente a $\mathcal{H}_1$ pasan dos rectas contenidas en el hiperboloide. Le bastará seguir un proceso totalmente análogo al realizado en el caso del paraboloide hiperbólico.\index{paraboloide!hiperbólico}

Lista completa de superficies cuádricas

Esta sección tiene el propósito de convencer al lector de que ya conoce todos los tipos posibles de superficies cuádricas. Para ello necesitamos partir de la ecuación general de segundo grado en tres variables, \begin{equation} Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,\label{eq:2-16} \end{equation} que contiene términos que no han surgido hasta ahora en nuestro estudio, los términos mixtos.

Como lo hicimos en el caso de las cónicas, aseguramos al lector que esos términos pueden eliminarse aplicando al lugar geométrico correspondiente una rotación adecuada. Nuevamente, la demostración requiere de conceptos muy interesantes de álgebra lineal en su versión más sencilla, pero en esta presentación es preferible admitir ese hecho e invitar al lector interesado a consultar [Ram13].

Por eso partiremos de una ecuación sin términos mixtos, es decir, cuya ecuación sea del tipo

\begin{equation} Ax^2+By^2+Cz^2+Gx+Hy+Iz+J=0.\label{eq:2-17} \end{equation}

Advertimos al lector que el proceso es un poco largo, pero nos interesa hacerlo completo porque ilustra una demostración por casos, donde se cuida de abarcarlos todos.

Una primera observación es que cualquiera de las cuádricas que hemos estudiado puede no estar en posición canónica por causa de una traslación, es decir, la superficie puede estar desplazada en una dirección fija $(h,k,\ell )$, como en el caso del cono cuya ecuación es \begin{equation*} (x-3)^2+(y-5)^2-(z+1)^2=0, \end{equation*} ilustrado en la Figura 2.16. La dirección en que se desplazó el cono es precisamente $(3,5,-1)$, el punto que es ahora el vértice del cono.

Note que al desplazar el cono también se desplazan sus planos de simetría: ya no son los planos coordenados, sino los planos $x=3$, $y=5$, $z=-1$.

La ecuación del cono trasladado puede escribirse, si desarrollamos los cuadrados, así \begin{equation*} x^2-6x+9+y^2-10y+25-z^2-2z-1=0, \end{equation*} lo cual nos muestra que cuando en la ecuación cuadrática aparecen, para una misma variable, tanto un término cuadrático como un término lineal, basta completar el cuadrado de cada variable para ubicar cuánto y en qué dirección se desplazó la superficie.

Para poner un ejemplo sencillo de que el proceso puede revertirse, tomamos la ecuación siguiente

\begin{equation*} x^2-y^2+4x+2y-z+1=0. \end{equation*}

Para completar el cuadrado en $x$ y en $y$ sumamos y restamos $4$ y $1$, respectivamente \begin{equation*} (x^2+4x+4-4)-(y^2-2y+1-1)-z+1=0, \end{equation*} que escribimos en forma de cuadrados así (note que hemos reducido todas las constantes para obtener el término constante que acompaña a $z$):

\begin{equation*} (x+2)^2-(y-1)^2-(z+2)=0. \end{equation*}

Esta forma de la ecuación indica claramente que el desplazamiento (o traslación) aplicado a la silla de montar se debe al vector $(-2,1,-2)$, la figura correspondiente es la figura 2.17.

En vista de que siempre podemos completar los cuadrados, cuando para una misma variable haya términos cuadrático y lineal, y que la única diferencia con el caso canónico es un desplazamiento en una dirección y sentido fijos que no altera la forma de la superficie, para el análisis de los tipos posibles no incluiremos el término lineal de una variable cuando el coeficiente de un término cuadrático sea distinto de cero.

Entonces sólo tenemos tres casos: en el Caso I supondremos los tres coeficientes cuadráticos no nulos; en el Caso II supondremos que sólo dos de los coeficientes son no nulos, y en el Caso III supondremos sólo un coeficiente no nulo.

CASO I. Si los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de la ecuación \eqref{eq:2-16} no son cero, la aparición de algún término lineal sólo indicaría que debemos completar el cuadrado correspondiente porque la superficie fue trasladada de su posición canónica y eso no influye en el tipo de superficie.

Así que este primer caso se reduce a la forma sin términos lineales \begin{equation*} Ax^2+By^2+Cz^2+J=0. \end{equation*} ¿Qué tipos pueden aparecer ahora?

