Cónicas

Las cónicas fueron descubiertas por Menaechmus (siglo IV a.C.), miembro de la Academia de Platón, como las curvas que resultan al cortar la superficie de un cono con un plano; la figura esquemática 1.1 muestra tres tipos distintos de cono (el ángulo en el vértice es menor, igual o mayor a $90^\circ$), donde la recta que representa el plano de corte es perpendicular a una de las rectas contenidas en el cono y que pasan por su vértice, llamadas generatrices.

Cuando el ángulo en el vértice es agudo, el plano perpendicular a una generatriz fija corta a todas las demás y la curva se llama (los nombres los puso Apolonio) elipse; cuando el ángulo en el vértice es recto hay una generatriz que es paralela al plano de corte y la curva se denomina parábola; finalmente, cuando el ángulo en el vértice es obtuso la curva de intersección será parte de una hipérbola. Esto último porque el cono que consideraremos será un cono de revolución completo, es decir, será el resultado de tomar dos rectas completas que se cortan y giran una mientras mantenemos fija la otra (use su imaginación o vea la Figura 1.2); entonces, en el tercer caso el plano de corte secciona a las dos partes (llamados mantos) del cono completo; la parte de la hipérbola en cada manto se llama rama.

Después analizaremos también qué resulta cuando el plano de corte pasa por el vértice del cono; esos son casos singulares de cónicas. Y finalmente estudiaremos las secciones de un cilindro, que puede considerarse un caso especial (caso límite) de cono cuando la recta que gira es paralela a la recta fija.

Es fácil obtener todos los tipos de cónica usando un solo cono como parte de un proceso continuo (vea la Figura 1.2): tome una cartulina y corte con ella el cono de luz que sale por el borde superior de la pantalla de una lámpara; permita a la cartulina tomar diversas inclinaciones, en todos los casos la zona iluminada queda delimitada por una cónica.

Una vez descubiertas las cónicas, los griegos se abocaron a estudiarlas; entre los muchos resultados obtenidos sobre estas curvas, nosotros aprovecharemos los que permiten dar para cada una su definición en términos de distancias: los conceptos de foco y directriz, conocidos ya por Euclides (siglo III a.C.) y consignados en el trabajo de Pappus (siglo IV d.C.) (vea [Kli90]).

Con esos conceptos es fácil dar la definición de cada cónica, trazarla y obtener su ecuación canónica, la que resulta cuando tomamos como ejes coordenados del sistema cartesiano a los ejes de simetría de la cónica en cuestión.

Pero como uno no siempre puede elegir el sistema coordenado, dado que a veces está dado de antemano y los ejes coordenados no necesariamente son los ejes de simetría de la cónica con la que debamos trabajar, conviene que el lector conozca cómo cambia la ecuación cuando los ejes coordenados son paralelos a los ejes de simetría de la cónica y también cuando ni siquiera son paralelos. Veremos ejemplos de esos casos.

A continuación damos la definición de cónica que abarca los tres casos usando el concepto de excentricidad; con él será fácil demostrar que las curvas estudiadas son secciones de un cono, lo cual cierra el ciclo.

Luego presentamos una propiedad utilísima, común a los tres tipos de cónica, la propiedad focal, que en el caso de la parábola nos dará pie a formalizar el concepto de punto al infinito, un concepto importante en geometría que pocas veces se formaliza.

Para finalizar, plantearemos una pregunta natural: ¿cuántos puntos determinan una cónica? Como veremos, la respuesta es muy sencilla si hemos convencido al lector de que cualquier ecuación de segundo grado en dos variables tiene como lugar geométrico una de las curvas estudiadas.

Trabajaremos con los tres tipos de cónica simultáneamente: primero damos las definiciones, después decimos cómo trazarlas, exhibimos sus simetrías e introducimos la nomenclatura de sus elementos principales; luego obtenemos sus ecuaciones canónicas, observando que el tipo de cónica corresponde al signo del producto de los coeficientes de la ecuación canónica. Con ello, cuando abordemos la definición general de cónica en términos de foco y directriz, daremos lugar al criterio de la excentricidad que nos permitirá mostrar qué las cónicas merecen su nombre.

Definiciones, trazado, simetrías

La elipse. En la época de los Luises, los jardineros franceses gustaban de introducir figuras geométricas en el diseño de sus jardines; una de ellas era la curva llamada elipse. Para obtenerla clavaban en la tierra dos estacas y anudaban en ellas los extremos de una cuerda; al tensar la cuerda con un palito y deslizarlo en la tierra manteniendo tirante la cuerda se dibujaba una elipse.

En la Figura 1.3, $F_1$ y $F_2$ representan las estacas, $P$ representa la punta del palito y la línea quebrada formada por los segmentos $F_2P$ y $PF_1$ corresponde a la cuerda, cuya longitud denotamos por $2a$. La definición formal es la siguiente.

Los puntos $F_1$ y $F_2$ se llaman focos, la recta que determinan es el eje focal, la mediatriz del segmento entre los focos se llama eje conjugado y los puntos $V_1$ y $V_2$ donde la curva corta el eje focal se llaman vértices, porque es donde la elipse se curva más.

Al trazar la parte baja de la elipse resulta una curva que es el reflejo, respecto al eje focal, de la parte superior, es decir, el punto simétrico de $P$ respecto al eje focal, $P'$, pertenece también a la elipse porque los segmentos $F_2P'$ y $P'F_1$ miden lo mismo que los correspondientes $F_2P$ y $PF_1$, por eso el eje focal es un eje de simetría de la elipse, ver la Figura 1.4.

También pertenece a la elipse el punto simétrico de $P$ respecto del eje conjugado, $P''$, por la misma razón que antes, y estas dos simetrías implican que hay un centro de simetría para la elipse, el punto $O$ de intersección de los dos ejes, pues para cada punto $P$ el punto $P'''$ tal que $O$ es punto medio de $PP'''$ pertenece también a la elipse; basta notar que los triángulos $F_2PF_1$ y $F_2P'''F_1$ son congruentes.

Así, los ejes focal y conjugado son ejes de simetría de la elipse, y la intersección de ambos ejes se llama el centro de la elipse.

El segmento del eje focal entre los vértices se llama eje mayor, el segmento del eje conjugado comprendido por la elipse se llama eje menor, y los segmentos de perpendicular al eje focal por los focos se llaman, cada uno, lado recto.

Es importante observar que la elipse está contenida en el rectángulo de lados $2a$ y $2b$ cuyas diagonales se cortan en el centro de la elipse, por eso decimos que la elipse es una curva acotada.

Note que si los focos se acercan hasta juntarse, la curva trazada con el método del jardinero sería una circunferencia, esa curva maravillosa algunas de cuyas propiedades pueden consultarse en [Cár13], en [Eve69] o en [HC52].

La parábola. Esta curva es muy familiar para cualquier persona, pues la trayectoria de cada una de las gotas del chorro de agua que lanza una manguera, es prácticamente una parábola si despreciamos la fricción del aire (ver la Figura 1.5); esto se debe a que cada gota juega el mismo papel que el proyectil disparado por un cañón, cuya trayectoria estudiaremos en la primera sección del Capítulo 3 (vea también «Movimiento parabólico» en wikipedia.org).

Pero pese a su abundancia en nuestro entorno, llegar a la definición que vamos a dar requirió algún tiempo. Tal vez, en parte, porque su forma se confundía con la catenaria, que también es fácil de observar cuando una cadena (de ahí el nombre) cuelga en reposo entre dos postes; las sogas de tender la ropa y los cables de luz también forman catenarias.

En el último capítulo, Aplicaciones, demostramos que la parábola y la catenaria son curvas distintas.

Para medir la distancia de un punto $P$ a una recta arbitraria ${\mathcal M}$ trazamos el segmento de perpendicular de $P$ a ${\mathcal M}$; la longitud de ese segmento es la distancia del punto $P$ a la recta ${\mathcal M}$.

En consecuencia, si trazamos perpendiculares a la recta ${\mathcal D}$ y por el pie $H$ de cada una trazamos el segmento $FH$, su mediatriz cortará a la perpendicular en un punto $P$ que equidista de ${\mathcal D}$ y de $F$ porque el triángulo $HPF$ es isósceles.

De la mera definición es inmediato observar (ver Figura 1.7) que la parábola es simétrica respecto a la recta ${\mathcal F}$ perpendicular a ${\mathcal D}$, pues el punto $P'$ reflejado de $P$ respecto a ${\mathcal F}$ cumple también la definición, según es inmediato de reflejar en ${\mathcal F}$ la construcción de la Figura 1.6.