Caso I.a. Puede ocurrir que los tres coeficientes tengan el mismo signo, como en $2x^2+3y^2+4z^2+J=0$ y entonces, el término independiente $J$ está obligado a ser cero o tomar el signo opuesto, pues de lo contrario la igualdad con cero es imposible (se dice que el lugar geométrico es vacío).

Tipo 1. Si $J=0$, la ecuación toma la forma $2x^2+3y^2+4z^2=0$ que admite sólo la solución $x=0$, $y=0$, $z=0$. El punto $(0,0,0)$ puede considerarse una esfera de radio cero, ése será el primer tipo de «superficie» cuádrica, aunque se considera una cuádrica degenerada por razones obvias. La ecuación de una esfera degenerada está dada por una ecuación del tipo \begin{equation*} Ax^2+By^2+Cz^2=0 \qquad\text{con}\quad A,B,C > 0 \end{equation*}

Tipo 2. Cuando $J$ toma el signo opuesto de los otros tres, por ejemplo $-12$ en nuestro ejemplo, la ecuación toma la forma $2x^2+3y^2+4z^2-12=0$.

Si dividimos entre $12$ podemos escribir \begin{equation*} \frac{x^2}{(\sqrt{6})^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{4})^2}+\frac{z^2}{(\sqrt{3})^2}=1, \end{equation*} que es la ecuación de un elipsoide con sus tres ejes distintos. La figura correspondiente es la figura 2.18.

La ecuación canónica de un elipsoide no necesariamente de revolución es \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.\label{eq:2-18} \end{equation}

Los elipsoides de revolución son casos particulares de elipsoide.

Note que si los tres coeficientes hubieran sido negativos, para que haya puntos que satisfagan la ecuación necesitaríamos que $J$ sea cero o positivo y las posibles superficies son nuevamente un punto o un elipsoide. Si $J$ tiene el mismo signo que los tres coeficientes cuadráticos no hay puntos que satisfagan la ecuación; como antes, decimos que el lugar geométrico es vacío.

Caso I.b. Tomemos ahora el caso en que dos coeficientes cuadráticos tienen el mismo signo, digamos positivo, y el tercero el opuesto, como ocurre en la ecuación $2x^2+3y^2-4z^2+J=0$. Los distintos tipos está determinados por $J$.

Tipo 3. Si $J$ es negativo la ecuación es, por ejemplo, \begin{equation*} 2x^2+3y^2-4z^2-12=0, \end{equation*} que al dividir entre $12$ toma la forma \begin{equation*} \frac{x^2}{(\sqrt{6})^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{4})^2}-\frac{z^2}{(\sqrt{3})^2}=1, \end{equation*} que es la ecuación de un hiperboloide de un manto que no es de revolución\index{hiperboloide de revolución!no de revolución} y cuya ilustración aparece en la Figura 2.19.

La ecuación canónica de un hiperboloide de un manto no necesariamente de revolución es \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.\label{eq:2-19} \end{equation}

También en este caso tenemos el ejemplo del hiperboloide de revolución de un manto que es el caso particular correspondiente a $a=b$.

Tipo 4. Cuando $J=0$, la ecuación queda en la forma $2x^2+3y^2-4z^2=0$, que corresponde a un cono elíptico.\index{cono!elíptico} Si dividimos entre $4$ la ecuación puede escribirse así \begin{equation*} \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3/4})^2}-z^2=0, \end{equation*} y la figura que lo ilustra es la Figura 2.20.

La ecuación canónica de un cono elíptico con eje de simetría $Z$ es \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.\label{eq:2-20} \end{equation}

Tipo 5. Suponemos ahora $J$ positivo, por ejemplo $J=12$. La ecuación queda en la forma $2x^2+3y^2-4z^2+12=0$ y si multiplicamos por $-1$ y dividimos entre $12$, podemos escribir la ecuación así \begin{equation*} -\frac{x^2}{(\sqrt{6})^2}-\frac{y^2}{(\sqrt{4})^2}+\frac{z^2}{(\sqrt{3})^2}=1, \end{equation*} que guarda gran parecido con la ecuación del hiperboloide de revolución de dos mantos. Este hiperboloide de dos mantos no es de revolución porque los cortes con planos $z=\mbox{constante}, z\geq \sqrt{3}$, no son circunferencias, sino elipses (Figura 2.21).