La recta ${\mathcal D}$ se llama directriz de la parábola, el punto $F$ es el foco y la recta ${\mathcal F}$ es el eje focal. El punto sobre el eje focal que equidista de ${\mathcal D}$ y de $F$ se llama vértice, pues allí la parábola se curva más.

El segmento de perpendicular al eje focal por el foco es el lado recto de la parábola.

La directriz ${\mathcal D}$ divide al plano en dos semiplanos; en uno de ellos se ubican $F$ y todos los puntos de la parábola, así que esta vez no hay más eje de simetría que el eje focal y tampoco ocurre que algún punto del plano sea centro de simetría de la parábola.

A diferencia de la elipse, la parábola no es una curva acotada pues para cualquier punto $H$ en la directriz podemos repetir la construcción inicial de levantar la perpendicular por $H$, trazar la mediatriz del segmento $FH$ y cortar dicha mediatriz con la perpendicular para obtener un punto $P$ de la parábola que se alejará cada vez más del foco y de la directriz cuando $H$ avance sobre la directriz.

La hipérbola. Cuando en vez de sumar las distancias de un punto $P$ a dos puntos fijos $F_1$ y $F_2$ consideramos el valor absoluto de la diferencia de esas distancias (recuerde que la diferencia entre dos números depende del orden en que se consideren), resulta que $P$ describe una nueva curva que consta de dos partes.

Es muy importante observar que si sólo tomamos en cuenta la diferencia entre esas distancias dado un cierto orden entre ellas, sin considerar el valor absoluto de la diferencia, estaríamos reduciendo el lugar geométrico a una parte, una rama de la hipérbola. De hecho, una gran diferencia entre la hipérbola y las cónicas anteriores, elipse y parábola, es que la hipérbola consta de dos pedazos separados, llamados ramas (vea la Figura 1.8).

Los puntos $F_1$ y $F_2$ se llaman focos, la recta que determinan se llama eje focal y la mediatriz del segmento $F_1F_2$ se llama eje conjugado. Los puntos $V_1$ y $V_2$ de la hipérbola en el eje focal son los vértices, porque en ellos la curvatura es mayor.

Para obtener un punto $P_0$ en la hipérbola, basta trazar una circunferencia con centro en $F_1$ y otra con centro en $F_2$ cuyos radios difieran en $2a$. Los dos puntos $P_0$ y $P'_0$ en que se cortan las circunferencias satisfacen la condición impuesta en la definición.

Para obtener más puntos $P$ en la hipérbola determinada por $F_1$, $F_2$ y $2a$, basta trazar círculos de radios $P_0F_1+k$ y $P_0F_2+k$ para distintos valores de $k>0$; los puntos en que se corten ambas circunferencias pertenecerán a la hipérbola porque las dos distancias aumentaron la misma cantidad que se anulará en la resta. El hecho de que las circunferencias se corten en dos puntos, $P$ y $P'$, que satisfacen simultáneamente la condición para un punto de la hipérbola, muestra la simetría de la hipérbola respecto al eje focal, ver la Figura 1.9.

Note, además, que si reflejamos la construcción respecto al eje conjugado, la circunferencia con centro en $F_2$ se refleja en la circunferencia con centro en $F_1$ (y viceversa), y el valor absoluto de la diferencia se conserva. Por tanto, también el eje conjugado es un eje de simetría.

Finalmente, como estos ejes se cortan perpendicularmente, el punto de intersección $O$ es un centro de simetría.

Quien desee una demostración más formal, puede verificar que los triángulos $PF_1F_2$, $P'F_1F_2$, $P''F_1F_2$ y $P'''F_1F_2$ son todos congruentes, donde $P'$ es el punto simétrico de $P$ respecto al eje focal, $P''$ es simétrico de $P$ respecto al eje conjugado y $P'''$ es simétrico de $P$ respecto al punto $O$.

Hagamos ahora una comparación somera entre la elipse, la parábola y la hipérbola:

• La elipse es acotada (cabe en un rectángulo o circunferencia de medida apropiada); es una curva cerrada porque cuando la recorremos de manera continua regresamos al punto de partida; es simétrica respecto a su eje focal y al conjugado y tiene centro de simetría.
• La parábola no es acotada (podemos trazar perpendiculares a la directriz tan alto o tan bajo como queramos y en ellas hay un punto que satisface la condición de la definición); no es una curva cerrada; sólo es simétrica respecto al eje focal y no tiene centro de simetría.
• La hipérbola consta de dos partes separadas, llamadas ramas y no es acotada, pues el algoritmo de incrementar los radios de las circunferencias cuya intersección permite obtener puntos de la hipérbola es válido para cualquier valor del incremento $k$; es simétrica respecto a su eje focal y al conjugado y tiene centro de simetría.

Vayamos ahora a las llamadas ecuaciones canónicas de estas curvas.

Ecuaciones canónicas

La ecuación canónica de una curva del plano resulta de tomar como ejes coordenados rectas naturalmente relacionadas con la curva.

Vimos ya que para los tres tipos de curvas que estamos estudiando hay rectas que son ejes de simetría, dos en los casos de la elipse y de la hipérbola que, además se cortan perpendicularmente como lo hacen los ejes coordenados del sistema cartesiano usual, por eso los tomaremos como ejes coordenados.

En el caso de la parábola, sólo hay un eje de simetría pero desde la definición hay otra recta involucrada, la directriz, que es perpendicular al eje focal. Para que la ecuación resulte lo más sencilla posible, reemplazaremos a la directriz con una paralela conveniente, y ése será nuestro sistema coordenado.

Ecuación de la elipse. De acuerdo al comentario anterior, tomaremos como ejes coordenados a los ejes de simetría de la elipse.

La Figura 1.10 es prácticamente una copia de la Figura 1.3, pero en ella hemos introducido los nombres de los ejes (el eje $X$ es el eje focal), las coordenadas de los focos $F_1(c,0)$ y $F_2(-c,0)$, las de los vértices $V_1(a,0)$ y $V_2(-a,0)$, y las de un punto genérico $P(x,y)$ en la elipse.

Claramente, ubicar los focos en una recta horizontal, y en consecuencia la perpendicular en una recta vertical, se debe a razones tipográficas; lo único relevante es las rectas sean perpendiculares, pero es más cómodo tomarlos paralelos a los bordes de la hoja o del pizarrón.

Podemos escribir sintéticamente la definición de elipse así (léase: la elipse $\mathcal E$ consta del conjunto de puntos $P(x,y)$ en el plano cartesiano $\mathbb R^2$ tales que la distancia de $P$ a $F_1$ más la distancia de $P$ a $F_2$ es $2a$):

\begin{equation*} {\mathcal E} = \{P(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid d(P,F_1)+ d(P,F_2)= 2a\}. \end{equation*}

La distancia entre $P$ y $F_1$, lo mismo que la distancia entre $P$ y $F_2$, se calcula usando el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento $PF_1$ (resp. $PF_2$) y cuyos catetos se muestran en la Figura 1.10:

\begin{equation*} d(P,F_1)= \sqrt {(x-c)^2+(y-0)^2}, \qquad d(P,F_2)= \sqrt {(x+c)^2+(y-0)^2}. \end{equation*}

La condición impuesta en la definición implica que las coordenadas $x$ y $y$ del punto $P$ deben cumplir

\begin{equation*} \sqrt {(x-c)^2+y^2}+ \sqrt {(x+c)^2+y^2}=2a. \end{equation*}

Para obtener una ecuación en la que no aparezcan radicales, primero dejamos los radicales en lados distintos del signo igual (cuidado con los signos) y después elevamos al cuadrado, resulta

\begin{equation*} (x-c)^2+y^2= 4a^2 - 4a \sqrt {(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2. \end{equation*}

Como todavía tenemos un radical en uno de los sumandos, deberemos volver a elevar al cuadrado después de aislarlo, pero antes conviene desarrollar los cuadrados fuera del radical para reducir términos semejantes: \begin{equation*} x^2-2cx+c^2+y^2= 4a^2 - 4a \sqrt {(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2. \end{equation*} La reducción de términos semejantes da lugar a una ecuación más sencilla \begin{equation*} -4cx=4a^2-4a\sqrt {(x+c)^2+y^2}. \end{equation*} Dividimos entre $-4$, aislamos el radical en el miembro derecho y volvemos a elevar al cuadrado, para obtener \begin{equation*} c^2x^2+2a^2cx+a^4=a^2((x+c)^2+y^2). \end{equation*} Al desarrollar el cuadrado en el miembro derecho resulta \begin{equation*} c^2x^2+2a^2cx+a^4=a^2x^2+2a^2xc+a^2c^2+a^2y^2. \end{equation*} Después de simplificar dejamos en el miembro izquierdo los términos con las variables: \begin{equation*} (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2). \end{equation*} El término constante de la derecha no se anula porque la distancia $2a$ debe ser mayor que la distancia $2c$, de lo contrario no podríamos anudar la cuerda de largo $2a$ a las estacas separadas una distancia $2c$, y de hecho $a>c$, lo cual implica que podemos escribir $a^2-c^2=b^2$ para algún número positivo $b$.

Si ahora dividimos ambos miembros de la ecuación entre $a^2(c^2-a^2)$ y usamos el valor de $a^2-c^2$ que acabamos de introducir, obtenemos la ecuación canónica de una elipse con eje focal $X$:

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\label{eq:1.1} \end{equation}

Notemos que la ecuación canónica de una elipse tiene términos cuadráticos en $x$ y en $y$, el producto de los coeficientes cuadráticos es positivo, no tiene término mixto (término en $xy$) y no hay términos lineales.

De la ecuación canónica podemos «leer» las características de la elipse: su eje focal es $X$ porque el denominador de $x^2$ es mayor que el denominador de $y^2$; la longitud del eje mayor, el segmento entre los vértices es $2a$ y la longitud del eje menor, el segmento del eje conjugado comprendido por la elipse, es $2b$, y para obtener la distancia entre los focos sólo debemos recordar que $c^2=a^2-b^2$.

El lector comprobará en el Ejercicio 1.1 que cuando el denominador de $y^2$ sea mayor que el denominador de $x^2$, se debe a que los focos están ubicados en el eje $Y$.

Le pedimos también considerar que si los focos se han acercado hasta volverse uno solo, al tensar la cuerda para trazar la curva correspondiente resulta $a=b$ y obtenemos una circunferencia; la ecuación es

\begin{equation*} x^2+y^2=a^2. \end{equation*} Es decir, la circunferencia es un caso particular de elipse.

Ecuación de la parábola. Una recta naturalmente involucrada en la figura 1.11 es la directriz, que ciertamente no es un eje de simetría.

Como el único eje de simetría es el eje focal, conviene tomarlo como eje $X$ y como eje $Y$ preferimos tomar la paralela a la directriz que pasa por el vértice, porque así el origen pertenece a la parábola y la ecuación resulta lo más sencilla posible, como veremos.

La Figura 1.11 contiene varios elementos de la Figura 1.6, pero hemos introducido los nombres de los ejes, las coordenadas del foco $F(p,0)$ y las de un punto genérico $P(x,y)$. La condición que define a la parábola puede escribirse así (haga el ejercicio de leerla apropiadamente):

\begin{equation*} \mathcal{P} = \{P(x,y)\in {\mathbb{R}^2} \mid d(P,F)= d(P,{\mathcal{D}})\}. \end{equation*}

La ubicación del foco en la parte positiva del eje $X$ tiene como consecuencia que la abscisa $x$ de un punto genérico $P(x,y)$ en la parábola satisfaga la condición $x\geq 0$ (lo cual indica hacia donde se abre la parábola), mientras que la directriz satisface la ecuación $x=-p$ porque el vértice debe distar lo mismo de la directriz que del foco, cuyas coordenadas son $(p,0)$.

La distancia de un punto $P(x,y)$ en la parábola al foco está dada por \begin{equation*} d(P,F)= \sqrt {(x-p)^2+y^2}, \end{equation*} mientras que la distancia de $P(x,y)$ a ${\mathcal D}$, que es la longitud del segmento de perpendicular de $P$ a ${\mathcal D}$, está dada por \begin{equation*} d(P,{{\mathcal D}})=x+p. \end{equation*} Entonces, la condición que define a la parábola equivale a \begin{equation*} \sqrt {(x-p)^2+y^2}=x+p. \end{equation*}

Esta vez sólo debemos elevar una vez al cuadrado para eliminar el radical \begin{equation*} (x-p)^2+y^2=(x+p)^2, \end{equation*} y al desarrollar los cuadrados obtenemos en los dos miembros el término $x^2$ que, en consecuencia, puede cancelarse dando lugar a la ecuación canónica de la parábola con eje focal en $X$ y foco en la parte positiva del eje $X$ (porque $\mathcal D$ pertenece al semiplano izquierdo): \begin{equation} y^2=4px.\label{eq:1.2} \end{equation}

Al examinar la ecuación canónica de una parábola constatamos que sólo una de las variables aparece con grado $2$ (en este caso es $y$), mientras que la otra aparece con grado 1; no hay término mixto. En consecuencia, el producto de los coeficientes de los términos cuadráticos es cero, hecho que caracteriza a una parábola en posición canónica.

El lector queda encargado de obtener las ecuaciones correspondientes al caso en que el eje focal sea también $X$ pero con el foco ubicado en el rayo negativo, lo mismo deberá obtener en los dos casos posibles cuando el eje focal es $Y$ y el foco se ubica en uno de los rayos o en el otro; le pedimos notar que en todos esos casos sólo una de las variables tiene grado 2 mientras que la otra aparece con grado 1 y, en consecuencia, el producto de los coeficientes cuadráticos es cero.

La ecuación canónica de una parábola permite leer algunas de sus características: el eje focal corresponde a la variable de primer grado ($x$ en nuestra ecuación canónica), el valor absoluto de la cuarta parte del coeficiente de $x$ corresponde al parámetro $p$ y el signo de ese coeficiente nos indica si la parábola se abre a la derecha, cuando el coeficiente es positivo, o a la izquierda si es negativo.

El lector deberá analizar las características cuando el eje focal de la parábola sea $Y$.

Ecuación de la hipérbola. Cuando definimos la hipérbola obtuvimos inmediatamente dos ejes de simetría perpendiculares entre sí; conviene entonces tomarlos como ejes coordenados, el eje focal será el eje $X$ y el conjugado será el eje $Y$. Con eso, el origen será un centro de simetría y tendremos una ecuación lo más sencilla posible.

En la Figura 1.12 hemos señalado los nombres de los ejes, introducido coordenadas para los focos $F_1(c,0)$ y $F_2(-c,0)$ y las de un punto genérico $P(x,y)$. Aparecen también, punteadas, dos rectas llamadas asíntotas de la hipérbola porque la hipérbola se acerca a ellas tanto como se quiera sin llegar a cortarlas.

Demostraremos más adelante que la recta tangente a la hipérbola en uno de sus puntos tiende a tomar la posición de la asíntota a la que se aproxima cuando el punto de la hipérbola se aleja del centro.

El concepto de asíntota es muy importante en geometría, en cálculo y en probabilidad. El lector debe haber visto que en el trazo de la gráfica de la función tangente suelen aparecer punteadas las rectas verticales sobre los puntos del eje $X$ correspondientes a $\pi/2$, $-\pi/2$, etc. (Vea [Cru09] o [Kli98].)

Recordemos ahora la condición sobre los puntos de una hipérbola: el valor absoluto de las distancias de $P$ a los focos $F_1$ y $F_2$ es una constante denotada por $2a$, es decir, \begin{equation*} \mathcal{H} = \{P(x,y)\in {\mathbb{R}^2} \mid |d(P,F_1) - d(P,F_2)|= 2a\}. \end{equation*}

El cálculo de las distancias en términos de las coordenadas es el mismo que en el caso de la elipse: \begin{equation*} d(P,F_1)= \sqrt {(x-c)^2+(y-0)^2}, \qquad d(P,F_2)= \sqrt {(x+c)^2+(y-0)^2}, \end{equation*} pero ahora no podemos separar los radicales porque tenemos involucrado el valor absoluto), así que empezamos por elevar al cuadrado ambos miembros: \begin{equation*} \left(\sqrt {(x-c)^2+y^2} - \sqrt {(x+c)^2+y^2}\right)^2=4a^2 \end{equation*} y al desarrollar el cuadrado del lado izquierdo obtenemos \begin{equation*} (x-c)^2+y^2-2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2=4a^2. \end{equation*}