La ecuación canónica de un hiperboloide de dos mantos con eje de simetría $Z$ es \begin{equation} -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.\label{eq:2-21} \end{equation}

Cuando $b=c$ tenemos el caso especial de un hiperboloide de revolución de dos mantos.

El lector queda encargado de verificar que si la ecuación analizada tiene los dos coeficientes de igual signo negativos, $-2x^2-3y^2+4z^2+J=0$, resultan los mismos tipos que obtuvimos. Pasamos entonces al Caso II.

CASO II. Uno de los coeficientes cuadráticos de la ecuación \eqref{eq:2-16} es cero, por ejemplo $C$, y en consecuencia debemos tomar en cuenta la posibilidad de que aparezca el término lineal correspondiente. Entonces, la ecuación que analizaremos es $Ax^2+By^2+Iz+J=0$.

Los tipos dependen no sólo de que los coeficientes cuadráticos no nulos $A$ y $B$ sean o no del mismo signo, sino del comportamiento de $I$ y de $J$.

Caso II. a. Si $A$ y $B$ tienen el mismo signo, como en $x^2+4y^2+Iz+J=0$, los tipos dependen de $I$ y de $J$.

Si $I=0$, para que la superficie no sea vacía debe ocurrir que $J$ tenga el signo opuesto al de $A$ y $B$ o sea cero.

Tipo 6. $I=0$, $J=0$ da la ecuación $2x^2+3y^2=0$ que obliga a $x=0$ y $y=0$ pero permite a $z$ tomar cualquier valor; es decir, el lugar geométrico consta de todos los puntos cuyas coordenadas sean del tipo $(0,0,z)$, un punto genérico del eje $Z$. Es decir, hemos obtenido una recta (como se ilustra en la Figura 2.22), que es un caso degenerado de cilindro, cuya ecuación canónica es

\begin{equation*} Ax^2+By^2=0\qquad\text{con}\qquad A,B > 0. \end{equation*}

Tipo 7. $I=0$ y $J$ con signo opuesto al de $A$ y $B$, por ejemplo $J=-4$; la ecuación toma la forma $x^2+4y^2-4=0$ que, al dividir entre $4$ puede escribirse como $\frac{x^2}{2^2}+y^2=1$, donde reconocemos la ecuación de un cilindro elíptico con generatrices paralelas al eje $Z$, cuya figura ya conocemos.

La ecuación canónica de un cilindro elíptico\index{cilindro!elíptico} con generatrices paralelas al eje $Z$ es

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\label{eq:2-22} \end{equation}

Tipo 8. Si $I\neq 0$, ya no importa el comportamiento de $J$ ni el signo de $I$, pues cualquiera de las ecuaciones siguientes corresponde a un paraboloide elíptico\index{paraboloide!elíptico} cuyo eje de simetría es el eje $Z$:

\begin{align*} x^2+4y^2+z=0, & & x^2+4y^2+z+1=0,\\ x^2+4y^2+-z=0, & & x^2+4y^2-z-1=0. \end{align*}

En la primera ecuación, el vértice del paraboloide es el origen y el paraboloide se abre hacia abajo pues la coordenada $z$ debe ser negativa o cero; en la segunda ecuación el vértice se localiza en $(0,0,-1)$ y el paraboloide se abre hacia abajo; en la tercera y la cuarta el paraboloide se abre hacia arriba y la diferencia es que el vértice del tercer paraboloide es $(0,0,0)$ mientras que en el cuarto el vértice es $(0,0,1.)$ El lector queda encargado de dibujarlos (vea Ejercicio 2.11).

La ecuación canónica de un paraboloide elíptico con eje de simetría $Z$ es

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z.\label{eq:2-23} \end{equation}

Note que los cortes con planos de la forma $z=\mbox{constante}$ son elipses, o un punto, o un conjunto vacío, mientras que los cortes con $x=\mbox{constante}$ ó $y=\mbox{constante}$ son parábolas.

Caso II. b. Si $A$ y $B$ tienen signos opuestos, como en $x^2-4y^2+Iz+J=0$, los tipos dependen de $I$ y de $J$.

Tipo 9. Suponemos primero $I=J=0$, la ecuación se reduce a $x^2-4y^2=0$, que siendo una diferencia de cuadrados puede escribirse así: $(x+2y)(x-2y)=0$.