Ahora sí, podemos dejar en uno de los miembros el producto de los radicales para elevar al cuadrado y obtener una ecuación sin radicales (en el lado derecho hemos desarrollado los cuadrados y reducido términos semejantes): \begin{equation*} -2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2-2(x^2+y^2+c^2). \end{equation*} Dividimos ambos miembros entre $-2$ y elevamos al cuadrado, resulta \begin{equation*} [(x-c)^2+y^2][(x+c)^2+y^2]=[-2a^2+(x^2+y^2+c^2)]^2. \end{equation*} Desarrollamos primero los cuadrados tanto en los factores de la izquierda \begin{equation*} [x^2-2xc+c^2+y^2][x^2+2xc+c^2+y^2], \end{equation*} como en el miembro derecho \begin{equation*} 4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+x^4+y^4+c^4+2x^2y^2+2x^2c^2+2y^2c^2. \end{equation*} Después de efectuar la multiplicación del miembro izquierdo resulta \begin{equation*} x^4 + c^4 + y^4 + 2x^2 c^2 + 2x^2 y^2 + 2c^2y^2 - 4x^2c^2. \end{equation*} En ambos miembros aparecen $x^4$, $y^4$, $c^4$, $2x^2y^2$ y $2y^2c^2$ y podemos cancelarlos, mientras que los términos en $2x^2c^2$ pueden simplificarse y finalmente queda \begin{equation*} -4x^2c^2+4a^2x^2+4a^2y^2=4a^4-4a^2c^2. \end{equation*}

Si escribimos el término de la derecha como $4a^2(a^2-c^2)$ podemos demostrar que no se anula porque, a diferencia del caso de la elipse, en una hipérbola $c>a$, como lo muestra la figura 1.13 al aplicar la desigualdad del triángulo respecto al lado largo, $PF_2$.

Si en ambos miembros de $PF_2\leq F_2F_1+PF_1$ restamos $PF_1$ resulta \begin{equation*} PF_2- PF_1\leq F_2F_1. \end{equation*}

La diferencia de la izquierda coincide con su valor absoluto porque cuidamos de considerar el lado largo, pero ese valor absoluto es justamente $2a$ mientras que el lado derecho es justamente $2c$, es decir $2a\leq 2c$, como lo habíamos afirmado. Entonces, en la ecuación que teníamos podemos dividir ambos miembros entre el término de la derecha y, ya que $c>a$, podemos establecer que $c^2-a^2=b^2$ para algún número $b$ positivo. Con todo eso llegamos a la ecuación canónica de una hipérbola cuyo eje focal es $X$: \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\label{eq:1.3} \end{equation}

Esta ecuación canónica no tiene término mixto ni términos lineales y como los coeficientes de los términos cuadráticos tienen signos opuestos, su producto es negativo. Note que, como en la ecuación canónica de la elipse, a la derecha del signo igual aparece sencillamente $1$.

En el Ejercicio 1.3 pedimos al lector obtener la ecuación canónica de una hipérbola cuyo eje focal sea el eje $Y$ y cuyo eje conjugado sea el eje $X$. Observará que el coeficiente positivo corresponde a $y^2$ y el negativo a $x^2$, y en el Ejercicio 1.4 comprobará que mientras que en la elipse necesariamente $a>b$, en la hipérbola eso no sucede necesariamente.

Como en el caso de la elipse y en el de la parábola, la ecuación canónica de una hipérbola permite leer sus características: el eje focal corresponde a la variable cuyo coeficiente sea positivo, $a$ será la raíz cuadrada del denominador del término positivo, la distancia entre los vértices es $2a$, y tomando como $b$ la raíz cuadrada del denominador del término negativo, la distancia entre los focos es $2c$ donde $c^2=a^2-b^2$.

La ecuación canónica nos servirá para demostrar que la hipérbola tiene asíntotas, como ya lo habíamos anunciado. La palabra asíntota significa «que no corta», pero en matemáticas pedimos más.

Decimos que una recta es asíntota de una curva suave si, además de que la recta $\mathcal A$ no corte a la curva $\mathcal C$, se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. La distancia de un punto en la curva $\mathcal C$ a la recta $\mathcal A$ tiende a cero cuando el punto de la curva se aleja indefinidamente de un punto fijo.
2. La pendiente de la tangente en un punto de $\mathcal C$ tiende a la pendiente de $\mathcal A$ cuando el punto de la curva se aleja indefinidamente de un punto fijo.

La Figura 1.14 muestra cómo se mide la distancia de un punto $P$ en la hipérbola a la asíntota: es la longitud del segmento $PH$ perpendicular a $\mathcal A$. Como lo muestra la hipérbola, una misma curva puede tener dos asíntotas, una para cada dirección de su recorrido.

De hecho, la Figura 1.12 muestra que cada rama tiende a una asíntota distinta dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto. El concepto de asíntota pertenece a la Geometría Afín, donde se le da un sentido riguroso al concepto de punto al infinito (véanse [HC52], [RS07] o [RS10]).

Las rectas punteadas son simplemente las diagonales del rectángulo que tiene el mismo centro que la hipérbola y cuyos lados miden $2a$ y $2b$, es decir, son las rectas que satisfacen \begin{equation*} y=\frac{b}{a}x \qquad \text{y} \qquad y=-\frac{b}{a}x, \end{equation*} donde $a$ y $b$ son los parámetros que aparecen en la ecuación canónica.

Como la hipérbola es simétrica respecto a sus dos ejes, basta trabajar únicamente en el primer cuadrante, donde a la pretendida asíntota la denotaremos por $L$.

La distancia de un punto $P(x,y)$ del primer cuadrante que pertenece a la hipérbola, a la recta $L$ es la longitud del segmento de perpendicular de $P$ a $L$. Esa longitud es la de un cateto del triángulo rectángulo formado por el punto $P$, el pie $H$ de la perpendicular a la recta, y la intersección $P_\ell $ de la paralela al eje $Y$ que pasa por $P$ con $L$.

Note que para un mismo valor de $x$, la ordenada $y_\ell $ del punto en la recta es mayor que la ordenada $y_h$ del punto en la rama de la hipérbola; en consecuencia la rama de la hipérbola y la recta $L$ no se cortan.

Como el segmento vertical $PP_\ell $ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $PHP_\ell $, su longitud es mayor que el cateto correspondiente a la distancia de $P$ a $L$. Entonces, si verificamos que la diferencia de las ordenadas de $P_\ell $ y $P$ tiende a $0$ cuando $x$, que es el parámetro, tiende a infinito, habremos demostrado que la hipotenusa $PP_\ell $ tiende a cero y, por el Teorema de Pitágoras, también el cateto $PH$ tiende a cero, que es la condición 1 para una asíntota.

Las ordenadas de los puntos de la recta y de la hipérbola correspondientes a la misma $x$ son, respectivamente, \begin{equation*} y_\ell =\frac{b}{a} x \qquad \text{y}\qquad y_h = \frac{b}{a}\sqrt {x^2-a^2}. \end{equation*}

La diferencia $y_\ell -y_h$ puede expresarse así, si en el término central multiplicamos y dividimos por un mismo número: \begin{align*} \frac{b}{a}\left(x-\sqrt {x^2-a^2}\right) & = \frac{b}{a}\left(x-\sqrt {x^2-a^2}\right) \frac{x+\sqrt {x^2-a^2}}{x+\sqrt {x^2-a^2}} \\ &= \frac{b}{a}\left(\frac{a^2}{x + \sqrt {x^2-a^2}}\right). \end{align*}

Cuando $x$ tiende a infinito el último cociente tiende a $0$, es decir, la distancia de un punto de la hipérbola a la asíntota tiende a cero cuando el parámetro tiende a infinito, que es la primera condición en la definición de asíntota.

La segunda condición es que la pendiente de la recta tangente a la hipérbola en un punto tienda a la pendiente de la recta en cuestión cuando el punto se aleja indefinidamente de un punto fijo, que podemos tomar como el origen. Entonces, en particular la abscisa $x$ tiende a infinito.

La posición de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos se alcanza como el límite de las cuerdas que tienen ese punto como extremo inicial cuando el extremo final se acerca al inicial; entonces, la pendiente de las cuerdas tiene como límite la pendiente de la tangente.

Ese proceso geométrico se traduce en el cálculo de la derivada de la expresión de $y_h$ términos de $x$ obtenida anteriormente (vea [Kli98]).

La derivada de $y_h$ respecto a $x$ es \begin{align*} y'(x)& = \frac{b}{a}(1/2)(x^2-a^2)^{-1/2}(2x) \\ & = \frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \frac{b}{a} \frac{1}{\sqrt{1-(a^2/x^2)}}. \end{align*}

Cuando $x$ tiende a infinito, el radical del denominador tiende a 1 y $y'(x)$ tiende a $b/a$ como habíamos afirmado.

Ahora basta recordar las ya mencionadas simetrías de la hipérbola para asegurar que la hipérbola tiene como asíntotas las diagonales del rectángulo cuyo centro es el de la hipérbola, cuyos lados son paralelos a los ejes de la misma y con longitudes iguales a las de los ejes mayor y menor.

Ecuaciones bajo una traslación

Para obtener las ecuaciones canónicas tomamos un sistema coordenado especial, pues el eje $X$ coincidió siempre con el eje focal de la cónica teniendo por ello la virtud de ser un eje de simetría.

Pero en muchas ocasiones el sistema coordenando estará dado de antemano y el eje focal de una cónica puede no coincidir con el eje $X$. En esos casos la ecuación no será canónica y nos interesa que el lector conozca cuáles son los cambios que sufren las ecuaciones. Abordaremos primero el caso en que los ejes de simetría de una cónica $\mathcal C'$ sean paralelos a los ejes coordenados; entonces el centro de la elipse o de la hipérbola, o el vértice la parábola tendrá coordenadas $(h,k)\neq (0,0)$.

La Figura 1.15 muestra que la cónica $\mathcal C'$ (en este caso una elipse), puede verse como el resultado de aplicar la traslación por $(h,k)$ a una elipse en posición canónica $\mathcal C$, es decir, $P'(x',y')\in \mathcal C'$ resulta de sumar $(h,k)$ a $P(x,y)\in \mathcal C$, \begin{equation} (x',y')=(x,y)+(h,k).\label{eq:1.4} \end{equation}

Para la elipse en posición canónica, el punto $P(x,y)$ satisface la ecuación \eqref{eq:1.1}, \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \end{equation*} y como de \eqref{eq:1.4} es inmediato expresar $(x,y)$ en términos de $(x',y')$ y de $(h,k)$, \begin{equation} (x,y)=(x',y')-(h,k)= (x'-h,y'-k),\label{eq:1.5} \end{equation} basta sustituir \begin{equation} x=x'-h,\quad y=y'-k\label{eq:1.6} \end{equation} en \eqref{eq:1.1} para obtener la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los coordenados y centro $(h,k)$ \begin{equation*} \frac{(x'-h)^2}{a^2}+\frac{(y'-k)^2}{b^2}=1. \end{equation*}

Lo análogo ocurre para una parábola y para una hipérbola cuyo eje focal sea paralelo al eje $X$; en el caso de una parábola trasladada cuyo vértice sea $(h,k)$ la ecuación es \begin{equation*} (y'-k)^2=4p(x'-h), \end{equation*} y para la hipérbola trasladada cuyo vértice es $(h,k)$, la ecuación es \begin{equation*} \frac{(x'-h)^2}{a^2}-\frac{(y'-k)^2}{b^2}=1. \end{equation*}

Como un ejemplo, tomamos una parábola $\mathcal P$ con ecuación canónica que abre hacia abajo, con $p=3$ y la trasladamos por $(h,k)=(-2,1)$. La ecuación de la parábola trasladada $\mathcal P'$ es \begin{equation*} (y'-1)^2=12(x'+2), \end{equation*} la ilustración de las dos parábolas $\mathcal P$ y $\mathcal P'$ aparece en la Figura 1.16.

Como antes lo hicimos en el caso de ecuaciones canónicas, analizamos sus características: ninguna de las ecuaciones de una cónica con ejes paralelos a los coordenados tiene término en $xy$ y para discriminar su tipo basta tomar el producto de los coeficientes de los términos $(x-h)^2$ y $(y-k)^2$: si el producto es positivo y en el miembro derecho tenemos un número positivo, se trata de una elipse, si el producto es cero se trata de una parábola y si el producto es negativo tenemos una hipérbola.

La exigencia de que el miembro derecho deba ser positivo en una ecuación tipo elipse, se explica porque los casos \begin{equation*} (x-1)^2+(y+2)^2=-12,\qquad 4(x-1)^2+(y+2)^2=0, \end{equation*} corresponden al conjunto vacío el primero, pues ninguna suma de cuadrados de números reales puede ser negativa (se le puede llamar círculo imaginario), y el segundo corresponde a sólo un punto, $(1,-2)$, puesto que la suma de dos cuadrados se anula sólo si cada sumando se anula, lo cual implica $x=1$, y $y=-2$.

Por razones obvias, el procedimiento anterior se llama criterio del discriminante: para determinar cuál es el lugar geométrico correspondiente a una ecuación de segundo grado en las variables $x$ y $y$ sin término mixto y que tiene términos lineales basta fijarnos en los coeficientes de los términos cuadráticos: si el producto es positivo será una elipse (con la salvedad anotada antes), si se anula es una parábola y si es negativo será una hipérbola.

Para hacer el dibujo, basta completar cuadrados para ubicar el punto $(h,k)$ al que se trasladó el centro de la elipse o hipérbola, o el vértice en el caso de la parábola; eso lo pedimos en uno de los ejercicios.

Ecuaciones en un sistema arbitrario

Cuando el sistema coordenado esté dado de antemano y los focos de, por ejemplo, una elipse sean los puntos $F_2(-2,-1)$ y $F_1(3,1)$ con $2a=10$ (vea la Figura 1.17), en la ecuación de la elipse aparecerá un término mixto, como comprobamos enseguida.

Para obtenerla, partimos de la definición de elipse, \begin{equation*} \mathcal{E} = \{P(x,y)\in {\mathbb{R}^2} \mid d(P,F_1)+ d(P,F_2)= 2a\}. \end{equation*}

Primero calculamos las distancias con la fórmula habitual \begin{equation*} d(P,F_1)= \sqrt {(x-3)^2+(y-1)^2}, \qquad d(P,F_2)= \sqrt {(x+2)^2+(y+1)^2} \end{equation*} y luego establecemos la condición de la definición \begin{equation*} \sqrt {(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt {(x+2)^2+(y+1)^2}=10. \end{equation*} Para eliminar los radicales, elevamos al cuadrado ambos miembros; en el término del doble producto aparece un producto de radicales, pero bastará aislarlo y volver a elevar al cuadrado. Primero elevamos al cuadrado y agrupamos términos semejantes; obtenemos \begin{equation*} 2x^2-2x+2y^2+15+2\sqrt {(x-3)^2+(y-1)^2}\sqrt {(x+2)^2+(y+1)^2}=100. \end{equation*}

Aislamos en un miembro el término con radicales (cuide los signos) \begin{equation*} 2\sqrt {(x-3)^2+(y-1)^2}\sqrt {(x+2)^2+(y+1)^2}=-2x^2+2x-2y^2+85, \end{equation*} y volvemos a elevar al cuadrado ambos miembros; del primero resulta \begin{equation*} 4(x^2-6x+9+ y^2-2y+1)(x^2+4x+4+y^2+2y+1) \end{equation*} y del segundo obtenemos \begin{equation*} 4x^4+4x^2+4y^4+(85)^2-8x^3+8x^2y^2-4(85)x^2-8xy^2+4(85)x. \end{equation*} Realizamos la multiplicación del primer miembro \begin{equation*} 4(x^4+y^4+2x^2y^2-2x^3-2y^2x-9x^2+15y^2 -20xy+10x+10y+50), \end{equation*} y luego simplificamos: \begin{equation*} 4x^4+4y^4+8x^2y^2-8x^3-8xy^2-36x^2+60x^2 -80xy+40x+40y+200. \end{equation*}

Es importante notar que los términos de grado mayor a 2 desaparecen al simplificar y la ecuación se reduce a una de segundo grado, pero con un término mixto que no apareció ni en el caso canónico ni en el caso de que el eje focal fuera paralelo a uno de los ejes coordenados, \begin{equation*} 300x^2+400y^2-80xy-300x+40y-7025=0. \end{equation*}

De hecho, la aparición de un término en $xy$ indica que el eje focal de la elipse no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados.

Lo mismo es cierto para toda ecuación de segundo grado en dos variables: si el lugar geométrico no es vacío, los puntos $(x,y)$ que la satisfacen conforman siempre una elipse, una parábola o una hipérbola, o tal vez un caso singular de ellas, y la aparición de un término mixto denota que el eje focal no es paralelo a uno de los ejes coordenados.

La demostración de lo anterior se reduce a encontrar una rotación que lleve el eje focal a ser paralelo a uno de los ejes coordenados, y como esa demostración es mucho más sencilla usando los conceptos de valor y vector propio, preferimos no hacerla aquí y remitir al lector al libro [Ram13].