Entonces al menos uno de los factores debe anularse, $x+2y=0$ ó $x-2y=0$. Como cada una de esas ecuaciones corresponde a un plano, el lugar geométrico es el par de planos que se cortan, (porque los vectores normales a los planos no son paralelos) dado por las dos ecuaciones anteriores.

Esta figura ya la conocemos y la ecuación canónica de dos planos cuya recta de intersección es paralela al eje $Z$ corresponde a

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.\label{eq:2-24} \end{equation}

Tipo 10. Tomemos ahora $I=0$, $J\neq 0$, como en $x^2-4y^2-1=0$. Reconocemos en esta ecuación la de un cilindro hiperbólico \index{cilindro!hiperbólico} cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable que falta, $z$ si la reescribimos como

\begin{equation*} \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{2^2}=1. \end{equation*}

La ecuación canónica de un cilindro hiperbólico con generatrices paralelas al eje $Z$ ya la habíamos obtenido: \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\label{eq:2-25} \end{equation} y la figura correspondiente aparece en la Figura 2.3.

Tipo 11. Cuando $I\neq 0$, para el tipo no importa ya el comportamiento de $J$ pues siempre obtendremos un paraboloide hiperbólico. El punto silla será el origen $(0,0,0)$ si $J=0$, o estará desplazado en el eje $Z$ hacia arriba o hacia abajo según $J$ sea menor que cero o mayor que cero.

La ecuación canónica de un paraboloide hiperbólico con eje de simetría $Z$ es

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z.\label{eq:2-26} \end{equation}

El lector queda encargado de dibujar los paraboloides hiperbólicos correspondientes a las cuatro ecuaciones siguientes:

\begin{align*} x^2-4y^2+z=0, && x^2-4y^2+z+1=0,\\ x^2-4y^2+-z=0, && x^2-4y^2-z-1=0. \end{align*}

CASO III. Dos de los coeficientes cuadráticos de la ecuación \eqref{eq:2-16} son cero, como ocurre en $Ax^2+Iz+J=0$ donde $A\neq 0$. Los distintos tipos están determinados por $I$ y $J$.

Caso III. a. Cuando $I=0$ los tipos están determinados por el comportamiento de $J$.

Tipo 12. Si $J=0$ la ecuación toma la forma \begin{equation} Ax^2=0\label{eq:2-27} \end{equation} que, como $A\neq 0$ implica $x=0$ pero deja en libertad a las otras dos variables; sabemos que esa ecuación corresponde al plano $YZ$, que debe considerarse un plano doble por la misma razón que obliga a tomar en cuenta que una raíz sea doble: no podemos desechar la información adicional proporcionada por un proceso. Recuérdese que la intersección doble de una recta con una circunferencia se da cuando tenemos tangencia, que es un caso relevante geométricamente.

Tipo 13. Si $J\neq 0$ con $I=0$, para que la ecuación no corresponda a un lugar vacío es necesario que el signo de $J$ sea opuesto al de $A$, como en $x^2-4=0$.

Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el producto de la suma por la diferencia, \begin{equation*} x^2-4=(x+2)(x-2), \end{equation*} vemos que se trata de dos planos paralelos, $x+2=0$ y $x-2=0$, que es un caso especial de cilindro. La ecuación canónica de dos planos planos paralelos a y equidistantes del plano coordenado $YZ$ es

\begin{equation} Ax^2+J=0\qquad \text{con}\qquad AJ <0\label{eq:2-28} \end{equation}

Caso III. b. Tipo 14. Cuando $I\neq 0$, ya no importa el comportamiento de $J$ pues en todos los casos tenemos un cilindro parabólico, como en $x^2+z=0$, del que ya teníamos conocimiento. La ecuación canónica de un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje $Z$ es

\begin{equation} Ax^2+Iz+J=0.\label{eq:2-29} \end{equation}

Con este último tipo terminamos la lista de superficies cuádricas, puesto que el análisis ordenado agotó todas las posibilidades.

Concluimos este capítulo invitando al lector a observar el cuadro Superficies cuádricas del video [RR], donde el paso de una superficie a otra se logra modificando sólo un coeficiente de la ecuación anterior. Para construir esa secuencia utilizamos de formas diversas un proceso continuo cuyo límite cambia el tipo de superficie. Por ejemplo, el paso de un elipsoide a un paraboloide se logra llevando uno de los vértices del elipsoide a un punto al infinito (recuerde la discusión en el caso de las cónicas), lo cual convierte elipses en parábolas.

Ejercicios