Si aceptamos esta afirmación podemos escribir

«Toda ecuación de segundo grado en dos variables \begin{equation*} Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+J=0 \end{equation*} cuyo lugar geométrico no sea vacío, es la ecuación de una elipse, una parábola o una hipérbola, o uno de sus casos singulares».

En [Ram13] se demuestra que el tipo de cónica para esta ecuación general depende del comportamiento del discriminante, que en el caso general incluye el coeficiente $B$ del término mixto, $AC-B^2$. El criterio del discriminante afirma que $AC-B^2$ es mayor que cero para una elipse, cero para una parábola y menor que cero para una hipérbola.

Discriminante y excentricidad

En el inciso siguiente haremos la demostración formal de que el tipo de cónica obtenida al cortar un cono con un plano depende de la relación de tricotomía entre las medidas de dos ángulos, el formado entre el eje del cono y una generatriz cualquiera (denotado por $\theta$), y el formado entre el eje del cono y el plano de corte (denotado por $\phi$): \begin{equation*} \theta \menorque \phi,\quad \theta=\phi\quad \text{o}\quad \theta> \phi. \end{equation*} Para ello utilizaremos una definición de cónica que es común a los tres tipos, y cuya ecuación indica el tipo de cónica a partir de la relación de tricotomía entre $1$ y un número $e$ llamado la excentricidad de la cónica que, como veremos, se expresa precisamente en términos de los cosenos de esos ángulos. He aquí la definición.

Como es claro de la escritura sintética de la definición, \begin{equation} \mathcal{C} = \{P(x,y)\in {\mathbb{R}^2} \mid d(P,F)= e\cdot d(P,{{\mathcal D}})\};\label{eq:1.7} \end{equation} la curva será una parábola cuando $e=1$.

Pero basta experimentar con $e=1/3$ para constatar que esa curva se cierra (lo cual implica que debe ser una elipse) y con $e=3$ para convencerse de que en ese caso la curva consta de dos partes separadas, debiendo corresponder entonces a una hipérbola (vea la Figura 1.18).

Para obtener la ecuación canónica de $\mathcal C$, notamos que la perpendicular desde $F$ a ${\mathcal D}$ es un eje de simetría de la curva y conviene tomarla como eje $X$, mientras que la directriz $\mathcal D$ es un candidato natural para el eje $Y$.

Con este sistema coordenado, siendo $(x,y)$ las coordenadas de un punto arbitrario $P$ del lugar geométrico, y $(p,0)$ las de $F$, como lo muestra la figura 1.19, el cálculo de las distancias mencionadas en la definición es (la coordenada $x$ de $P$ es positiva porque $P$ pertenece al primer cuadrante) \begin{equation*} d(P,F)=\sqrt{(x-p)^2+y^2}, \qquad d(P,F)=x, \end{equation*} y de acuerdo a la definición debe cumplirse \begin{equation*} \sqrt{(x-p)^2+y^2}= ex, \end{equation*} que elevando al cuadrado da \begin{equation*} x^2-2px+p^2+y^2=e^2x^2. \end{equation*}

Entonces, la ecuación canónica de una cónica general es \begin{equation} (1-e^2)x^2+y^2-2px+p^2=0.\label{eq:1.8} \end{equation}

Como esta ecuación carece de término mixto, y el signo del coeficiente de $x^2$ (que coincide con el signo del producto de los coeficientes cuadráticos porque el de $y^2$ es $1$) es positivo si $e^2 \menorque 1$, negativo si $e^2>1$ y el coeficiente se anula si $e=1$, podemos usar estas desigualdades para discriminar cuándo la ecuación corresponde a una elipse, una parábola o una hipérbola, originando así el criterio de la excentricidad.

Criterio de la excentricidad. La ecuación de una cónica general, \eqref{eq:1.8}, corresponde a una elipse si $e \menorque1$, una parábola si $e=1$ y una hipérbola si $e>1$.

Antes de dar por concluido este inciso, es natural preguntarnos qué hubiera ocurrido al colocar $F$ a la izquierda de ${\mathcal D}$. Pedimos al lector hacer los dibujos correspondientes; encontrará que nuevamente para $e=1/3$ la curva se cierra, y para $e=3$, tiene dos partes y si introduce el sistema coordenado donde ${\mathcal D}$ coincide con el eje $Y$ y la perpendicular a ${\mathcal D}$ es el eje $X$, ahora con $F$ en el semieje negativo, obtendrá una elipse y una hipérbola, respectivamente.

Eso es natural puesto que ya sabemos que la elipse y la hipérbola son simétricas respecto al eje conjugado, así que estas dos cónicas tienen dos directrices, una por cada foco.

La aparición de esas otras directrices se explica geométricamente en el ejercicio 1.10.

Secciones de un cono (incluyendo casos singulares)

Como lo mencionamos al inicio del capítulo, consideraremos un cono de revolución formado por rectas completas, sus generatrices. Denotaremos por $\theta$ el ángulo entre el eje $\mathcal E$ de revolución y cualquier generatriz, y cortaremos el cono con un plano $\Pi$ que no pase por el vértice del cono; llamaremos $P$ a un punto genérico de la intersección.

El ángulo entre el eje del cono $\mathcal E$ y el plano de corte $\Pi$ se mide proyectando el eje $\mathcal E$ perpendicularmente sobre $\Pi$ para obtener una recta ${\mathcal F}$ que pasa por el punto de intersección de $\mathcal E$ con $\Pi$; el ángulo entre las dos rectas $\mathcal E$ y ${\mathcal F}$ es $\phi$.

El dibujo esquemático de la Figura 1.20 muestra que cuando el ángulo $\phi$ es mayor que $\theta$, el plano $\Pi$ corta a todas las generatrices de un mismo manto del cono; cuando $\phi$ es igual a $\theta$, el plano corta a todas las generatrices menos la que es paralela a $\Pi$; y cuando $\phi$ es menor que $\theta$ el plano $\Pi$ corta ambos mantos del cono, por lo cual la intersección consta de dos pedazos separados. Por ello esperamos que $\phi > \theta$ origine una elipse, $\phi = \theta$ origine una parábola y $\phi \menorque\theta$ dé lugar a una hipérbola.

La demostración se hará con base en la definición general de cónica, por eso debemos ubicar en el plano $\Pi$ una recta ${\mathcal D}$ que juegue el papel de directriz y un punto $F$ que tome el papel de foco, así como encontrar un número que juegue el papel de la excentricidad $e$ que aparece en la ecuación \eqref{eq:1.7}.

La idea se debe a Germinal Dandelin, quien en 1822 utilizó el hecho de que en un cono infinito es posible meter esferas tan grandes como se quiera y si además se pide que la esfera sea tangente también al plano de corte, hay sólo dos cuando los ángulos $\theta$ y $\phi$ son distintos: una del mismo lado que el vértice y otra del lado opuesto, y sólo una en el caso en que $\theta = \phi$ (¿puede decir por qué?).

Note que una esfera «atorada» (tangente) dentro de un cono toca a todas las generatrices en puntos igualmente alejados del vértice que forman una circunferencia. En cambio, la tangencia entre un plano y una esfera ocurre sólo en un punto.

Nosotros sólo utilizaremos una esfera en el caso $\theta \neq \phi$, la que está cerca del vértice y que llamaremos $S$, y dejaremos como tarea para el lector hacer lo propio con la otra.

Observe que hemos denotado con letras apropiadas los distintos elementos de la figura 1.21. Para el eje del cono usamos $\mathcal E$; el vértice del cono será $V$; el plano de corte, $\Pi$; la esfera tangente al cono y al plano se denota por $\mathcal S$; la circunferencia en que la esfera $\mathcal S$ toca al cono será $\mathcal C$; el plano que contiene a $\mathcal C$ se denota por $\mathcal N$; el punto de tangencia entre $\Pi$ y $\mathcal S$ se denota por $F$; un punto genérico de la intersección será $P$, la generatriz del cono a la que pertenece $P$ será $\mathcal G$ y el punto de esa generatriz en $\mathcal C$ lo denotamos por $G$. Los planos $\Pi$ y $\mathcal N$ se cortan en una recta que llamaremos ${\mathcal D}$.

Con esa nomenclatura, vamos a comprobar que cualquier punto $P$ en la intersección del cono con $\Pi$ satisface la condición que define una cónica general, \begin{equation*} d(P,F)= e\cdot d(P,{{\mathcal D}}), \end{equation*} y la excentricidad $e$ resultará ser precisamente la razón del coseno del ángulo $\phi$ entre el coseno del ángulo $\theta$.

Desde $P$ bajamos una perpendicular $\mathcal H$ al plano $\mathcal N$ y denotamos su pie por $H$. Desde $H$ trazamos la perpendicular a $\mathcal D$ y denotamos por $D$ al punto de corte; hemos formado dos triángulos rectángulos $PHD$ y $PHG$ (no coplanares) con un cateto común, $PH$ (vea la esquina abajo a la derecha de la Figura 1.21), cada uno de los cuales tiene un ángulo agudo igual a nuestros conocidos $\theta$ y $\phi$: $\angle HDP = \phi$, $\angle HGP = \theta$.

Lo último se debe a que $\mathcal E$ y $\mathcal H$ son paralelas (ambas perpendiculares al plano $\mathcal N$) con transversal $PV$, y lo primero se debe a que toda la figura 1.21 tiene simetría respecto al plano que contiene al eje del cono $\mathcal E$ y la recta ${\mathcal M}$ resultado de proyectar perpendicularmente $\mathcal E$ en $\Pi$; en consecuencia, ${\mathcal M}$ y $PD$ son paralelas, como también lo son $\mathcal E$ y $\mathcal H$, por lo que $\angle DPH = \phi$.

En los triángulos rectángulos mencionados, la longitud del cateto común $PH$ es \begin{equation*} PH=PD \cos\phi \quad\text{ por un lado, y}\quad PH=PG\cos\theta \quad\text{por otro.} \end{equation*} En consecuencia, \begin{equation*} PD \cos \phi = PG \cos \theta. \end{equation*}

Ahora basta tomar en cuenta que

Si desde un punto $P$ exterior a una esfera trazamos dos tangentes a la esfera, los segmentos de tangente miden lo mismo.

En nuestro caso, los segmentos de tangente a la esfera $\mathcal S$ desde $P$ son $PG$ y $PF$, con lo cual la última igualdad puede reescribirse así \begin{equation*} PD \cos \phi = PF\cos \theta, \end{equation*} o mejor, \begin{equation*} PF = \frac{\cos \phi}{\cos \theta} PD. \end{equation*}

De esta expresión ya podemos leer que $P$ satisface la condición (\ref{eq:1.7}), si $e = \frac{\cos \phi}{\cos \theta}$, lo cual cierra el ciclo prometido.

Eso muestra que la llamada excentricidad es simplemente la razón entre los cosenos de los ángulos $\phi$ y $\theta$: si los ángulos son iguales, $e=1$ y tenemos la condición que define la parábola; si $e \menorque1$, eso implica que el ángulo $\phi$ es mayor que el ángulo $\theta$, puesto que la función coseno es decreciente cuando el ángulo varía entre $0$ y $\pi/2$; por esta misma razón, si $e>1$, el ángulo $\phi$ es menor que el ángulo $\theta$, todo lo cual había sido predicho por el dibujo esquemático de la Figura 1.20.

Falta únicamente analizar la intersección de un cono con un plano que pase por el vértice.

Las figuras esquemáticas siguientes muestran que cuando $\phi > \theta$ la intersección se reduce a un punto, el vértice del cono; cuando $\phi = \theta$ el plano corta al cono a lo largo de toda una generatriz, y cuando $\phi \menorque \theta$ el plano de corte contiene dos generatrices del cono.

Para acabar de convencer al lector, le pedimos que imagine deslizándose paralelamente un plano de corte que no pase por el vértice y que dé lugar a una elipse: cuando el plano alcance al vértice la intersección se reducirá a ese punto.

Haga el ejercicio correspondiente en el caso de una parábola: al llegar al vértice obtendrá la única generatriz (completa) que no podía ser cortada por el plano. Y en el caso de que la intersección sea una hipérbola (que necesariamente cuenta con sus asíntotas); mientras más se acerca el plano al vértice, más se acercan las ramas de las sucesivas hipérbolas a las asíntotas hasta confundirse con ellas cuando el plano alcanza al vértice.

Este proceso de límite muestra también cuál es la ecuación de cada uno de los tipos singulares de cónica: todos son casos límite de las ecuaciones canónicas.

En el caso de un punto, podemos pensarlo como el límite de circunferencias (o de elipses) cuyo radio (resp., semiejes) tiende a cero. En consecuencia, una ecuación cuyo lugar geométrico es el punto $(0,0)$ es \begin{equation*} x^2+y^2=0. \end{equation*}

Una recta doble (el exponente indica que el orden de contacto es 2: el plano es tangente al cono) es caso límite de una parábola, y la ecuación de una recta doble resulta si el parámetro $p$ vale $0$ en la ecuación canónica de la parábola (es la ecuación del eje $X$): \begin{equation*} y^2=0. \end{equation*}

Dos rectas que se cortan resultan si los vértices de una hipérbola se acercan cada vez más al centro, porque la hipérbola se acerca cada vez más a las asíntotas. Un caso especial es el de las rectas de pendientes $1$ y $-1$, asíntotas de una hipérbola equilátera, i.e., cuando los dos denominadores son iguales en valor absoluto: \begin{equation*} x^2-y^2=0. \end{equation*}

Note que esa ecuación resulta al multiplicar la ecuación de la recta de pendiente $1$, $y=x$ escrita como $y-x=0$, y la ecuación de la recta de pendiente $-1$, $y=-x$ escrita como $y+x=0$.

Para completar la lista de lugares geométricos correspondientes a ecuaciones de segundo grado sin término mixto, sólo falta el caso correspondiente a la ecuación \begin{equation*} x^2=1. \end{equation*}

El álgebra nos dice que esa ecuación es equivalente a la ecuación $x^2-1=0$, que también puede escribirse así \begin{equation*} (x+1)(x-1)=0. \end{equation*}

Para que la condición se cumpla basta que uno de los factores se anule; en cada caso resulta una recta paralela al eje $Y$, una a la derecha a distancia $1$, otra a la izquierda a distancia orientada $-1$.

Volveremos a este caso cuando discutamos las superficies cuádricas, pero por lo pronto planteamos un ejercicio mental que explica de dónde surge este caso límite de cónica: marque dos puntos $P$ y $Q$ en el papel y luego varios puntos $V_1$, $V_2$, etc., sobre la mediatriz del segmento $PQ$ y cada vez más lejos de él. Si traza los pares de rectas $PV_i$ y $QV_i$, es claro que a medida que $V_i$ se aleja del segmento $PQ$ las rectas del par tienden a volverse paralelas.

Propiedad focal

Los tres tipos de cónica comparten la llamada propiedad focal, que se utiliza en aplicaciones muy diversas. La enunciamos en una forma fácil de recordar pero que debe explicarse.

Propiedad focal de las cónicas. Un rayo de luz que parte de un foco, después de rebotar en la cónica pasa por el otro foco.

Las dos cosas que debemos explicar son: en el caso de la hipérbola, después de la reflexión es necesario considerar la recta completa, y en el caso de la parábola seguramente el lector pensará, ¿qué significa «el otro foco» en el caso de la parábola? La respuesta se obtiene de un proceso infinito que pretendemos justificar con la Figura 1.23.

El hecho de que uno de los focos de las elipses vaya alejándose a medida que el plano de corte tiende a volverse paralelo a una generatriz, se precisa en el lenguaje de la geometría afín (vea [RS10] o [RS07]) diciendo que, en el caso de la parábola, «el otro foco» es el punto al infinito del eje focal.

Un punto al infinito puede pensarse como una de las posibles direcciones en un plano, o como un punto de fuga del dibujo en perspectiva: hay uno para cada familia de rectas paralelas y entre todos forman la línea del horizonte que en geometría afín se llama recta al infinito.

Los dibujos que ilustran la propiedad focal en cada tipo de cónica aparecen en la Figura 1.24, que utiliza dos hechos básicos: la Ley de reflexión y la existencia de la recta tangente en cada punto de una cónica no singular.

La Ley de reflexión la utilizamos al jugar con una pelota contra la pared (sin darle efecto) o para deslumbrar a una persona con el reflejo de la luz del Sol en un espejo; su enunciado coloquial dice simplemente:

Ley de reflexión. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

En el caso de una curva suave, la reflexión en uno de sus puntos se lleva a cabo como si el rayo rebotara en la recta tangente a la curva en ese punto, y con respecto a ella medimos los ángulos de incidencia y de reflexión en la Figura 1.24.

Haremos la demostración de la propiedad focal en el caso de una parábola, los casos de la elipse y de la hipérbola son sólo más largos (el de la elipse está demostrado en [Ram13]).

El hecho de que «el otro foco» de la parábola sea el punto al infinito del eje focal, significa que el rayo rebotado debe seguir la paralela al eje focal que pasa por el punto de contacto.

Y como el ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión, lo que debemos demostrar es que el ángulo $\alpha$ entre la tangente y la paralela al eje focal es igual al ángulo $\beta$ entre la tangente y $FP$.

Compare ahora la Figura 1.25 con la Figura 1.6, que muestra cómo obtener un punto de la parábola. En la Figura 1.6 el triángulo $HPF$ es isósceles porque $HP = PF$; y en consecuencia, siendo $MP$ la altura del triángulo, el ángulo $HPM$ es igual al ángulo $MPF$.

Si $MP$ resulta ser la tangente a la parábola en el punto $P$, habremos acabado: el ángulo $\alpha$ será igual al ángulo $\beta$, pues $\alpha$ y el ángulo $HPM$ son opuestos por el vértice.

Recordemos que $F$ tiene coordenadas $(p, 0)$, y si denotamos por $(x_0, y_0)$ las coordenadas de un punto $P_0$ genérico de la parábola, entonces las coordenadas del pie $H$ de la perpendicular a ${\mathcal D}$ son $(-p, y_0)$ porque la ecuación de la directriz es $x=-p$.

Entonces, las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $HF$ son \begin{equation*} 1/2[(-p,y_0)+(p,0)]= (0,y_0/2), \end{equation*} mismas que deberán satisfacer la ecuación de la tangente $\mathcal T$ a la parábola por el punto $P_0$.

Para obtener la pendiente $m$ de la tangente $\mathcal T$, recordamos que la derivada de una función en uno de sus puntos expresa la pendiente de la tangente a la gráfica de la función (vea [Kli98]); por tanto, usamos la ecuación de la parábola para expresar a $y$ como función de $x$ eligiendo la raíz positiva: \begin{equation*} y=2 \sqrt {px}, \end{equation*} y derivamos respecto a $x$ \begin{equation*} \frac{dy}{dx}= \frac{p}{\sqrt{px}}. \end{equation*} Al evaluar en $x_0$ obtenemos, utilizando la expresión anterior de $y$, resulta \begin{equation*} m=\frac{p}{\sqrt{px_0}}= \frac{2p}{y_0}. \end{equation*} Entonces la ecuación de la tangente $\mathcal T$ a la parábola en el punto $(x_0,y_0)$ es \begin{equation*} y-y_0=\frac{2p}{y_0}(x-x_0). \end{equation*} Nos preguntamos si $M(0,y_0/2)$ satisface esta ecuación: \begin{equation*} \frac{y_0}{2}-y_0\overset{?}{=}\frac{2p}{y_0}(-x_0), \end{equation*} que simplificando se convierte en \begin{equation*} \frac{-y_0}{2}\overset{?}{=}\frac{-2px_0}{y_0}, \end{equation*} equivalente a \begin{equation*} y^2_0=4px_0, \end{equation*} ya sin pregunta porque el punto $P_0(x_0,y_0)$ satisface la ecuación de la parábola.

Eso implica que también podemos eliminar los signos de interrogación de las ecuaciones anteriores y, por tanto, que el punto $M$ sí pertenece a la tangente, es decir, el ángulo $\alpha$ es igual al ángulo $\beta$.

¿Cuántos puntos determinan una cónica?

Sabemos que cuando elegimos dos puntos del plano, hay sólo una recta que pasa por ellos, y sabemos también que si en lugar de dos puntos elegimos tres no colineales, sólo hay una circunferencia que pasa por ellos, puesto que las mediatrices del triángulo determinado por los tres puntos se cortan en un punto que es el centro del círculo circunscrito.

Pero del estudio que hemos hecho sobre nuestras curvas, en particular de sus simetrías, queda claro que si damos cuatro puntos que sean las esquinas de un cuadrado, por ellos puede pasar tanto un número infinito de elipses, en particular la circunferencia circunscrita al cuadrado, como una infinidad de hipérbolas (vea el Ejercicio 1.14).

La pregunta entonces es si es posible encontrar un número de puntos por los cuales pase sólo una cónica. La respuesta es sí, bastan cinco puntos si no hay cuatro colineales (tome cuatro puntos colineales y el quinto fuera de esa recta, ¿cuántos pares de rectas, i.e., cónicas singulares, puede determinar?); para demostrarlo mediante álgebra elemental, basta observar que esos cinco puntos deben satisfacer una misma ecuación general de segundo grado; eso es, con término mixto incluido, \begin{equation} Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\label{eq:1.9} \end{equation}

Supongamos entonces que están dados cinco puntos tales que no hay cuatro en la misma recta (vea el Ejercicio 1.18): $P(x_1,y_1)$, $P(x_2,y_2)$, $P(x_3,y_3)$, $P(x_4,y_4)$, $P(x_5,y_5)$.

Debemos demostrar que si esos cinco puntos pertenecen a la curva definida por la ecuación \eqref{eq:1.9}, los coeficientes $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ están completamente determinados.

La sustitución de las coordenadas $(x_i,y_i)$ de cada punto en la ecuación da lugar a cinco ecuaciones lineales en las incógnitas $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ ($x^2$, $xy$, $y^2$, $x$ e $y$ se vuelven números $a_i$, $b_i$, etc.): \begin{equation} \begin{aligned} Aa_1+Bb_1+Cc_1+Dd_1+Ee_1+F&=0,\\ Aa_2+Bb_2+Cc_2+Dd_2+Ee_2+F&=0,\\ Aa_3+Bb_3+Cc_3+Dd_3+Ee_3+F&=0,\\ Aa_4+Bb_4+Cc_4+Dd_4+Ee_4+F&=0,\\ Aa_5+Bb_5+Cc_5+Dd_5+Ee_5+F&=0. \end{aligned}\label{eq:1.10} \end{equation} Como la ecuación debe tener grado 2, alguno de los coeficientes de los términos cuadráticos, $A$, $B$ o $C$, debe ser no nulo; supongamos que se trata de $A$. Entonces podemos dividir todos los coeficientes entre $A$ y el nuevo sistema consta de cinco ecuaciones lineales en las cinco incógnitas $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ (deberíamos escribir $B/A$, $C/A$, etc., pero no vale la pena): \begin{equation} \begin{aligned} a_1+Bb_1+Cc_1+Dd_1+Ee_1+F&=0,\\ a_2+Bb_2+Cc_2+Dd_2+Ee_2+F&=0,\\ a_3+Bb_3+Cc_3+Dd_3+Ee_3+F&=0,\\ a_4+Bb_4+Cc_4+Dd_4+Ee_4+F&=0,\\ a_5+Bb_5+Cc_5+Dd_5+Ee_5+F&=0. \end{aligned}\label{eq:1.11} \end{equation}

Hemos reducido nuestro problema a uno cuya solución es muy sencilla, porque se trata de un sistema de cinco ecuaciones lineales en cinco incógnitas cuyo determinante es \begin{equation*} \left|\begin{matrix} b_1&c_1&d_1&e_1&1\\ b_2&c_2&d_2&e_2&1\\ b_3&c_3&d_3&e_3&1\\ b_4&c_4&d_4&e_4&1\\ b_5&c_5&d_5&e_5&1 \end{matrix}\right|. \end{equation*}

El caso genérico para un determinante es ser no nulo, entonces podemos aplicar alguno de los métodos de solución de un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas para obtener los valores de $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ de la cónica en posición no necesariamente canónica (vea [Ram13]).

Desde luego, puede ocurrir que $A=0$, como pasa para cinco puntos en la hipérbola correspondiente a $xy=1$. Pero en ese caso, el lector puede comprobar que al suponer $B\neq 0$, o mejor $B=1$, el sistema en $A$, $C$, $D$, $E$ y $F$ tendrá determinante no nulo y la solución será $A=0$, $C=0$, $D=0$, $E=0$ y $F=-1$.

Preguntamos antes qué ocurre cuando tomamos cuatro puntos colineales y el quinto fuera de esa recta. El Ejercicio 1.18 pide explicar cuáles son las soluciones posibles y verificar lo que ocurre con los sistemas si suponemos $A\neq 0$, $B\neq 0$ o $C\neq 0$ para los cinco puntos propuestos.

En la última de las aplicaciones del Capítulo 3, el Teorema de Pascal, incluimos como corolario una demostración geométrica de que cinco puntos en posición general determinan una cónica.

Ejercicios